TS spé Exercices sur les nombres premiers

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TS spé Exercices sur les nombres premiers

1 Quelques curiosités

Pour cet exercice, on utilisera la liste suivante de nombres premiers jusqu’à 200 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

1°) Nombres premiers palindromes

Un nombre palindrome est un entier naturel dont l’écriture en base dix peut se lire dans les deux sens (comme 272, 10301, …).

On admet que les nombres premiers dont l’écriture en base dix ne comporte qu’un seul chiffre sont des nombres premiers palindromes.

Quels sont les nombres premiers palindromes inférieurs à 200 ? 2°) Nombres premiers jumeaux

Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers impairs consécutifs (comme 11 et 13 ou 17 et 19). Il s’agit de deux nombres premiers qui ont un écart de 2.

Quelles sont les paires de nombres premiers jumeaux inférieurs à 200 ?

Information :

· Les Français Lifchitz et Gallot ont démontré en 1998 que les nombres suivants forment des paires de nombres premiers jumeaux :

a)40 883 037 2 ^{3 356}1 et 40 883 037 2 ^{3 356}1 ; b)361 700 055 2 ^{3 356}1 et361 700 055 2 ^{3 356}1.

· Le 25 décembre 2011, on a trouvé deux nombres jumeaux qui constituent le record actuel :

666 669

3 756 801 695 685 2 1 et3 756 801 695 685 2 ^{666 669}1. 3°) Nombres premiers circulaires

Un nombre premier circulaire est un nombre premier tel que, si l’on fait tourner ses chiffres, on obtient d’autres nombres premiers (exemple : 197, 719 et 971 sont premiers). Entre 2 et 200, il existe 12 nombres premiers circulaires.

Lesquels ?

On précise que, par convention, les nombres premiers qui s’écrivent avec un seul chiffre en base dix sont circulaires.

2 Nombres de Mersenne

On nomme ainsi les entiers naturels de la forme 2ⁿ1 avecn entier naturel en l’honneur du père Marin Mersenne, qui les étudia en 1644.

1°) Vérifier que ces nombres sont premiers pour n



2, 3, 5, 7, 13



. 2°) Étudier le cas n11.

En janvier 2018, une équipe de chercheurs a prouvé que2^772329171 est un nombre premier. Il s’écrit avec 23 249 425 chiffres.

3 Soitp un entier naturel strictement supérieur à 3.

1°) Démontrer que sip est premier, alorsp est de la forme 3k1 ou 3 – 1k avec k^*. 2°) La réciproque est-elle vraie ?

4 Démontrer que tout nombre premierp strictement supérieur à 3 est de la forme 6 – 1k ou 6k1 avec k*.

5 1°) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous :

 

... 3

p 0 1 2

 

8 – 1 ... 3p 

 

8p 1 ... 3

2°) En déduire que sip est un entier naturel non nul qui n’est pas un multiple de 3, alors l’un au moins des deux nombres 8p1 ou 8p1 n’est pas premier.

6 On posean²2n3 oùn désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.

1°) Factorisera en produit de deux entiers. Justifier alors quea est un entier naturel.

2°) Déterminer pour quelles valeurs den les deux facteurs du produit sont supérieurs ou égaux à 2.

3°) Existe-t-il des valeurs den telles quea soit un nombre premier ? 7 On posean²3n2 oùn désigne un entier naturel.

Justifier quea est un entier naturel.

1°) Factorisera en produit de deux entiers.

2°) Quelle est la parité den ?

3°) Existe-t-il des valeurs den telles quea soit un nombre premier ? 8 1°) Soitp un nombre premier supérieur ou égal à 3.

Déterminer le(s) couple(s)



^{x y}^;



d’entiers naturels tels que x²y²p. On attend un raisonnement par équivalences.

2°)Application : Déterminer le(s) couple(s)



^{x y}^;



d’entiers naturels tels que x²y²173. 9 Décomposer en produit de facteurs premiers chacun des nombres suivants :

A8820 ; B73205 ; C24 14 ; D48 17 .

10 En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, déterminer le PGCD et le PPCM de 1400 et 10780.

(2)

11 1°) Démontrer que 324 est un carré parfait en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

2°) Démontrer que 216 est un cube parfait en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

3°) Quel est le plus petit entier naturel non nul : a) qui, multiplié par 2000, donne un carré parfait ? b) qui, multiplié par 2100, donne un cube parfait ? 12 Nombres premiers d’Euler

Leonhard Euler (1707-1783) est un mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie en Russie et en Allemagne.

Pour tout entier natureln, on pose^{P n}

 

^ⁿ²^{ }ⁿ ⁴¹^.

1°) Vérifier que pour tous les entiers naturelsn de 0 à 39,^{P n}

 

est un nombre premier.

On pourra utiliser une table de nombres premiers ou une fonction Python.

2°) Justifier que le nombre^P

 

⁴⁰ n’est pas premier.

13 Écrire chacun des nombres suivants sous la formea b oùa etb sont des entiers naturels,b le plus petit possible, en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers : A 24200 ; B 66150. 14 En utilisant la décomposition en facteurs premiers, déterminer l’écriture irréductible de chacune des fractions suivantes : 84

A150 ; 2214

B2829 ; 15 25

C 50 22

 

 ;

2 4

D 10

25 ;

  

²



³

2

8 15

E 12 5

  

  .

15 En utilisant la décomposition en facteurs premiers et un arbre de possibilités, déterminer la liste des diviseurs positifs de 84.

16 1°) Décomposer 60 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de diviseurs positifs de 60.

2°) Même question avec 90.

17 Conjecture de Goldbach

« Tout entier naturel pair autre que 2 peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. » Cette conjecture, formulée au XVIII^e siècle, n’a pas encore été démontrée.

Christian Goldbach (18 mars 1690 à Königsberg en Prusse - 20 novembre 1764 à Moscou en Russie) est un mathématicien allemand surtout connu pour cette conjecture.

1°) Écrire chacun des nombres 8, 18, 24 comme somme de deux nombres premiers.

2°) Aller sur la page du site « dcode » à l’adresse suivantehttps://www.dcode.fr/conjecture-goldbach. Cette page n’a pas pour but d’apporter une aide à la démonstration de la conjecture de Goldbach.

Elle permet simplement d’obtenir toutes les décompositions en sommes de deux nombres premiers pour un entier naturel pair supérieur ou égal à 4 saisi en entrée par l’utilisateur.

Utiliser l’outil pour le nombre 2020 puis pour d’autres entiers pairs au choix.

