Étude d'une inégalité variationnelle du second ordre sur un domaine non borné dans un espace de Hilbert

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement Supérieur et de la Recherche Scientique

Université Mohammed Seddik Ben Yahia - Jijel

Faculté des Sciences Exactes Et Informatique Département de Mathématique

› d'ordre : ...

› de séries : ...

Mémoire de n d'études

Présenté pour l'obtention du diplôme de

Master

Spécialité : Mathématiques Appliquées.

Option : EDP et applications.

Thème

Étude d'une inégalité variationnelle du second ordre sur un domaine non borné dans un espace

de Hilbert

Présenté par :

Boufrouaa Imane Bouainah Soumia Soutenu le : 27 juin 2018

Devant le jury composé de :

Président : Benhassine Hani M.C.B Université de Jijel Encadreur : Lounis Sabrina M.C.B Université de Jijel Examinateur : Kecis Ilyas M.C.B Université de Jijel

Promotion 2017/2018

Remerciements

Tout d'abord, nous remercions Allah, le tout puissant, de nous avoir donnés la santé, la volonté et la patience pour mener à terme notre formation de Master.

Nous remercions Madame Lounis Sabrina qui a fourni le sujet de ce mémoire et a guidé de ses précieux conseils et suggestions, et la conance qu'elle a témoigné tout au long de ce travail.

A messieurs les membres du jury Nous remercions :

Monsieur Benhassine Hani qui nous fait l'honneur de bien vouloir accepter la pré- sidence de ce mémoire, qu'il veuille bien trouver ici l'expression de notre déférence et de notre profonde gratitude.

Monsieur Kecis Ilyas pour l'honneur qu'il nous fait en acceptant d'examiner ce travail.

Nous remercions nos parents qui ont soutenue, encouragées et motivées tout au long de nos études.

Enn, nous ne pourrions terminer ces remerciements sans référence à l'ensemble de nos enseignants qui sont à l'origine de tout notre savoir.

De TOUT C×UR MERCI..^{MERCI..MERCI..MERCI..}

Dédicace

Je dédie ce mémoire :

A mes très chèrs parents Rdjem et Akila

Qui sont la graine de mon existence et la source de ma réussite, pour leurs encouragements et leurs sacrices.

Et a ma grand mère Zinab.

A mes très chers frères et s÷urs

Je vous remercie pour votre conance, votre soutien

Je ne sait comment vous remercier pour tout ce que je vous dois.

A mes grande familles Boufrouaa.

A mes amies.

A mes enseignants.

Imane

Dédicace

Avec un énorme plaisir, un c÷ur ouvres et une immense joie, je dédie ce mémoire

A mes très chères parents Youcef et Naima

Qui m'ont guidé durant les moments les plus pénibles de ce long chemin .

A mes frères et mes s÷urs.

Ainsi a toute la famille Bouainah.

A tous mes enseignants.

Soumia Bouainah

Étude d'une inégalité variationnelle du second ordre sur un domaine non

borné dans un espace de Hilbert

Table des matières

Notations 3

Introduction 5

1 Notions et résultats préliminaires 7

1.1 Rappels Topologiques . . . . 7

1.1.1 Espaces métriques . . . . 7

1.1.2 Limites d'ensembles . . . . 8

1.1.3 Espaces métriques complets . . . . 9

1.1.4 Espaces vectoriels normés . . . . 9

1.2 Analyse Hilbertienne . . . 10

1.2.1 Espaces de Hilbert . . . 10

1.3 EspacesL^p . . . 11

1.4 Analyse convexe . . . 12

1.4.1 Ensembles Convexes . . . 12

1.4.2 Fonctions Convexes . . . 12

1.4.3 Cône normal . . . 14

1.4.4 Sous diérentiel d'une fonction . . . 15

1.5 Théorèmes Fondamentaux . . . 17

1

Table des matières 2

1.5.1 Théorème de compacité d'Ascoli . . . 17

1.5.2 Lemme de Gronwall . . . 17

1.6 Multi-application . . . 18

1.7 Mesure de Kuratowski pour les ensembles non compacts . . . 21

1.8 topologies faibles . . . 21

1.8.1 Topologie faible . . . 21

1.8.2 Topologie faible^∗ . . . 22

2 Étude d'une inégalité variationnelle du second ordre 24 2.1 Résultats d'existence . . . 24

2.2 Unicité de solution . . . 49

Conclusion 51

Bibliographie 52

Notations

Dans tout ce qui suit, nous désignerons par

N l'ensemble des nombres entiers naturels.

