Pr´ es´ eance (priorit´ e) des op´ erateurs

(1)

Pr´ es´ eance (priorit´ e) des op´ erateurs

(1) [x:=e] (substitution textuelle) (priorité élevée)

(2) . (application de fonction)

(3) + − ¬ P (op´erateurs unaires pr´efixes) (4) · / ÷ mod pgcd × ◦ •

(5) + − ∪ ∩ (op´erateurs binaires) (6) ↓ ↑

(7) = < > ∈ ⊂ ⊆ ⊃ ⊇ -= -< -> -∈ -⊂ -⊆ -⊃ -⊇ - (conjonctifs, voir page 16) (8) ∨ ∧

(9) ⇒ ⇐ -⇒ -⇐

(10) ≡ -≡ (priorit´e faible)

Les opérateurs binaires non associatifs sont associatifs à gauche, sauf⇒, qui est associatif à droite. Si! est un opérateur binaire, alors la notationa-!best une abréviation pour l’expression¬(a!b). Pour que l’expression ait un sens, il faut quea!bsoit une expression booléenne. L’opérateur-!a la même préséance que!. On voit des exemples de tels opérateurs aux lignes (7, 9, 10). Vous pouvez utiliser cette abréviation en tout temps et il n’est pas nécessaire de donner un numéro de loi pour la justifier.

Liste des lois

(1.9) Substitution : E E[v:=F]

(1.10) R´eflexivit´e :x=x

(1.11) Symétrie (commutativité) :(x=y) = (y=x) (1.12) Transitivité :X=Y, Y=Z

X=Z (1.13) Leibniz : X=Y

E[z:=X] =E[z:=Y] (1.17) Leibniz : X=Y

g.X=g.Y (3.2) Axiome, associativit´e de≡: !

(p≡q)≡r"

≡!

p≡(q≡r)"

(3.3) Axiome, commutativité (symétrie) de≡: p≡q≡q≡p (3.4) Axiome, identité (élément neutre) de≡: vrai≡p≡p (3.6) Théorème : vrai

(3.7) Théorème, réflexivité de≡: p≡p (3.11) Axiome, définition defaux: faux≡¬vrai

(3.12) Axiome, distributivit´e de¬sur≡: ¬(p≡q) ≡¬p≡q (3.13) Axiome, d´efinition de-≡: (p-≡q) ≡ ¬(p≡q) (3.14) ¬p≡q≡p≡¬q

(3.15) Double n´egation : ¬¬p≡p (3.16) N´egation defaux: ¬faux≡vrai (3.17) (p-≡q)≡ ¬p≡q

(3.18) ¬p≡p≡faux

(3.19) Commutativité (symétrie) de-≡: (p-≡q)≡ (q-≡p) (3.20) Associativité de-≡: !(p-≡q)-≡r"

≡!p-≡(q-≡r)"

(3.21) Associativit´e mutuelle : !(p-≡q)≡r"

≡ !p-≡(q≡r)"

(3.22) Interchangeabilité mutuelle : p-≡q≡r ≡p≡q-≡r (3.32) Axiome, commutativité (symétrie) de∨: p∨q ≡q∨p (3.33) Axiome, associativité de∨: (p∨q)∨r ≡p∨(q∨r) (3.34) Axiome, idempotence de∨: p∨p≡p

(3.36) Axiome, distributivit´e de∨sur≡: p∨(q≡r) ≡ p∨q ≡p∨r (3.37) Axiome, tiers exclu : p∨¬p ou encore p∨¬p≡vrai (3.38) Z´ero de∨: p∨vrai≡vrai

(3.40) Identit´e de∨: p∨faux≡p

(3.41) Distributivit´e de∨sur∨: p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨(p∨r) (3.42) p∨q≡p∨¬q≡p

(3.47) Axiome, De Morgan : p∧q ≡¬(¬p∨¬q)

(3.48) De Morgan, formes alternatives : (a) ¬(p∧q) ≡¬p∨¬q (b) ¬(p∨q) ≡¬p∧¬q (c) p∨q ≡ ¬(¬p∧¬q) (3.49) Commutativité (symétrie) de∧: p∧q ≡q∧p (3.50) Associativité de∧: (p∧q)∧r≡ p∧(q∧r) (3.51) Idempotence de∧: p∧p≡p

(3.52) Identit´e de∧: p∧vrai≡p (3.53) Z´ero de∧: p∧faux≡faux

(3.54) Distributivit´e de∧sur∧: p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧(p∧r) (3.55) Contradiction : p∧¬p≡faux

(3.57) R`egle d’or :p∧q ≡ p ≡q ≡p∨q

(3.59) Distributivit´e de∨sur∧: p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r) (3.60) Distributivit´e de∧sur∨: p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) (3.61) Absorption : (a) p∧(p∨q)≡p