Constater que les grands nombres pairs ont plutôt tendance à avoir de plus en plus de décompositions différentes.

Question de Théo Reigner-Vigouroux le mardi 1^er juin 2021 : Est-ce qu’il y a une formule pour trouver le nombre de décomposition ?

18 Le but de cet exercice est de caractériser les entiers naturels qui admettent exactement 15 diviseurs positifs à l’aide de la décomposition en produit de facteurs premiers puis de proposer une application.

Soitn un entier naturel qui admet exactement 15 diviseurs positifs.

De manière évidente,n est supérieur ou égal à 2.

1°) Dans cette question, on suppose quen admet un seul diviseur premierp. Ainsinp^ où est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Déterminer la valeur de.

2°) Dans cette question, on suppose quen admet deux diviseurs premiers distinctsp etq.

Ainsinp^q^ où et sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

Déterminer les valeurs de et.

3°) Est-il possible que le nombre de diviseurs premiers den soit supérieur ou égal à 3 ?

4°) Formuler une conclusion claire sur le modèle suivant à recopier et compléter : « Les entiers naturels qui admettent exactement 15 diviseurs positifs sont les entiers de la forme…. ».

5°) À l’aide du résultat de la question précédente, déterminer le plus petit entier naturel qui admet exactement 15 diviseurs positifs.

19 Soitn un entier relatif quelconque. On posean⁵n. Le but de l’exercice est de démontrer quea est divisible par 30.

On pourrait raisonner en effectuant un tableau de congruences modulo 30 mais ce serait fastidieux car il y aurait 30 cas à envisager pourn et beaucoup de calculs (n congru à 0 modulo 30,n congru à 1 modulo 30, …n congru à 29 modulo 30). La méthode proposée ici est beaucoup plus courte (surtout plus économe en calculs).

On utilisera le corollaire du petit théorème de Fermat.

Soitp un nombre premier.

Pour tout entier relatifn, n^pn est divisible parp.

On pourra utiliser les factorisations suivantes à compléter :^a^



ⁿ³^{  }ⁿ



^...



ⁿ²^{ }ⁿ



^...^.

1°) Démontrer quea est divisible par 5.

2°) Démontrer que a est divisible par 3.

4°) Conclure à l’aide des questions précédentes.

20 Démontrer que pour tout entier relatifn, le nombren⁷n est divisible par 42.

On s’inspirera de la démarche employée dans l’exercice précédent.

21 Représentation des diviseurs positifs d’un entier naturel dans l’espace 1°) Dans cette question, on s’intéresse au nombre 60. On a :60  2² 3 5.

Comprendre et reproduire la figure suivante où l’on a représenté les diviseurs positifs de 60 à l’aide de leur décomposition en facteurs premiers.

1 2 4

3 6

12 5

10 20

15 30 60

(3)

Indications :

On se réfèrera aux repères de l’espace.

Chaque flèche horizontale vers la droite représente une multiplication par 2.

Chaque flèche oblique vers le fond représente une multiplication par 3.

Chaque flèche verticale vers le haut représente une multiplication par 5.

2°) Représenter de la même façon l’ensemble des diviseurs positifs de 1800.

22 1°) Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Pour tout entier naturelk tel que 1 k n, on poseu_k n! k. Ainsi,u₁ n! 1,u₂ n! 2,u₃ n! 3, …u_n n! n.

On note égalementc_k le produit de tous les entiers naturels compris entre 1 etn (1 etn étant compris) saufk.

On peut écrire

1 k

i n i k

c i







_{ } ^.

· Que vaut c_kk ?

· En déduire une écriture factorisée deu_k.

· Les nombres u₂,u₃, …,u_n sont-ils premiers ? 2°)Application concrète :

En utilisant le résultat de la question 1°), donner un exemple de dix entiers naturels consécutifs non premiers.

23 Les entiers naturels qui ne s’écrivent qu’avec des 1 en base dix peuvent-ils être premiers ? Pour tout entier naturel p1, on poseN_p1...1 où le chiffre 1 apparaîtp fois.

On rappelle que N_p10^p^¹10^p^²+... 10 ⁰.

1°) Les nombres N₁1, N₂11, N₃111, N₄1111 sont-ils premiers ?

2°) Démontrer que sip etq sont deux entiers naturels non nuls tels queq divisep, alors N_q diviseN_p. Indication : Utiliser après l’avoir justifiée l’égalité 9N_p10^p1.

3°) En déduire que sip n’est pas premier, alors N_p n’est pas premier.

· Les nombresN_p sont appelés « repunits ».

· Les cinq seuls repunits premiers connus, et cela pour N_p avecp jusqu’à au moins 30000.

N ,2 N ,₁₉ N ,₂₃ N₃₁₇, N₁₀₃₁

· Certains auteurs ne donnent le nom de repunit qu’à ces nombres premiers. Le dernier a été découvert en 1986 par Williams et Dubner. Un repunit ne peut être premier que si son nombre de chiffres est premier. On conjecture que les repunits (premiers) sont en nombre infini.

49081

N est pseudo premier ; il est probablement premier (Harvey Dubner – 1999)

· On pense que les trois suivants sont premiers :

86453

N (Baxter – 2000),N₁₀₉₂₉₇ (Dubner – 2007) et N₂₇₀₃₄₃ (Vozny et Budnyy – 2007).

· Pour être premier, un repunit doit nécessairement comporter un nombre premier de 1. Les nombres 2, 19, 23, 317 et 1031 sont effectivement premiers. La réciproque n’est pas vraie.

24 1°)Les nombres premiers de Sophie Germain On donne la définition suivante :

Soitp un nombre premier.

On dit quep est un nombre premier de Sophie Germain lorsque 2p1 est aussi un nombre premier.

Par exemple, 5 est un nombre premier de Sophie Germain car 5 est premier et 2 5 1 11   est aussi premier.

En revanche, 7 n’est pas un nombre premier de Sophie Germain car 2 7 1 15   qui n’est pas un nombre premier.

Déterminer tous les nombres premiers de Sophie Germain inférieurs à 50.

Marie-Sophie Germain (1776-1831) fut une des premières femmes mathématiciennes françaises reconnues.

Cette autodidacte fut reconnue pour ses travaux sur le dernier théorème de Fermat que vérifient les nombres qui portent désormais son nom. Il est conjecturé qu’il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain, mais sans preuve pour le moment.

Les nombres premiers de Sophie Germain n’ont pas d’applications utiles en mathématiques.

2°) On appellechaîne de Cunninghamde première espèce une suite finie



p1,p2, ...,p_r



de nombres premiers vérifiant la relation p_i_₁  2 p_i 1.