R l'ensemble des nombres réels.

C l'ensemble des nombres complexes.

R [−∞,+∞].

K R ou C.

Rⁿ l'ensemble des vecteurs de dimension n à coordonnées réelles.

H un espace de Hilbert.

Soit E un espace vectoriel. On note par

E⁰ espace dual de E.

E⁰⁰ espace bidual de E.

h·, ·i produit scalaire dans la dualité E⁰, E.

σ(E, E⁰) la topologie faible sur E.

σ(E⁰, E) la topologie faible^∗ sur E⁰.

→ la convergence forte.

* la convergence faible.

*^∗ la convergence faible étoile.

L¹(Ω, E) l'espace des applications Lebesgue-intégrables dénies sur Ωà va- leurs dans l'espace de BanachE muni du crochet de dualité h·, ·i

hf, gi_L¹ =

T

Z

0

hf(x), g(x)idx,

et de la norme k.k_L¹.

C(E, F) l'espace des fonctions continues de E dans F muni de la norme k.k_∞ dénie par

kfk_∞= sup

x∈E

kf(x)k.

3

Notations 4

C¹([a, b]; E) l'espace de Banach de toutes les applications continues u: [a, b]→E ayant une dérivée continueu˙, muni de la norme

kuk_C¹ = max{max

t∈[a, b]ku(t)k,max

t∈[a, b]ku(t)k}.˙ BE(0, 1) la boule unité fermée de E.

co(C) l'enveloppe convexe de l'ensemble C.

co(C) l'enveloppe convexe fermé de l'ensemble C.

int(C) l'intérieure de C.

C l'adhérence de C.

p.p presque partout.

i.e c'est à dire.

Introduction

La notion de processus de Rae trouve ses racines à l'origine dans les ÷uvres de J.J Moreau. Jean Jacques Moreau qui a écrit plus de 25 articles consacrés au traitement des aspects théoriques et numériques du processus de Rae ainsi que ses applications dans la mécanique unilatérale (voir par exemple [13, 14]). Il a d'abord été envisagé de modéliser l'évolution Quasi-statique des systèmes elasto-plastiques. Le processus de Rae consiste à trouver une trajectoire t ∈ [0, T] 7→ u(t) ∈ C(t) qui satisfait le problème de Cauchy suivant

(1)

( u(t)˙ ∈ −N_C(t)(u(t)) p.p t∈[0, T], u(0) =u₀ ∈C(0),

où N_C(t)(u(t)) est le cône normal à l'ensemble des contraintes C(t) au point u(t) dans le sens d'analyse convexe. C'est une classe merveilleuse de problèmes d'évolution soumis à des contraintes unilatérales.

L'objectif de ce mémoire est de détailler un article de Samir. Adly et Ba Khiet [3]. Le but principale des auteurs de cet article est de généraliser les résultats obtenus dans un espace de Hilbert de dimension nie à un espace de Hilbert de dimension innie avec un ensemble des contraintes qui peut être non borné et ne dépend pas seulement det à l'aide de la mesure de non compacité de Kuratowski.

Notre travail est composé de deux chapitres. Le but dans le premier est de donner des notions, des dénitions de base et quelques résultats fondamentaux qui nous seront utilises par la suite.

Dans la première section du deuxième chapitre nous rentrerons dans le vif du sujet, c'est à dire, l'étude d'existence de solutions pour l'inclusion diérentielle suivante

(S)

( u(t)¨ ∈ −N_{C(t, u(t))}( ˙u(t))−F(t, u(t),u(t))˙ , p.p t∈[0, T], u(0) =u₀, u(0) =˙ v₀ ∈C(0, u₀).

OùCest non vide, convexe fermé et admet une variation lipschitzienne etF : gph(C)⇒H est une m-application à valeurs convexes faiblement compactes dansHqui est un espace de

5

Introduction 6

Hilbert séparable du dimension innie, semi-continue supérieurement et vérie la condi- tion de croissance linéaire.

