B143 – Les carrés magiques décimaux [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
On appelle carré magique décimal [CMD] d’ordre n un carré de n × n cases contenant les entiers de 1 à n2 et tel que :
Les sommes des n lignes, des n colonnes et des deux diagonales soient constantes ; La somme des 4 nombres situés aux coins soit égale à 10.
Q1. Démontrer qu’il n’existe pas de CMD d’ordre inférieur à 7.
Q2. Trouver un CMD d’ordre 7.
Solution proposée par Daniel Collignon.
Q1
La somme constante S peut s'exprimer à l'aide du total des nombres du carré : nS = n²(n²+1)/2, d'où S=n(n²+1)/2
Comme 1+2+3+4>=10, alors aux 4 coins nous avons {1,2,3,4}.
Les 6 sommes passant par les coins (2 en ligne, 2 en colonne, 2 en diagonale) s'expriment 6S = 30 + s où s est la somme de 6(n-2) termes, distincts 2 à 2 pour n pair ; pour n impair, le nombre au centre est compté une deuxième fois.
D'où s =< n² + n² + n²+1 +…+ n²-(6(n-2)-2) = 6(n-2)n² - (6(n-2)-1)(3(n-2)-1).
Après développement et simplification il vient 0 =< 3n^3-30n²+78n-61.
Cette inégalité n'est vraie qu'à partir de n=7.
Variante : pour chaque cas, nous pouvons trouver une combinaison minimale de sommes pour montrer l'impossibilité
Pour n=3, S=15 =< 1+2+9=12
Pour n=4, 2S=68 =< 1+2+1+3+16+15+14+13=65
Pour n=5, 4S=260 =< 2*(1+2+3+4)+25+24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14=254 Pour n=6, 6S=666 =<
3*(1+2+3+4)+36+35+34+33+32+31+30+29+28+27+26+25+24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13=
618
Q2
La somme constante vaut 175, mais je n'ai pas encore trouvé d'exemple.
Lien utile : https://www.dcode.fr/carre-magique