Les chaînes de Cunningham furent nommées en l’honneur du mathématicien britannique Allan Cunningham (1842-1928). Son œuvre est poursuivie dans le projet Cunningham (voir Wikipedia).

On notera que, par définition, une chaîne de Cunningham de première espèce est constituée uniquement de nombres premiers.

Par exemple,



2, 5, 11, 23, 47 est une chaîne de Cunningham de première espèce.



À l’aide de la question 1°), déterminer une autre chaîne de Cunningham de première espèce.

25 Crible de Matiyasevich

Yuri Matiyasevich est un mathématicien russe né le 2 mars 1947 qui a résolu le dixième problème de Hilbert. Il est aujourd’hui directeur du laboratoire de logique mathématique de l’Institut mathématique de Saint-

Pétersbourg.

On se propose de découvrir dans cet exercice la multiplication de Yuri Matiyasevich et d’observer la nature des nombres qu’il met en évidence dans son crible géométrique.

1°)Réalisation de la figure

La figure serait très fastidieuse à faire à la main. C’est la raison pour laquelle il est commode de la réaliser sur ordinateur.

a) À l’aide du logicielGeogebra, tracer la représentation graphique de la fonction « carré ».

Créer un curseur m de 2 à 20 avec pour incrément 1.

Dans la zone de saisie, taper Séquence[(i,i²),i,2,m] et Séquence[(–i, i²),i,2,m] pour obtenir les points à coordonnées entières de la parabole.

b) Pour relier deux à deux les points des Liste 1 et Liste 2, taper :

Séquence[Séquence[Segment[(i,i²),(-j,j²)],i,2,m],j,2,m]. Déplacer le curseur m.

(4)

c) Conjecturer l’ordonnée du point d’intersection du segment reliant les points de coordonnées (i,i²) et (-j,j²) avec l’axe des ordonnées.

d) Par certains points de coordonnées



^{0 ;}^k



^{, avec}^k^, ne passe aucun de ces segments. Conjecturer une propriété de ces nombresk.

2°)Quelques justifications

On se place dans un repère



^{O, ,}^{ }^{i j}



du plan. Sur la parabole

C

d’équation yx², on considère les points M et N d’abscisses respectivesm et –n oùm etn sont deux entiers naturels tels quem2 et n2.

a) Déterminer une équation de la droite (MN).

b) En déduire les coordonnées du point d’intersection K de la droite (MN) et de l’axe des ordonnées.

Le crible de Matiyasevich orthographe permet de multiplier des nombres de manière géométrique (sans faire de calcul).

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Corrigé

1 Quelques curiosités autour des nombres premiers 1°) Nombres premiers palindromes inférieurs à 200 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 101 ; 131 ; 151 ; 181 ; 191

2°) Nombres premiers jumeaux inférieurs à 200

Les paires de nombres premiers jumeaux inférieurs à 200 sont :

{3 ; 5}, {5 ; 7}, {11 ; 13}, {17 ; 19}, {29 ; 31}, {41 ; 43}, {59 ; 61}, {71 ; 73}, {101 ; 103}, {107 ; 109}, {137 ; 139}, {149 ; 151} ; {179 ; 181}, {191 ; 193}, {197 ; 199}.

3°)Nombres premiers circulaires inférieurs à 200

On enlève déjà dans la recherche tous les nombres (à part 2) qui contiennent au moins un chiffre pair dans leur écriture en base dix.

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 31 ; 37 ; 71 ; 73 ; 79 ; 97 ; 113 ; 131 ; 197 ; 199 Tiré de l’article de Jean-Paul Delahaye « Les chasseurs de nombres premiers » :

Les seuls nombres premiers circulaires connus sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933, 11...1 (19 fois le "1"), 11...1 (23 fois le "1") 11...1 (317 fois le "1") 11...1 (1031 fois le "1").

On pourrait faire un programme permettant de déterminer les nombres premiers circulaires inférieurs ou égaux à 1000 (cf. document d’Anthony Mansuy intitulé « Marche aléatoire, tri par insertion et nombres premiers circulaires »).

2 Nombres de Mersenne(entiers naturels de la forme 2ⁿ1 avecn)

1°) Vérifions que les entiers naturels de la forme 2ⁿ1 sont premiers pourn



2, 3, 5, 7, 13



. 22 1 3

23 1 7 25 1 31 27 1 127 213 1 8191

Tous ces nombres sont premiers.

2°) Étudions le casn11. 211 1 2047

D’après la calculatrice, 204745, 243784103... .

On teste la divisibilité de 2047 par les nombres premiers inférieurs à 45.

2047 est divisible par 23 ( 204723 89 ) donc ce nombre n’est pas premier.

11 est la plus petite valeur den telle quen soit premier et2ⁿ1 ne soit pas premier.

Direct Matin du mardi 26-1-2016 :

Le nouveau plus grand nombre premier est long de 22 338 618 chiffres. Il bat le précédent de 5 millions de chiffres. Les nombres premiers sont divisibles seulement par 1 et eux-mêmes, comme 2, 3, 5, 7, 11, 13... Selon The New Scientist, le petit nouveau (274 207 2811) a été découvert par Curtis Cooper de l’université Central Missouri à Warrensburg, membre duGreat Internet Mersenne Prime Search, un projet de calcul partagé. Cette quête incessante des mathématiciens pour les plus grands nombres premiers possible permet de tester le matériel informatique, comme des microprocesseurs, et d’apprendre beaucoup de choses sur la distribution des nombres premiers.

3

1°)p : nombre premier tel quep3

Démontrons que p est de la forme 3k1 ou 3k1 aveck^*. 1^ère méthode :

Tout entier naturel est de la forme 3k1, 3k, 3k1 aveck entier naturel.

Commep est premier strictement supérieur à 3, il ne peut être de la forme 3k.

Il est donc de la forme 3k1 ou 3k1 aveck entier naturel.

En présentation rapide de recherche d’exercice, on peut présenter ainsi : 3k1, 3k, 3k1. 2^e méthode :

Tout nombre entier est congru à 0, 1 ou 2 modulo 3.

 1^er cas : p0 [3] impossible (sinon 3 diviseraitp etp est premier)

 2^e cas : p1 [3]

Dans ce cas,ppeut s’écrire sous la forme 3k1 avec k^*.

 3^e cas : p2 [3]

Or 2 est congru à – 1 modulo 3 donc p 1 [3].