On propose dans cette étude un schéma de discrétisation implicite comme dans [12] avec diérentes techniques pour analyser le processus de Rae de second ordre avec une per- turbation dans les espaces de Hilbert.

La deuxième section du deuxième chapitre, est consacré à l'étude de l'unicité de la solu- tion pour le même problème d'évolution, mais dans ce cas on suppose que l'ensemble de contraintes dépend de t seulement.

Chapitre 1

Notions et résultats préliminaires

Dans ce chapitre, nous présentons des notions, des dénitions de base et quelques résultats fondamentaux qui nous seront utiles dans notre travail.

1.1 Rappels Topologiques

1.1.1 Espaces métriques

Dénition 1.1.1. Une distance sur un ensemble E est une application d : E×E→ R⁺ vériant les propriétés suivantes

1. d(x, y) = 0 si est seulement si x=y pour tous x, y ∈E, 2. d(x, y) =d(y, x) pour tous x, y ∈E,

3. d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) pour tous x, y, z ∈E.

Dénition 1.1.2. Un espace métrique est un couple (E, d)où Eest un ensemble etd est une distance sur E.

Exemple 1.1.3. (1) L'ensemble des réels muni de la distance d(x, y) = |x−y| est un espace métrique.

(2) Si E est un ensemble quelconque, on dénit une distance sur E par







d(x, y) = 0, si x=y, d(x, y) = 1, si x6=y.

On dit que d est la distance discrète sur E, alors (E, d) est un espace métrique.

Dénition 1.1.4. On appelle diamètre d'une partie A d'un espace métrique (E, d) et on note diam(A) la quantité

diam(A) = sup{d(x, y), x∈A, y∈A}.

7

1.1. Rappels Topologiques 8

Dénition 1.1.5. Soit (E, d) un espace métrique, soit x∈E et soit r∈R^∗+. On appelle boule ouverte (respectivement boule fermée) de centre x et de rayon r l'ensemble

B(x, r) ={y∈E, d(x, y)< r}

(resp. B(x, r) = {y∈E, d(x, y)≤r}).

Pour0< r < r⁰ les inclusionsB(x, r)⊂B(x, r)⊂B(x, r⁰)sont des conséquences directes de la dénition.

Dénition 1.1.6. Soient A, B deux sous ensembles fermés d'un espace métrique (E, d).

Posons

d(x, A) = inf

y∈Ad(x, y).

• On appelle écart entre A et B que l'on note e(A, B) la quantité dénie par e(A, B) = sup

x∈A

{inf

y∈Bd(x, y)}.

• On appelle distance de Hausdor entre A et B et on la note d_E(A, B) la quantité dénie par

d_H(A, B) = max{e(A, B);e(B, A)}.

Remarquons que d_H(A, B) =d_H(B, A).

Dénition 1.1.7. Soit (E, d) un espace métrique et soit A⊂E. On dit que A est dense dans E siA = E.

Exemple 1.1.8. (E, d) = (R, |.|). Q=R, Q est dense dans R.

Dénition 1.1.9. On dit qu'un espace métrique (E, d) est séparable s'il existe un sous- ensemble A ⊂E dénombrable et dense.

1.1.2 Limites d'ensembles

Les limites d'ensembles ont été introduites par Painlevé en 1902. Elles ont été populari- sés par Kuratowski dans son célèbre livre "Topologie" et donc, souvent appelées limites supérieure et inférieure de Kuratowski de suites d'ensembles.

Dénition 1.1.10. Soit (K_n) une suite de sous ensembles d'un espace métrique (E, d).

Nous disons que le sous-ensemble lim sup

n→+∞

Kn={x∈E/lim inf

n→+∞ d(x, Kn) = 0}, est la limite supérieure de la suite (K_n) et que le sous ensemble

lim inf

n→+∞ K_n={x∈E/lim sup

n→+∞

d(x, K_n) = 0},

1.1. Rappels Topologiques 9

est sa limite inférieure.

Un sous ensemble K est appelé limite ou limite ensembliste de la suite (Kn) si K = lim inf

n→+∞K_n = lim sup

n→+∞

K_n = lim

n→+∞K_n.

