Sait-on trouver :
- 2 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 3 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 4 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 5 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
Si n est le nombre de rationnels, la moyenne géométrique étant inférieure à la moyenne arithmétique, 7≤(7/n)n soit nn ≤7n-1 : 256=44<73=343, mais 3125=55>74=2401 : le problème ne peut avoir de solution que pour n≤4.
Deux nombres tels que leur somme et leur produit sont égaux à 7 sont solutions de l’équation x2-7x+7=0, donc égaux à (7±√21)/2 , qui ne sont pas rationnels.
Restent donc les cas n=3 et 4.
Pour n=3, on remarque que la somme des deux premiers cubes est multiple de 7 : 23+33=8+27=35=5*7=62-1 et 8*27=63, soit 4/3+9/2=6-1/6, et (4/3)(9/2)=6 donc : (7/6, 4/3, 9/2) est solution puisque 7/6+4/3+9/2=7 et (7/6)(4/3)(9/2)=7.
De plus, 3+3/2=3*3/2=9/2 : donc (7/6, 4/3, 3/2, 3) sont une solution pour n=4.