Dans ce cas,ppeut s’écrire sous la forme 3 – 1k avec k^*. 2°)La réciproque est-elle vraie ?

La réciproque est fausse. On raisonne par contre-exemples.

· 4 est de la forme 3k1 mais n’est pas premier.

On peut aussi prendre 10, 16, 22 etc…

(6)

· 8 est de la forme 3 – 1k mais n’est pas premier.

4

Démontrons que tout nombre premier p3 est de la forme 6k – 1 ou 6k + 1 (k^*).

· On raisonne modulo 6.

· On raisonne en division euclidienne par 6.

Soitp un nombre premier strictement supérieur à 3.

p est donc impair (tout nombre premier supérieur ou égal à 3 est impair ; la démonstration est quasiment évidente).

Tout entier naturel est congru modulo 6 à l’un des 6 restes modulo 6 : 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Sipº 0 (6), alors p6k avec k doncp est pair, ce qui est exclu.

Sipº 2 (6), alors ^p ^{2 6}^k^{2 1 3}



 ^k



aveck doncp est pair, ce qui est exclu.

Sipº 4 (6), alors ^p ^{4 6}^k^{2 2 3}



 ^k



aveck doncp est pair, ce qui est exclu.

Sipº 3 (6), alors ^p ^{3 6}^k^{3 1 2}



 ^k



aveck donc 3 |p et comme p3, 3 est un diviseur strict* dep, qui n’est donc pas un nombre premier.

Il reste deux possibilités :

pº 1 (6) etpº 5 (6) soitpº – 1 (6)

Ainsi, tout nombre premierp strictement supérieur à 3 est de la forme 6 – 1k ou 6k1 (k^*).

Cette propriété ne reste pas vraie pour les nombres premiers 2 et 3 : 2 est de la forme 6k2 et 3 est de la forme 6k1.

* C’est-à-dire strictement inférieur au nombre (ce qui est bien le cas ici, puisque l’on a supposé p3).

Le dimanche 19 février 2017

6k, 6k1, 6k2, 6k3, 6k4, 6k5, 6k6

5

1°) Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous :

 

... 3

p 0 1 2

 

8 – 1 ... 3p  2 1 0

 

8p 1 ... 3 1 0 2

2°) En déduire que sip est un entier naturel non nul qui n’est pas un multiple de 3, alors l’un au moins des deux nombres 8p1 ou 8p1 n’est pas premier.

Soitp est un entier naturel non nul.

On suppose quep n’est pas un multiple de 3.

On peut donc dire quep est congru soit à 1 soit à 2 modulo 3.

1^er cas : p1 [3]

Alors 8p 1 0 [3] donc 8p1 est un multiple de 3.

Or p1 donc 8p19.

Donc on en déduit que 8p1 n’est pas premier.

2^e cas : p2 [3]

Dans ce cas, on a alors 8p 1 0 [3] donc 8p1 est un multiple de 3.

Or p1 donc 8p17.

Donc on en déduit que 8p1 n’est pas premier.

Dans les deux cas, l’un au moins des deux nombres 8p1 ou 8p1 n’est pas premier.

N. B. : Le seul multiple de 3 qui est un nombre premier est 3.

6 3 n

2 2 3

an  n

Le polynôme^{P x}

 

^^x²^²^x^³ (trinôme du second degré enx) s’annule en – 1 et en 3.

Donc x ^{P x}

  

 ^x¹



^x^{– 3}



. On en déduit que ^a



ⁿ¹



ⁿ^{– 3}



.

Cette écriture fait apparaîtrea comme produit des deux diviseurs associésn1 et n3.

De plus, comme n3, ils sont tous deux positifs ou nuls. Par suite (signe d’un produit),a est positif ou nul.

(7)

2°) Déterminer pour quelles valeurs den les deux facteurs du produit sont supérieurs ou égaux à 2.

Les deux entiers sont supérieurs ou égaux à 2 pourn5.

3°) Existe-t-il des valeurs den telles quea soit un nombre premier ?

Sin5,a est le produit de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 (n1 etn3 sont deux diviseurs associés dea supérieurs ou égaux à 2) donca n’est pas premier.

Il reste deux cas à examiner :

Sin3, alors a0 eta est n’est pas premier.

Sin4, alors a5 eta est premier.

Conclusion : a est premier si et seulement sin4. 7

2 3 2

an  n (n)

De manière quasiment évidente, on peut dire quea est positif ou nul.

On peut même préciser quea est supérieur ou égal à 2.

a est donc un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Le but de l’exercice est de déterminer s’il existe des valeurs den elles quea soit premier.

On peut commencer par tester des valeurs den (notamment avec la calculatrice).

On peut écrire directement^a



ⁿ¹



ⁿ²



.

Si, on ne trouve pas directement, on peut dire que le polynôme^{P x}

 

^^x²^³^x^² (trinôme du second degré en x) s’annule en – 1 et en – 2. Donc x ^{P x}

  

 ^x¹



^x²



.

2°) Quelle est la parité den ?

a est le produit de deux entiers naturels consécutifs donca est un nombre pair.

3°) Existe-t-il des valeurs den telles quea soit un nombre premier ? D’après le résultat de la question précédente,a est pair.

Or le seul nombre premier pair est 2.

On cherche s’il existe des valeurs den telles quea2. On trouve immédiatementn0.

Le seul entier natureln tel quea soit premier est 0.

8

1°)p : nombre premier supérieur ou égal à 3

Déterminons le(s) couple(s)



x y d’entiers naturels tels que^;



x²y²p (E).

 

E est une équation diophantienne du second degré que l’on résout dans².

On raisonne par équivalences dans².

 

^E ^Û



^x^y



^x^–^y



^p

 

^E Û x–y et xy sont des diviseurs associés positifs dep

Cette ligne est facultative. On peut tout simplement dire que, commep est premier, la seule manière d’écrirep comme produit de deux entiers naturels, est 1p.

 

^E Û x y 1 x y p

  

  

 (puisque x–yxy etp a deux diviseurs positifs associés : 1 etp)

 

^E Û 2 1

2 1

x p y p

  

  

 (résolution du système linéaire par addition et soustraction membre à membre)

 

^E ^Û

1 2

1 2 x p y p

  

 

 

On peut noter que commep est un nombre premier supérieur ou égal à 3,p est impair et donc p1 et p– 1 sont des entiers pairs, ce qui est entraîne à son tour que 1

2

p  et 1 2 p .

Conclusion : La solution de

 

E est le couple 1 1 2 ; 2 p p

 

 

 .

2°) Déterminons le(s) couple(s)



x y d’entiers naturels tels que^;



x²y²173.