1.1.3 Espaces métriques complets

Dénition 1.1.11. Soit (E, d) un espace métrique, on dit qu'une suite (xn)n∈N de points de E tend ou converge vers un point x de E si d(xn, x) tend vers 0 lorsque n tend vers l'inni, ou encore si pour toute bouleB de centrex et de rayon strictement positif il existe N >0 tel que n > N implique x_n∈B(x, r), on écrit alors

xn →x ou x= lim

n→+∞xn.

Dénition 1.1.12. Soit (E, d) un espace métrique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est fermé, si pour tout suite(x_n)_n de A telle que x_n converge vers un élément x de A, i.e,

x_n ∈A , x_n→x∈A.

Dénition 1.1.13. Une suite (x_n)_n dans un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy si d(xp, xq) tend vers 0 lorsque p et q tendent vers l'inni, donc si

∀ >0, ∃n >0 : p≥n, q ≥n⇒d(x_p, x_q)≤.

Dénition 1.1.14. Un espace métrique (E, d) est dit complet si toute suite de Cauchy dans E est convergente.

1.1.4 Espaces vectoriels normés

Dénition 1.1.15. On appelle norme sur un espace vectoriel E réel ou complexe, de dimension nie ou innie, toute applicationx7→ kxkdeEdansR⁺vériant les conditions

i) ∀x∈E : kxk= 0 ⇔x= 0,

ii) ∀x∈E,∀λ ∈K: kλxk=|λ|.kxk, iii) ∀x, y ∈E : kx+yk ≤ kxk+kyk.

Toute norme dénit naturellement une distance d(x, y) =kx−yk.

Dénition 1.1.16. On appelle espace vectoriel normé le couple (E, k.k).

Dénition 1.1.17. Si E est complet pour une norme, on dit que c'est un espace de Banach.

1.2. Analyse Hilbertienne 10

Dénition 1.1.18. SoitEun espace vectoriel surR. On désigne parE⁰ le dual topologique de E, i.e, l'espace des formes linéaires continues sur E. E⁰ est muni de la norme duale

kfk_E⁰ = sup

x∈E,kxk≤1

|f(x)|= sup

x∈E,kxk=1

|f(x)|= sup

x∈E,kxk≤1

hf, xi, où h·, ·i est le crochet de dualité entre E⁰ et E.

1.2 Analyse Hilbertienne

1.2.1 Espaces de Hilbert

Dénition 1.2.1. Soit E un espace vectoriel sur K =R ou C. Un produit scalaire surE est une application E×E−→K notée h·, ·i telle que

1. x7→ hx, yi est linéaire de E vers K, ∀y ∈E, 2. hx, yi=hy, xi, ∀x, y ∈E,

3. hx, xi ≥0, ∀x∈E,

4. hx, xi= 0 ⇔x= 0, ∀x∈E.

Dénition 1.2.2. Un espace E muni d'un produit scalaire est un espace pré-hilbertien (réel ou complexe).

Si E est un espace pré-hilbertien, il est normé par x7→ kxk=p

hx, xi.

Corollaire 1.2.3. L'application x7→ kxk=p

hx, xi vérie les axiomes d'une norme i) pour tous x∈E : kxk ≥0, et kxk= 0⇔x= 0,

ii) pour tous x, y ∈E : kx+yk ≤ kxk+kyk,

iii) pour tous λ∈K, et pour tout x, y ∈E : kλxk=|λ|kxk.

Proposition 1.2.4. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Dans un espace préhilbertien E, on a

∀x, y ∈E, |hx, yi| ≤ kxk.kyk, en posant kxk=hx, xi¹² et kyk=hy, yi¹².

Dénition 1.2.5. Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien complet (pour la distance associée à sa norme).

Exemple 1.2.6. 1) L'espace Cⁿ muni du produit scalaire hx, yi=

n

X

i=1

x_iy_i, est un espace pré-hilbertien complet.

1.3. Espaces L^p 11

2) L'espace Kⁿ avec l'une des normes kxk₁ =

n

X

i=1

|u_i|, kxk∞ = sup

0≤i≤n

|u_i|

n'est pas un espace de Hilbert car l'inégalité du parallélogramme n'est pas vraie pour ces normes.

3) L'espace l² des suites de carrés sommable est un espace de Hilbert l² =

(

u= (u_n)n∈N,

∞

X

n=0

|u_n|² <∞ )

, (u, v) =

∞

X

n=0

u_nv_n.

