2 Op´erateurs non born´es dans un espace de Hilbert

2 Op´ erateurs non born´ es dans un espace de Hilbert

Exercice 2.1. SoitJ= [0,1] l’espace de Sobolev d’ordre 1, c’est-`a-dire, l’espace de fonctions u∈L²(J) repr´esentable sous la forme

u(x) =u0+

� x 0

v(y)dy , (2.1)

o`u v ∈ L²(J). Dans la suite, on note v = u^�. On munit H¹(J) du produit scalaire

(u1, u2)H¹ =

� 1 0

�u1(x)u2(x) +u^�₁(x)u^�₂(x)� dx ,

On admet que H¹(J) est un espace de Hilbert.

Consid´erons les deux op´erateurs suivants dansL²(J) :

D(A1) =H¹(J), A1u(x) =u^�(x) pouru∈ D(A1), D(A2) ={u∈H¹(J) :u(0) = 0}, A2u(x) =u^�(x) pouru∈ D(A2).

Montrer que :

(a) A1, A2sont des op´erateurs ferm´es ; (b) σ(A1) =C,σ(A2) =∅.

Exercice2.2.SoitHun espace de Hilbert s´eparable,{ej}une base orthonormale de H et e ∈ H un vecteur qui n’appartient pas `a l’espace vectoriel engendr´e par{ej}. On d´efinit un op´erateurApar

D(A) =�

u∈H :u=ce+

�N

j=1

cjej, c, cj ∈C, N≥0 est un entier� ,

A� ce+

�N

j=1

cjej

�=ce.

Montrer queA n’est pas fermable.

Exercice 2.3. (a) SoitT l’op´erateur−dx^d22 dansL²(R) avec le domaineC₀^∞(R).

Trouver l’adjoint deT. L’op´erateurT est-il essentiellement auto-adjoint?

(b) Soit R+ = [0,+∞[ et T+ l’op´erateuri_dx^d dans L²(R+) avec le domaine C₀^∞(R⁺). Trouver l’adjoint deT+. L’op´erateurT+ est-il essentiellement auto-adjoint?

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Exercice2.4. SoitJ = [0,1] etk≥1 un entier. On d´efinit l’espace de SobolevH^k(J) par r´ecurrence : H¹(J) est d´efini dans l’exercice 2.1,

H^k(J) ={u∈H^k−1(J) :u^�∈H^k−1(J)}. On muniH^k(J) du produit scalaire

(u1, u2)_H^k =

� 1 0

��^k

j=0

u^(j)₁ (x)u^(j)₂ (x)

� dx .

On admet que H^k =H^k(J) soit un espace de Hilbert. Soient

D⁰={u∈H²:u(0) =u(1) =u^�(0) =u^�(1) = 0}, D^a,b={u∈H²:au(0) +u^�(0) = 0 =bu(1) +u^�(1)},

D∞={u∈H²:u(0) =u(1) = 0}, D=H².

Soient T0, Ta,b, T_∞, T l’op´erateur−dx^d22 avec les domainesD⁰,D^a,b,D∞,D. (a) Montrer que les op´erateursT0, Ta,b, T_∞, T sont ferm´es et que l’op´erateur

T0est sym´etrique, mais il n’est pas auto-adjoint. TrouverT₀^∗. (b) Montrer queTa,b, T_∞ sont des extensions auto-adjoint deT0.

(c) Montrer queT0 est semi-born´e et trouver son extension de Friedrichs.

Exercice 2.5. Montrer que la forme quadratique

Q(u, v) =u(0)v(0), u, v∈C₀^∞(R), n’est pas engendr´ee par un op´erateur sym´etrique.

Exercice 2.6. Soit (M,B, µ) un espace mesur´e et a(m) une fonction mesurable

`a valeurs r´eelles. On d´efinit un op´erateurAdansL²(M, µ) par

D(A) ={u∈L²(M, µ) :au∈L²(M, µ)}, (Au)(m) =a(m)u(m).

Montrer queA=A^∗ et trouverσ(A).

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