· On vérifie tout d’abord que 173 est un nombre premier.

1^ère méthode :

On utilise une table de nombres premiers.

2^e méthode :

Avec la calculatrice, on trouve : 17313,15 .

On teste la divisibilité de 173 par les nombres premiers inférieurs ou égaux à 13.

On vérifie aisément que 173 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 et 13.

(8)

173 est donc un nombre premier.

3^e méthode :

On utilise un programme sur calculatrice ou un logiciel de calcul formel.

· On applique le résultat du 1°) avec p173 (équation

 

^{E ).}

Le couple



^{x y}^;



d’entiers naturels tel que x²y²173 est (87 ; 86).

9 Décomposition en produit de facteurs premiers

Décomposition de grands nombres (A et B) :présentation en colonnes, utilisation de la liste des nombres premiers (qui doit être connue) et des critères de divisibilité. On teste tous les diviseurs premiers dans l’ordre croissant.

Vérification sur ordinateur possible (on rentre le nombre et l’on obtient immédiatement la décomposition en facteurs premiers).

8820 2 73205 5 4410 2 14641 11 2205 3 1331 11 735 3 121 11 245 5 11 11 49 7 1 7 7

1

Il faut prendre les nombres premiers dans l’ordre croissant. Il faut d’abord épuiser le 2.

2 2 2

A2   3 5 7 B 5 114

Décomposition de petits nombres (C et D) : présentation en lignes C24 14       2 12 2 7 24 3 7

D48 17 24 3 17

La méthode pour C est de décomposer 24 et 14 en produit de facteurs premiers.

24 12 6 3 1

2 2 2 3

14 7 1

2 7

La méthode pour D est de décomposer 48 et 17 en produit de facteurs premiers.

48 24 12 6 3 1

2 2 2 2 3

17 1

17

Autre façon pour A et B : A8820

2205 22

 

441 5 22

  

2 2

49 3 5 2

   

2 2 2

2 3 5 7

   

B73205 5 14641

  5 114

  C24 14

23 3 7 2

    24 3 7

  

D48 17 24 3 17

  

On peut aussi vérifier ces décompositions en facteurs premiers à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Avec XCas, la commande est ifactor(…) (on tape le nombre à l’intérieur des parenthèses).

10 Détermination du PGCD et de PPCM à l’aide des décompositions en facteurs premiers 1400 2 10780 2

700 2 5390 2 350 2 2695 5 175 5 539 7 35 5 77 7 7 7 11 11 1 1

3 2

1400  2 5 7

2 2

10780   2 5 7 11

On peut aussi vérifier ces décompositions en facteurs premiers à l’aide d’un programme sur calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel.

On utilise la propriété donnant l’expression du PGCD et du PPCM de deux entiers naturels à partir de leur décomposition en facteurs premiers (propriété très importante).

 

²

PGCD 1400 ;10780 2   5 7 140

(9)

En effet, les diviseurs premiers communs à 1400 et 10780 sont 2, 5, 7.

On prend à chaque fois le plus petit exposant dans les deux décompositions.

 

³ ² ²

PPCM 1400 ;10780     2 5 7 11 107 800

C’est le « contraire » (si l’on peut dire, car le terme contraire n’est ici pas bien adapté) pour le PPCM.

On prend tous les facteurs premiers dans les deux décompositions et on met à chaque le plus grand exposant.

Les nombres premiers qui apparaissent dans les deux décompositions sont 2, 5, 7, 11.

On vérifie ces résultats à l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel.

11

Cet exercice porte sur la reconnaissance de carrés et de cubes parfaits à partir de la décomposition en facteurs premiers.

1°)Démontrons que 324 est un carré parfait à l’aide de la décomposition en facteurs premiers.

Pour cela, on adopte la présentation en colonnes.

2 4 2 2 2

324  2 3 2  9 18

324 peut s’écrire comme produit de puissances d’entiers dont tous les exposants sont des entiers naturels pairs donc c’est un carré parfait.

On utilise le lemme suivant : si un entier naturel est le produit de puissances d’entiers avec des exposants entiers naturels pairs, alors c’est un carré parfait.

Pour aller plus loin, on peut écrire :3242²9²18² ; 324 est donc le carré de 18.

2°)Démontrons que 216 est un cube parfait à l’aide de la décomposition en facteurs premiers.

3 3

2162 3

216 peut s’écrire comme produit de puissances d’entiers dont tous les exposants sont des entiers naturels multiples de 3.

Pour aller plus loin, on peut écrire :²¹⁶^{ }



^{2 3}



³^⁶³ ; 216 est donc le cube de 6.

3°)

a)Déterminons le plus petit entier naturel non nul qui, multiplié par 2000, donne un carré parfait.

Pour répondre à la question, on commence par déterminer la décomposition en facteurs premiers de 2000.

 

³

3 3 3 4 3

2000 2 1000 2 10   2 2 5    2 2 5 2 5

Remarque : On peut adopter aussi la présentation en colonne classique.

On regarde les exposants des facteurs premiers dans la décomposition de 2000 : l’exposant de 2 est 4, c’est un nombre pair ; l’exposant de 5 est 3, c’est un nombre impair (propriété du cours).

Pour obtenir un carré parfait, il faut et il suffit que les exposants qui interviennent dans la décomposition en facteurs premiers soient tous des entiers pairs.

Le plus petit entier naturel non nul qui multiplié par 2000 donne un carré parfait est 5 :

 

⁴

 

²

4 3 4 4 4 2 2

5 2000       5 2 5 2 5 2 5 10  10 100 (on peut aussi écrire : 5 2000 10000  100²)

b)Déterminons le plus petit entier naturel non nul qui, multiplié par 2100, donne un cube parfait.

Pour répondre à la question, on commence par déterminer la décomposition en facteurs premiers de 2100.

2 2 2 2

210021 100    3 7 4 25   3 7 2 5 2   3 5 7

Pour obtenir un cube parfait, il faut et il suffit que les exposants qui interviennent dans la décomposition en facteurs premiers soient tous des multiples de 3 (propriété du cours).

Le plus petit entier naturel non nul qui, multiplié par 2100, donne un cube parfait est :2 3  ² 5 7²4410. 12 Nombres premiers d’Euler

1°)Vérifions que n² n 41 est premier pourⁿ^



^{0 ; 1 ;}^^{; 39}



^.

On peut rentrer la fonctionf :xx² x 41 afin d’obtenir rapidement un tableau de valeurs.

Éventuellement, on peut se placer en mode suite.