(b) p∨(p∧q)≡p (c) p∧(¬p∨q) ≡p∧q (d) p∨(¬p∧q) ≡p∨q (3.62) p∧q ≡p∧¬q ≡ ¬p

(3.63) p∧(q≡r) ≡p∧q ≡ p∧r ≡p (3.64) p∧(q≡p) ≡p∧q

(3.65) Remplacement : (p≡q)∧(r≡p)≡ (p≡q)∧(r≡q) (3.66) D´efinition de≡: p≡q ≡(p∧q)∨(¬p∧¬q) (3.67) Ou exclusif : p-≡q≡ (¬p∧q)∨(p∧¬q)

(3.71) (p∧q)∧r ≡ p≡q≡r≡p∨q≡q∨r≡r∨p≡p∨q∨r (3.73) Axiome, d´efinition de⇒: p⇒q≡ p∨q ≡q

(3.74) Axiome, conséquence : p⇐q ≡q⇒p (3.75) Définition alternative de⇒: p⇒q ≡¬p∨q (3.76) Définition alternative de⇒: p⇒q ≡p∧q≡ p (3.77) Contrapositivité : p⇒q≡ ¬q⇒¬p

(3.78) p⇒(q≡r) ≡ p∧q ≡p∧r

(3.79) Distributivit´e de⇒sur≡: p⇒(q≡r) ≡p⇒q≡ p⇒r (3.80) p⇒(q⇒r) ≡ (p⇒q)⇒(p⇒r)

(3.81) Transfert : p∧q⇒r≡ p⇒(q⇒r) (3.82) p∧(p⇒q) ≡p∧q

(3.83) p∧(q⇒p) ≡p (3.84) p∨(p⇒q) ≡vrai (3.85) p∨(q⇒p)≡q⇒p (3.86) p∨q⇒p∧q ≡p≡q

(3.87) Réflexivité de⇒: p⇒p ≡vrai ou encore p⇒p (3.88) Zéro à droite de⇒: p⇒vrai≡ vrai ou encore p⇒vrai (3.89) Identité à gauche de⇒: vrai⇒p ≡p

(3.90) p⇒faux ≡¬p

(3.91) faux⇒p ≡vrai ou encore faux⇒p (3.92) Affaiblissement, renforcement : (a) p⇒p∨q

(b) p∧q⇒p (c) p∧q⇒p∨q (d) p∨(q∧r)⇒p∨q (e) p∧q⇒p∧(q∨r) (3.93) Modus ponens : p∧(p⇒q)⇒q

(3.94) (p⇒r)∧(q⇒r) ≡ (p∨q⇒r) (3.95) (p⇒r)∧(¬p⇒r)≡ r

(3.97) Implication mutuelle : (p⇒q)∧(q⇒p)≡ p≡q (3.98) Antisym´etrie : (p⇒q)∧(q⇒p) ⇒ (p≡q) (3.99) Transitivit´e : (a) (p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r)

(b) (p≡q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r) (c) (p⇒q)∧(q≡r)⇒(p⇒r)

(3.100) Métathéorème : Deux théorèmes quelconques sont équivalents.

(4.1) p⇒(q⇒p)

(4.2) Monotonie de∨: (p⇒q) ⇒(p∨r⇒q∨r) (4.3) Monotonie de∧: (p⇒q) ⇒(p∧r⇒q∧r)

(4.6) D´eduction : Pour montrerP1∧. . .∧Pn⇒Q,assumezP1, . . . , Pnet prouvezQ.

(6.14) D´efinition : Pourvu que ¬libre(‘y’,‘x, F’) ,

(!y|R:P)[x:=F] = (!y|R[x:=F] :P[x:=F]). (6.19) Axiome, domaine vide : (!x|faux:P) =u (oùuest l’élément neutre de!). (6.21) Axiome du point : Pourvu que¬libre(‘x’,‘E’), (!x|x=E:P) =P[x:=E]. (6.23) Axiome, distributivité : Pourvu que chaque quantification soit définie,

(!x|R:P)! (!x|R:Q) = (!x|R:P!Q).

(6.25) Axiome, division du domaine :Pourvu queR∧S≡fauxet que chaque quantification soit d´efinie,

(!x|R∨S:P) = (!x|R:P) !(!x|S:P). (6.27) Axiome, division du domaine (g´en´eralisation de (6.25)) :

Pourvu que chaque quantification soit d´efinie,

(!x|R∨S:P)!(!x|R∧S:P) = (!x|R:P)! (!x|S:P). (6.29) Axiome, division du domaine si!est idempotent :

Pourvu que chaque quantification soit d´efinie,

(!x|R∨S:P) = (!x|R:P) !(!x|S:P).

(6.31) Axiome, ´echange des variables de quantification :Pourvu que chaque quantification soit d´efinie et que¬libre(‘y’,‘R’) et¬libre(‘x’,‘Q’),

(!x|R: (!y|Q:P)) = (!y|Q: (!x|R:P)). (6.34) Axiome, imbrication : Pourvu que¬libre(‘y’,‘R’),

(!x, y|R∧Q:P) = (!x|R: (!y|Q:P)).