1.3 Espaces L^p

Dénition 1.3.1. Soit p∈ R avec 1≤ p < ∞. On appelle espace de Lebesgue L^p(Ω, E) l'espace

L^p(Ω, E) = {f : Ω→E;f mesurable et kfk^p ∈L¹(Ω, E)}.

Pour toute fonction f ∈L^p(Ω, E), on pose

kfk_L^p =



 Z

Ω

|f(x)|^pdx



 1 p . Dénition 1.3.2. L'espace de Lebesgue L^∞(Ω,E) est déni par

L^∞(Ω, E) ={f : Ω→E; f mesurable et ∃une constante C tel que kf(x)k ≤C p.p. surΩ}.

Pour toute fonction f ∈L^∞(Ω, E), on pose

kfk_L^∞ = inf{C; kf(x)k ≤C p.p surΩ}.

Théorème 1.3.3. (Fischer-Riesz) L^p est un espace de Banach pour tout 1≤p≤ ∞.

Théorème 1.3.4. Soit Φ∈(L¹)⁰. Alors il existe u∈L^∞ unique tel que hϕ, fi=

Z

uf, ∀f ∈L¹. On a de plus

kuk_L^∞ =kϕk_(L1)⁰.

Remarque 1.3.5. Le théorème 1.3.4 arme que toute forme linéaire et continue sur L¹ se représente à l'aide d'une fonction de L^∞. L'application ϕ 7→ u est une isométrie surjective qui permet d'identier (L¹)⁰ et L^∞. Dans la suite on fera systématiquement l'identication

(L¹)⁰ = L^∞.

Proposition 1.3.6. Soient p, q ∈ R⁺ tels que 1 ≤ p < q ≤ +∞. Alors, L^q

R ⊂ L^p

R. De plus, il existe C, indépendant de p et q, tel que kfkp ≤Ckfkq pour tout f ∈L^q.

1.4. Analyse convexe 12

1.4 Analyse convexe

Pour plus de détails se réfère à [2].

1.4.1 Ensembles Convexes

Dénition 1.4.1. On dit qu'un sous-ensemble C d'un espace vectoriel E est convexe si et seulement si

∀(u, v)∈C², ∀λ∈[0, 1] : λu+ (1−λ)v ∈C.

Exemple 1.4.2. 1. Dans un espace vectoriel normé réel, toute boule ouverte ou fer- mée est convexe.

2. L'intersection d'une famille quelconque de sous- ensembles convexes est convexe.

3. L'intérieur int(C) et l'adhérence Cd'un ensemble convexe le sont aussi.

Dénition 1.4.3. Soit Cune partie de E, l'enveloppe convexe de C, noté co(C) est l'in- tersection de tous les ensembles convexes contenant C, et donc c'est le plus petit convexe qui contient C, i.e. C⊂co(C).

Proposition 1.4.4. Soit E un espace vectoriel et C⊂E. Alors, co(C) ={

n

X

i=1

λ_ix_i, x_i ∈C, λ_i ≥0 tel que

n

X

i=0

λ_i = 1}.

Dénition 1.4.5. SoitCune partie quelconque deE, on désigne par l'enveloppe convexe- fermée de C, et on la note co(C), l'adhérence co(C) de son enveloppe convexe.

1.4.2 Fonctions Convexes

Dans cette section, on considère des fonctions f : E→R∪ {+∞}.

Dénition 1.4.6. On appelle graphe de f l'ensemble dénie par gphf :={(x, f(x)), x∈E}.

Dénition 1.4.7. On rappelle que l'épigraphe def est la partie de l'espace produit E×R qui est au-dessus de son graphe

epif :={(x, t)∈E×R: f(x)≤t}.

Dénition 1.4.8. On appelle domaine de f l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur +∞ (elle peut y prendre la valeur −∞, mais nous considérons le plus souvent des fonctions ne prenant pas cette valeur). On le note

domf :={x∈E : f(x)<+∞}.

1.4. Analyse convexe 13

Dénition 1.4.9. On dit qu'une fonction f : E → R∪ {+∞} est convexe si pour tous x, y ∈domf et pour tout λ∈[0, 1], on a

f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).

Exemple 1.4.10. 1. Un supremum de fonctions convexes est une fonction convexe.