02 0 4141 nombre premier 12 1 4143 nombre premier 22 2 4147 nombre premier 32 3 41 53 nombre premier 42 4 4161 nombre premier 52 5 4171 nombre premier 62 6 41 83 nombre premier etc.

On peut utiliser une table de nombres premiers.

On peut aussi vérifier ces résultats à l’aide de la calculatrice (programme ou fonction permettant de déterminer si un entier naturel est premier) ou d’un logiciel de calcul formel.

Utilisation de logiciels : Tableur : Excel

Logiciel de calcul formel : test de primalité (sur XCas : isprime(…))

2°)Vérifions que n² n 41 n’est pas premier pourn40. On va démontrer ce résultat à la main, sans effectuer de calculs.

(10)

 

40240 41 40 40 1 41

2 40 41 4

40 40 41    1

2 2

40 404141

Donc pourn40, n² n 41 n’est pas premier.

Remarque : pourn41

 

41241 41 41 41 2 41 43 n’est pas un nombre premier (car il est divisible par 41).

[On peut observer que 43 est un nombre premier].

Pour aller plus loin :

 

²

fp n n  n p (si p



2, 3, 5, 11,17, 41



)

p

 

f n donne des nombres premiers pourⁿ



^{0 ;}^p^{– 2}



.



¹

 

¹

 

² ¹



fp p  p  p p



¹

 

¹

 

¹



¹

p p p

f p       p



1

 

1



p p

f p    p p



¹



²

fp p p

  

^{1 1}



fp p p p 

 En 1772, Leonhard Euler proposa le polynôme ^{E n}

 

ⁿ² ⁿ ⁴¹ qui donne des nombres premiers pourn entier allant de 0 à 39.

 En 1798, le mathématicien français Adrien-Marie Legendre proposa le polynôme^{L n}

 

²ⁿ²²⁹, qui produit des nombres premiers pourn entier allant de 10 à 28.

 Aujourd’hui, le record est détenu par Russel Ruby qui proposa le polynôme ^{R n}

 

³⁶ⁿ²⁸¹⁰ⁿ²⁷⁵³. L’expression ^{R n}

 

fournit le plus grand nombre de nombres premiers consécutifs.

Source : livre Mathématiques Repère Terminale S spécialité mathématiques édition 2012 page 43.

Point info : polynômes générateurs de nombres premiers

Le polynôme ^{P n}

 

^ⁿ²^{ }ⁿ ^B est dû au mathématicien Euler. Une conjecture très vraisemblable (car liée à une autre bien testée) est qu’aussi grand que soitA, on peut trouver un polynôme de la formen² n B qui donne des nombres premier pour ⁿ^



^{0 ; ... ;}^A



. On sait cependant queB sera nécessairement très grand : leB correspondant à A41 a été montré plus grand que10 mais pour l’instant reste inconnu.¹⁸

Source : livre Mathématiques Hyperbole Terminale S spécialité mathématiques édition 2012 page 92 N°41.

Livre Math’x TS spé Programme 2012 page 65

Point info :

Il n’existe pas de polynôme ^{P x}

 

, non constant, tel que tous les entiers ^{P n}

 

soient premiers (n).

Les mathématiciens Minac et Willans ont imaginé une formule ne comportant que 52 symboles qui donne tous les nombres premiers dans l’ordre et sans répétition ! On ignorait qu’une telle formule pouvait exister avant sa publication en 1995. Mais la mise en œuvre de telles formules se révèle très coûteuse en temps de calcul et aucun programme d’ordinateur aujourd’hui n’utilise une telle formule. Le véritable problème est de définir des algorithmes de calculs qui donneront rapidement des nombres premiers.

13 Simplification d’expressions avec des racines carrées

On commence par écrire les décompositions en facteurs premiers des nombres qui figurent sous le radical.

24200 12100 6050 3025 605 121 11 1

2 2 2 5 5 11 11

66150 33075 11025 3675 1225 245 49 7 1

2 3 3 3 5 5 7 7

3 2 2

24200  2 5 11

2 2 2

A 2   2 5 11 A   2 5 11 2 A 110 2

661502 3  ³ 5² 7²

3 2 2

B 2 3  5 7 B   3 5 7 2 3 B 105 6

(11)

14 Simplifications de fractions

2

2 2

84 2 3 7 2 7 14

A 150 2 3 5 5 25

  

   

 

2214 2 3 3 3 41 2 3

B 2829 3 943

    

  



3 3 41

   341

18 23 23



15 25 5

C 50 22

  



 3 5 5 5



5

15 44 2 2 11

  

2

4 8 6

10 2 5 2 5 4 4

D 25 5 5 15625

  

   

  

²



³ ⁶ ³ ³ 2 2

2 4 2

8 15 2 5 3

E 2 5 3 300

12 5 2 3 5

    

        

   (il ne s’agit pas vraiment d’une fraction

irréductible !)

Pour le calcul de E, on commence par déterminer son signe (ici négatif). On le place donc dès la première étape devant la barre de fraction de manière à ne plus avoir que des puissances d’entiers naturels.

15

Déterminons les diviseurs positifs de 84 à l’aide de la décomposition en facteurs premiers.

On a :842² 3 7.

Les diviseurs positifs de 84 sont les entiers de la forme 2^ 3^ 7^ où,, sont des entiers naturels tels que 0  2, 0  1, 0  1.

Les diviseurs positifs de 84 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 (voir cours pour une méthode de présentation rapide sans passer par une représentation en arbre).

On a :842² 3 7.

Faire un arbre de possibilités à 3 niveaux (car il y a 3 facteurs).

Il n’est pas forcément utile de faire un arbre. On peut aussi utiliser le résultat du cours : les diviseurs positifs de 84 sont les entiers de la forme 2^ 3^ 7^ où,, sont des entiers naturels tels que0  2,

0  1, 0  1.

Les diviseurs positifs de 84 sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84.

16

Propriété [nombre de diviseurs positifs d’un entier naturel à partir de sa décomposition en produit de facteurs premiers]

Sinp₁^¹p₂^² ... p_r^^r, les p_i étant des nombres premiers deux à deux distincts et les_i étant des entiers naturels, le nombre de diviseurs positifs den est égal à



        1 1

 

2 1



...



_r 1



.

1°) Décomposer 60 en produit de facteurs premiers.

En déduire le nombre de diviseurs positifs de 60.

60 4 15 6022 3 5

On peut écrire602² 3¹ 5¹.

