A2846. 7 et les rationnels ***
Sait-on trouver :
— 2 nombres rationnels>0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
— 3 nombres rationnels>0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
— 4 nombres rationnels>0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
— 5 nombres rationnels>0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
Solution de Claude Felloneau
• Il n’existe pas 2 rationnels strictement positifs dont la somme et le produit sont égaux à 7.
En effet, ces deux nombres seraient les solutions de l’équationX2−7X+7=0 dont le discriminant est égal à 21 qui n’est pas le carré d’un rationnel donc les solutions ne sont pas rationnelles.
• Il existe 3 rationnels strictement positifs dont la somme et le produit sont égaux à 7. Par exemple : 7/6, 4/3 et 9/2.
• Il existe 4 rationnels strictement positifs dont la somme et le produit sont égaux à 7. Par exemple : 7/6, 4/3, 3/2 et 3.
• Il n’existe pas 5 rationnels strictement positifs dont la somme et le produit sont égaux à 7.
En effet, s’il existait 5 tels rationnels, comme leur moyenne géométrique est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique, leur sommes et leur produitp serait tels ques/5>p1/5 donc 7/5>71/5 d’où 74>55, ce qui est impossible car 74=2401 et 55=3125.
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