2. Soient α≥0 et f une fonction convexe. Alors (αf) est convexe.

3. La somme de deux fonctions convexes est convexe.

4. La fonction g : Rⁿ → R dénie par g(x) = ha, xi+b où a ∈ Rⁿ et b ∈ R est convexe. En eet, soient x, y ∈Rⁿ et λ ∈[0, 1], on a

g(λx+ (1−λ)y) = ha, (λx+ (1−λ)y)i+b

= λha, xi+ (1−λ)ha, yi+λb+ (1−λ)b

= λ[ha, xi+b] + (1−λ)[ha, yi+b]

= λg(x) + (1−λ)g(y).

5. La fonction f dénie sur R par f(x) = x² est convexe sur R car si λ ∈ [0, 1] et x6=y, alors

f(λx+ (1−λ)y) = λ²x²+ 2λ(1−λ)xy+ (1−λ)²y²

≤ λ²x²+λ(1−λ)(x²+y²) + (1−λ)²y²

= λx²+ (1−λ)y².

Dénition 1.4.11. Soit C un sous ensemble non vide de E, la fonction indicatrice asso- ciée à C, I_C : E→[0,+∞] est dénie par

I_C(x) =







0, x∈C, +∞, x /∈C.

• domIC ={x∈E, IC(x)<+∞}= C,

• epiIC ={(x, t)∈E×R, IC(x)≤t}= C×[0, +∞[,

Théorème 1.4.12. La fonction f : E→R est convexe si est seulement si son épigraphe epif est convexe dans E×R.

Remarque 1.4.13. La fonction I_C est convexe si est seulement si C est convexe.

Dénition 1.4.14. SoientEun espace normé, E⁰ son duale topologique etCun ensemble non vide de E⁰. La fonction support de C (ou la fonction d'appui de C), est la fonction notée σ_C dénie par

σ_C : E⁰ →R∪ {+∞}

x 7→σ_C(x) := sup

z∈C

hx, zi.

1.4. Analyse convexe 14

Proposition 1.4.15. [6] (Projection sur un convexe fermé) Soient E un espace de Hilbert et C un sous ensemble non vide, convexe et fermé de E. Alors, pour tout x∈ E, il existe une unique projection de x sur C, i.e, l'unique y ∈C tel que

kx−yk= min

z∈C kx−zk.

On le note alors proj(C, x) l'opérateur de projection orthogonal sur C, déni par proj(C, x) ={y ∈C, kx−yk= d(x,C)}.

Proposition 1.4.16. (Caractérisation d'une projection) SoitC⊂Eun convexe non vide et fermé. Un point y ∈ C est une projection de x ∈ E sur C si est seulement si la condition suivante est vériée

hx−y, s−yi ≤0, ∀s∈C.

Dénition 1.4.17. Une fonction f : E→R est dite semi-continue inférieurement(s.c.i) sur E si pour tout x∈E et pour tout suite (xn)n∈N de E converge vers x on a

lim inf

n→+∞f(xn)≥f(x).

Exemple 1.4.18. 1. Un supremum de fonctions semi-continues inférieurement est semi-continue inférieurement.

2. La fonction f :Rⁿ→Rⁿ dénie par f(x) =kxk est semi-continue inférieurement.

3. Toute fonction continue sur E est s.c .i.

Dénition 1.4.19. On dit qu'une fonction f : E→ R∪ {+∞} est semi-continue supé- rieurement (s.c.s) sur E si pour tout x∈E et pour tout suite (x_n)n∈N de E converge vers x on a

f(x)≥lim sup

n→+∞

f(x_n).

1.4.3 Cône normal

Dénition 1.4.20. Soit Cun sous ensemble convexe de E et x∈C, le cône normal à C en x est l'ensemble déni par

NC(x) :={v ∈E : hv, x−xi ≤0, pour tout x∈C}.

Exemple 1.4.21. 1. Soit C = [0, 1] un sous ensemble de R, alors le cône normal à C en x= 0 (respectivement x= 1 ) est ]− ∞, 0] (respectivement [0, +∞[ ). 2. Soit C = [0,1]×[0, 1] un sous ensemble de R², le cône normal à C en x= (0, 0)

est ]− ∞, 0]×[−∞, 0[.