Donc, d’après la formule du cours, le nombre de diviseurs positifs de 60 est égal à



^{2 1}        

 

^{1 1}

 

^{1 1}



^{3 2 2 12}. 2°) Même question avec 90.

90 9 10 0 32 2 9   5

On peut écrire90  3² 2¹ 5¹.

Donc le nombre de diviseurs de 90 est égal à



^{2 1}        

 

^{1 1}

 

^{1 1}



^{3 2 2 12}. On obtient le même nombre de diviseurs positifs que pour 60.

17 Conjecture de Goldbach 1°)

8 5 3

18 13 5 11 7    (il y a deux décompositions) 24 17 7 11 13     5 19 (il y a trois décompositions)

La conjecture que nous étudions dans cet exercice est due au mathématicien Christian Goldbach (1690-1764) qui la formule dans une lettre à Euler de 1742.

L’une des grandes difficultés de la démonstration, selon Benoît Rittaud, tient au fait que l’énoncé de la conjecture fait intervenir les nombres premiers dans un registre additif et non dans leur registre naturel multiplicatif.

Voir article Wikipedia sur la conjecture de Goldbach.

(12)

2°) 18

1°) On sait quenp^ où est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Le nombre de diviseurs positifs den est égal à 1 (résultats du cours qui provient du fait que les diviseurs positifs de p^ sont 1,p, p², …, p^¹, p^).

On a donc  1 15 ce qui donne immédiatement  14.

2°) On sait quenp^q^ où et sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

Déterminer les valeurs de et.

On va s’intéresser aux exposants.

D’après le cours, le nombre de diviseurs positifs den est égal à



 ¹



 ¹



.

On a



 ¹



  ¹



¹⁵ donc 1 3 1 5

  

 

 ou 1 5

1 3

  

 

 .

Donc 2

4

 

  ou 4 2

 

  . Doncn s’écrit p²q⁴ ou p⁴q².

3°) Est-il possible que le nombre de diviseurs premiers den soit supérieur ou égal à 3 ? Supposons que le nombre de diviseurs premiers den soit supérieur ou égal à 3.

Notons p₁, p₂,… p_r (r3) les diviseurs premiers den (il s’agit donc de nombres premiers deux à deux distincts).

La décomposition en facteurs premiers den s’écrit doncnp₁^¹p₂^² ... p_r^^r où ₁,₂,…_r sont des entiers naturels non nuls.

Le nombre de diviseurs positifs den est alors égal à :



 1 1



 2 1 ...

 

 _r 1



(formule donnée dans le cours).

On sait quen admet exactement 15 diviseurs positifs donc on a



 ₁ ¹



 ₂ ^{1 ...}

 

  _r ¹



¹⁵.

Comme on a dit que₁,₂,…_r sont des entiers naturels non nuls c’est-à-dire supérieurs ou égaux à 1, on a :

1 1 2

   , ₂ 12 … _r 12.

Or le nombre 15 s’écrit d’une seule façon comme produit d’entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 : 15 3 5.

15 ne peut donc s’écrire comme produit de plus de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

Il est donc impossible que le nombre de diviseurs premiers den soit supérieur ou égal à 3.

4°) Formuler une conclusion claire sur le modèle suivant à recopier et compléter : « Les entiers naturels qui admettent exactement 15 diviseurs positifs sont les entiers de la forme…. ».

On peut formuler la conclusion de la manière suivante qui est la plus simple possible.

Les entiers naturels qui admettent exactement 15 diviseurs positifs sont les entiers de la forme p¹⁴ oùp est un nombre premier et les entiers de la forme p²q⁴ oùp etq sont deux nombres premiers distincts.

15 est impair et une propriété dit qu’un entier naturel qui admet un nombre impair de diviseurs positifs est un carré parfait (propriété donnée dans le cours sur les algorithmiques liés à la divisibilité et à la division euclidienne).

On vérifie bien ici que les entiers de la forme p¹⁴ avecp nombre premier ou de la forme p²q⁴ avecp etq deux nombres premiers distincts sont des carrés parfaits.

5°) À l’aide du résultat de la question précédente, déterminer le plus petit entier naturel qui admet exactement 15 diviseurs positifs.

1^ère catégorie :

On choisitp le plus petit possible donc p2. On obtient 2¹⁴16384.

2^e catégorie :

Pour quen soit le plus petit possible, on choisitp etq les plus petits possible.

On les prend donc dans l’ensemble

 

^{2 ; 3 .}

Pour p2 et q3, on obtient 2⁴3²144. Pour p3 etq2, on obtient3⁴2²  81 4 324.

On en déduit que le plus petit entier naturel qui admet exactement 15 diviseurs positifs est 144.

Autres méthodes :



L’entier naturel cherché admet un nombre impair de diviseurs positifs donc c’est un carré parfait (propriété donnée dans le cours sur les algorithmiques liés à la divisibilité et à la division euclidienne).

On examine les carrés parfaits en partant de 1 : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 etc.

On trouve assez vite que l’entier cherché est 144.



On peut utiliser un algorithme (avec boucle « Tantque »).

(13)

19

n an5n

Rappel de l’énoncé du corollaire du petit théorème de Fermat :

p est un nombre premier.

Pour tout entier relatifn,n^pn est divisible parp.

1°) Démontrons quea est divisible par 5.

5 étant un nombre premier donc d’après le corollaire du petit théorème de Fermat,n⁵n est divisible par 5.

2°) Démontrons que a est divisible par 3 après avoir démontré quea est divisible parn³n. On commence par démontrer quea est divisible parn³n.

an5n



⁴ ¹



an n 



² ¹



² ¹



n n

a  n 



ⁿ³ ⁿ



² ¹



a  n 

2 1

n   donca est divisible parn³n.

3 étant un nombre premier donc d’après le corollaire du petit théorème de Fermat,n³n est divisible par 3.

Commea est divisible parn³n, on en déduit quea est divisible par 3.

1^ère méthode :



² ¹



² ¹



an n  n 



² ¹



n n   donca est divisible par n²n. 2^e méthode :

On a démontré à la question 1°) que ^a^



ⁿ²^¹



ⁿ³^ⁿ

 

^ ⁿ²^¹



^{n n}



^¹



ⁿ^¹



^.

Parmi les deux entiers consécutifs,n etn1, l’un est pair, l’autre est impair.

Leur produit^{n n}



^¹



est donc pair, et il en va de même poura.

Donca est divisible par 2.

3^e méthode :

n5 a la même parité quen.

Or la somme ou la différence de deux entiers de même parité est un nombre pair.

On en déduit quea est pair ce qui signifie quea est divisible par 2.