1.4. Analyse convexe 15

Remarque 1.4.22. (la relation entre le cône normal et la projection) Soit C un convexe fermé de E, si y= proj_C(x), alors y= (I +NC)⁻¹(x), donc

(I +N_C)⁻¹(·) = proj_C(·).

En eet,

y= proj_C(x) ⇔ hx−y, z−yi ≤0, ∀z ∈C

⇔ x−y∈ N_C(y)

⇔ x∈y+N_C(y)

⇔ x∈(I +N_C)(y)

⇔ y= (I +N_C)⁻¹(x), donc

proj_C(·) = (I +N_C)⁻¹(·).

Proposition 1.4.23. (La relation entre la fonction support et le cône normal) z ∈ N_C(x) si est seulement si pour tout x∈C

σ_C(z) =hz, xi.

1.4.4 Sous diérentiel d'une fonction

Pour plus de détails on réfère à [2].

Dénition 1.4.24. Soit f : E→R∪ {+∞} une fonction convexe et soit x∈ domf, un élément ξ ∈E est dit sous-gradient de f en x si

hξ, x−xi ≤f(x)−f(x), pour tout x∈E.

La collection de tous les sous-gradients de f en x est appelée le sous diérentiel de f en x et noté ∂f(x).

Exemple 1.4.25. 1. Soit la fonction f :R→R dénie par f(x) =|x|. Alors

∂f(x) =











1; si x >0, [−1,1]; si x= 0,

−1; si x <0.

2. La boule ferméeB(0, 1)est le sous diérentiel en x= 0 de la fonctiong :Rⁿ→Rⁿ dénie par g(x) =kxk. En eet, soit ξ ∈B(0, 1), i.e, kξk ≤1

hξ, x−0i ≤ kξk.kxk, ∀x∈Rⁿ

≤ kxk=g(x)−g(x)

⇒ ξ ∈∂g(x)

⇒ B(0,1)⊂∂g(0).

1.4. Analyse convexe 16

Inversement, soit ξ ∈∂g(0)

ξ ∈∂g(0) ⇒ hξ, x−0i ≤g(x)−g(0), ∀x∈Rⁿ, or

hξ, xi ≤ kxk,∀x∈Rⁿ, en particulier, x=ξ∈Rⁿ

hξ, ξi ≤ kξk² ≤ kξk

⇒ kξk ≤1

⇒ ξ ⊂B(0, 1)

⇒ ∂g(0) ⊂B(0, 1), donc

∂g(0) =B(0, 1).

3. Soit C un ensemble convexe de Rⁿ, le sous diérentiel de la fonction indicatrice IC(x) est le cône normal NC(x). En eet, pour toutx∈C, soit ξ ∈∂IC(x)

ξ∈∂I_C(x) ⇒ hξ, x−xi ≤ I_C(x)− I_C(x), ∀x∈H

⇒ hξ, x−xi ≤ I_C(x), ∀x∈H, alors, pour tout x∈C

ξ ∈∂I_C(x)⇒ hξ, x−xi ≤0, i.e,

ξ∈ N_C(x), et donc

∂I_C(x)⊂ N_C(x).

Inversement, soit ξ ∈ N_C(x)

ξ ∈ N_C(x) ⇒ hξ, x−xi ≤0, ∀x∈C

⇒ hξ, x−xi ≤ IC(x)− IC(x)

⇒ N_C(x)⊂∂I_C(x), d'où

∂I_C(x) = N_C(x).

Proposition 1.4.26. Soit E un espace de Banach, C un sous-espace non vide fermé et convexe de E, et soit x∈C, alors

NC(x)∩B^E(0, 1) =∂dC(x).

1.5. Théorèmes Fondamentaux 17

1.5 Théorèmes Fondamentaux

1.5.1 Théorème de compacité d'Ascoli

Pour plus de détails se référer à [1]

Dénition 1.5.1. Nous dirons qu'un sous ensemble A ⊂ C(E, F) de l'espace des ap- plications continues de E dans F est équi-continu en x₀ si pour tout ε > 0, il existe η=η(ε, x₀,A) (dépendant de A et non des fonctions f de A) tel que

∀f ∈A, d(f(x), f(x₀))≤ε ds que d(x, x₀)≤η =η(ε, x₀,A).

Nous dirons qu'un sous ensembleA⊂C(E, F)est équi-continu s'il est équi-continu en tout point de E et qu'il est uniformément équi-continu si pour tout ε >0 il existe η=η(ε, A) indépendant de x∈E tel que

∀f ∈A, d(f(x), f(y))≤ε ds que d(x, y)≤η =η(ε, A).

Théorème 1.5.2. (Théorème d'Ascoli-Arzéla) SoientK un espace compact et (E, d) un espace métrique. L'espace C(K, E) des fonctions continues de K dans E, muni de la topologie de la convergence uniforme, est un espace métrique.

Une partie A de C(K, E) est relativement compacte si est seulement si, pour tout point x de K

1. A est équi-continue enx, i.e, que pour tout >0, il existe un voisinage V de x tel que

∀f ∈A, ∀y∈V, d(f(x), f(y))< , 2. l'ensemble A(x) ={f(x), f ∈A} est relativement compact.

Théorème 1.5.3. On considère x_k(·) comme une suite d'une fonction absolument conti- nue d'un intervalle I de R dans un espace de Banach E satisfaisant

i) ∀t∈I, (x_k(t))k∈N est un sous ensemble relativement compact de E,

ii) il existe une fonction c(·)∈ L¹(I) tel que pour presque tout t ∈ I, kx⁰_k(t)k ≤c(t).

Alors, il existe une sous suite de (x_k)_k qu'on la note toujours x_k(·) qui converge vers une fonction absolument continue x:I →E au sens suivant

1) x_k(·) converge uniformément vers x(·) sur les sous-ensemble compactes de I. 2) x⁰_k(·) converge faiblement vers x⁰(·) dans L¹(I, E).

1.5.2 Lemme de Gronwall

Lemme 1.5.4. (Lemme de Gronwall discret) Soient (a_n)_n≥0 et (b_n)_n≥0 deux suites telles que pour toutn ≥0on ait : an≥0 etbn≥0.On suppose qu'il existe une constante

1.6. Multi-application 18

M≥0 telle que pour tout n ≥0

a_n+1 ≤M +

n

X

k=0

a_kb_k. Alors, pour tout n on ait

a_n+1 ≤M exp

n

X

k=0

b_k

! .

Corollaire 1.5.5. (corollaire du Lemme de Gronwall ) Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C¹([a, b]; R) vériant

∃α >0,∃β ≥0, ∀t∈[a, b], kf⁰(t)k ≤β+αkf(t)k.

Alors,

∀t∈[a, b], kf(t)k ≤ kf(a)ke^α(t−a)+ β

α e^α(t−a)−1 .

1.6 Multi-application

Pour plus de détails sur cette section se référer à [9].

Dénition 1.6.1. Soient X et Y deux ensembles non vides. Une multi-application (ou fonction multivoque) F dénie sur X à valeurs dans Y est une fonction qui à chaque élémentx∈X associe un sous ensembleF(x) deY, on noteF : X⇒Y ou F : X⇒P(Y), (P(Y) est l'ensemble des parties de Y).

Le domaine, le graphe et l'image de la multi-application F : X ⇒Y sont donnés par Dom(F) ={x∈X; F(x)6=∅},

gph(F) ={(x, y)∈X×Y : x∈Dom F, y ∈F(x)}, Im(F) = [

x∈Dom F

F(x).

Dénition 1.6.2. Soient X et Y deux espaces topologiques, F : X⇒Y une multi- application. Alors F est dite semi-continue supérieurement (s.c.s) au point x₀ ∈ X, si pour tout ouvert V de Y tel que F(x) ⊂ V, il existe un ouvert U de X tel que x₀ ∈ U et F(x₀)⊂V,∀x∈U.

On dit que F est s.c.s sur X si elle est s.c.s en tout point x∈X.

Dénition 1.6.3. Soient X et Y deux espaces topologiques, F : X⇒Y une multi- application. Alors F est dite semi-continue inférieurement (s.c.i) au point x₀ ∈ X, si pour tout ouvert V de Y tel que F(x₀)∩V 6=∅, il existe un ouvert U de X tel que x₀ ∈U et F(U)∩V 6=∅.

On dit que F est s.c.i sur X si elle est s.c.i en tout point x∈X.