Une variante consisterait à utiliser raisonner par disjonction de cas (suivante la parité den).

On pourrait aussi utiliser les congruences (congruences modulo 2).

4°) Conclure à l’aide des questions précédentes.

On a : 30  2 3 5. 1^ère méthode :

On a démontré que 5 |a (question 1°)) et 3 |a (question 2°).

Or 5 et 3 sont premiers entre eux, donc 15 |a.

On a démontré que 2 |a (question 3°)) et 15 |a avec 2 et 15 premiers entre eux.

Donc 30 |a.

2^e méthode (plus rapide et plus efficace) : a est divisible par 2, 3 et 5.

Donca est divisible par leur PPCM qui est égal à 30.

On peut aussi dire queaest divisible par le PPCM de 2, 3, 5.

20

Démontrons que pour tout entier relatif n, n⁷n est divisible par 42.

On se donne un entier relatifn quelconque.

On pose an⁷n.

Pour répondre à la question, on va démontrer quea est divisible par 2, 3 et 7.

· La divisibilité par 7 est évidente par le corollaire du petit théorème de Fermat.

· Pour les divisibilités par 2 et 3, on est amené à utiliser des factorisations.

On va démontrer que a est divisiblen²n et parn³n.

Pour cela, on transformer l’expression dea en utilisant des identités algébriques classiques ou effectuer des divisions polynomiales.

® On peut écrire^a^^{n n}



⁶^¹



^.

D’après la formule fondamentale de l’algèbre, ⁿ⁶^{ }¹



ⁿ^¹

 

ⁿ⁵^ⁿ⁴^ⁿ³^ⁿ²^{ }ⁿ ¹



^.

On a donc ^a^^{n n}



^¹

 

ⁿ⁵^ⁿ⁴^ⁿ³^ⁿ²^{ }ⁿ ¹



^.

Il en résulte quea est divisible par n²n.

(14)

® On a :

 

³

6 1 2 13

n   n 



²

  

² ²

6 2

1 1

1

n   n  n n   (identité cubique : ^a³^^b³^



^{a b}^

 

^a²^^{ab b}^



⁾



²

 

6 1 1 4 n2 1

n   n  n  

Par suite,^a^^{n n}



²^¹



ⁿ⁴^ⁿ²^{ }¹

 

ⁿ³^^{n n}



⁴^ⁿ²^¹



^.

Il en résulte quea est divisible parn³n. Conclusion :

a est divisible par 2, 3 et 7.

Or 2, 3 et 7 sont premiers entre eux deux à deux, donca est divisible par leur produit.

On en déduit quea est divisible par 42.

Autre méthode pour finir (plus rapide et plus efficace) : a est divisible par 2, 3 et 7.

Donca est divisible par leur PPCM qui est égal à 42.

Autre voie pour la divisibilité par 2 (méthode de Diégo Blétry durant l’année scolaire 2013-2014) :

 

7 6 1

n  n n n 



³

 

7 1 3 1

n nn n  n 

n etn³1 sont de parité différente donc^{n n}



³^¹



est divisible par 2.

Il est possible de vérifier directement la propriété « à la main » pour de petites valeurs den, par exemple dans les cas oùⁿ



^{0 ;1 ; 2}



.

21 Représentation en 3D des diviseurs positifs d’un entier naturel 1°)Représentation dans l’espace des diviseurs positifs de 60

6022 3 5

1 2 4

3 6

12 5

10 20

15 30 60

Les diviseurs positifs de 60 sont les entiers de la forme 2^a 3^b 5^c avec 0 a 2, 0 b 1, 0 c 1. On se réfère à la représentation des points dans un repère. Chaque axe correspond à un facteur premier (axe vers la droite : axe des puissances de 2, axe vers le fond : axe des puissances de 3, axe vers le haut : axe des puissances de 5).

z

y x

On obtient un pavé droit.

On respecte les conventions de la représentation en perspective cavalière en utilisant des pointillés pour les arêtes cachées.

2°)Représentation dans l’espace des diviseurs positifs de 1800

3 2 2

1800  2 3 5 La figure est assez grande.

(15)

1 2 4 8

3 6 12 24

9 18 36 72

5 10 20 40

15 30 60 120

45 90 180 360

25 50 100 200

75 150 300 600

225 450 900 1800

Cela ressemble à un réseau cristallographique.

Question de Donatien Lenoir le 16-1-2014 à propos de l’exercice sur la représentation de diviseurs d’un nombre entier :

« Si on a 4 nombres premiers, on fait comment ? »

Si on a 4 facteurs premiers, on passe en dimension 4 qui n’est pas représentable.

De même pour 5, 6 etc. facteurs premiers.

22

1°)n,n2

k ! u  n k Rappel :

1

!

i n

i

n i





1 k

i n i k

c i







_{ }

ck  produit de tous les entiers naturels compris entre 1 etn saufk

· Que vaut c_kk ?

k ! c  k n

On observe que le résultat est indépendant dek.

· En déduire une écriture factorisée deu_k.

k k

u   k c k et par suiteuk k



ck¹



.

· Les nombresu₂,u₃, …,u_n sont-ils premiers ? Soitk un entier naturel tel que 2 k n.

ck par définition donc



ck ¹



.

Par ailleurs,c_k est un entier naturel non nul donc supérieur ou égal à 1 ce qui entraîne immédiatement que

1 2

ck  .

Ainsiu_k peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels tous deux supérieurs ou égaux à 2.

Par suite, u_k n’est pas premier.

On a donc démontré que les nombres u₂,u₃, …,u_n ne sont pas premiers.

2°)Application :

À l’aide du résultat de la question 1°), donnons un exemple de dix entiers naturels consécutifs non premiers.

En reprenant le 1°), on observe queu₁,u₂, …,u_n sont des entiers naturels consécutifs puisque pour tout entier naturelk compris entre 1 etn1 on au_k_₁u_k1.

Le résultat de la question 1°) permet d’énoncer :

Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2.

! 2

n , n! 3 , n! 4 , …n!n sontn1 entiers consécutifs non premiers.

Pourquoin1 ?n 2 1

Ce résultat permet de donner des séquences aussi longues que l’on veut d’entiers consécutifs non premiers.

On applique le résultat de la question précédente. On choisitn tel que n 1 10 c’est-à-diren11. On prend n11.

11! 2 , 11! 3 , 11! 4 , 11! 5 , 11 ! 6 , 11 ! 7, 11 ! 8 , 11 ! 9 , 11 ! 10 , 11 ! 11 sont 10 entiers naturels consécutifs non premiers.