(6.36) Axiome, renommage des variables de quantification : Pourvu que¬libre(‘y’,‘R, P’), (!x|R:P) = (!y|R[x:=y] :P[x:=y]).

(6.39) Changement des variables de quantification : Pourvu que f ait un inverse et que

¬libre(‘y’,‘R, P’) ,

(!x|R:P) = (!y|R[x:=f.y] :P[x:=f.y]). (6.40) Th´eor`eme, extraction d’un terme : Soitn:N.

(!i:N|k≤i < n+ 1 :P) = (!i:N|k≤i < n:P)!P[i:=n]

(!i:N|k≤i < n+ 1 :P) =P[i:=k]! (!i:N|k < i < n+ 1 :P) (7.3) Axiome, transfert : (∀x|R:P) ≡(∀x|:R⇒P)

(7.4) Transfert : (a) (∀x|R:P) ≡ (∀x|:¬R∨P) (b) (∀x|R:P) ≡ (∀x|:R∧P≡R) (c) (∀x|R:P) ≡ (∀x|:R∨P≡P) (7.6) Transfert : (a) (∀x|Q∧R:P) ≡ (∀x|Q:R⇒P)

(2)

(7.8) Axiome, distributivit´e de∨sur∀: Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’), P∨(∀x|R:Q) ≡ (∀x|R:P∨Q) (7.10) Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’), (∀x|R:P) ≡P∨(∀x|:¬R) (7.11) Distributivit´e de∧sur∀: Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’),

¬(∀x|:¬R) ⇒!(∀x|R:P∧Q) ≡ P∧(∀x|R:Q)"

(7.12) (∀x|R:vrai) ≡vrai (7.14) (∀x|R:P≡Q)⇒!

(∀x|R:P)≡(∀x|R:Q)"

(∀x|R:Q)⇒(∀x|R:P)"

(7.20) ´Elimination :(∀x|:P) ⇒ P[x:=E]

(7.23) Métathéorème : Pest un théorème ssi (∀x|:P) est un théorème.

(7.24) Axiome, De Morgan : (∃x|R:P)≡¬(∀x|R:¬P) (7.25) De Morgan : (a) ¬(∃x|R:¬P)≡(∀x|R:P)

(b) ¬(∃x|R:P)≡(∀x|R:¬P) (c) (∃x|R:¬P)≡¬(∀x|R:P) (7.26) Transfert : (∃x|R:P) ≡ (∃x|:R∧P) (7.28) Transfert : (∃x|Q∧R:P) ≡ (∃x|Q:R∧P)

(7.29) Distributivit´e de∧sur∃:Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’), P∧(∃x|R:Q) ≡(∃x|R:P∧Q) (7.30) Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’), (∃x|R:P) ≡P∧(∃x|:R)

(7.31) Distributivit´e de∨sur∃: Pourvu que¬libre(‘x’,‘P’), (∃x|:R) ⇒!

(∃x|R:P∨Q) ≡ P∨(∃x|R:Q)"

(7.32) (∃x|R:faux) ≡faux

(7.33) Affaiblissement/renforcement du domaine : (∃x|R:P) ⇒(∃x|Q∨R:P) (7.34) Affaiblissement/renforcement du corps : (∃x|R:P) ⇒ (∃x|R:P∨Q) (7.35) Monotonie de∃: (∀x|R:Q⇒P) ⇒!(∃x|R:Q)⇒(∃x|R:P)"

(7.36) ∃-Introduction : P[x:=E]⇒(∃x|:P)

(7.37) ´Echange de∀,∃: Pourvu que ¬libre(‘y’,‘R’) et ¬libre(‘x’,‘Q’) , (∃x|R: (∀y|Q:P))⇒(∀y|Q: (∃x|R:P)) (8.2) Induction math´ematique (faible) surN:

P.0 ∧(∀n:N|:P.n⇒P(n+ 1)) ⇒(∀n:N|:P.n) (8.5) Induction math´ematique (faible) sur{n0, n0+ 1, n0+ 2, . . .}:

P.n0 ∧(∀n|n0≤n:P.n⇒P(n+ 1)) ⇒(∀n|n0≤n:P.n)

(8.7) b⁰= 1

bⁿ⁺¹=b·bⁿ (sin≥0 ) (8.10) 0! = 1

k! =k·(k−1)! (sik >0 )

(8.14) Induction sur{n0, n0+ 1, n0+ 2, . . .}, deux cas de base :

P.n0 ∧P(n0+ 1)∧(∀n|n0≤n:P.n∧P(n+ 1)⇒P(n+ 2)) ⇒(∀n|n0≤n:P.n)

(9.1) Axiome, Leibniz : (e=f)⇒(E[z:=e] =E[z:=f]) ou encore (e=f)⇒(E[z:=e] =E[z:=f]) (9.3) Substitution : (a) (e=f)∧E[z:=e] ≡(e=f)∧E[z:=f]

(b) (e=f)⇒E[z:=e] ≡(e=f)⇒E[z:=f]

(c) q∧(e=f)⇒E[z:=e] ≡q∧(e=f)⇒E[z:=f]

(9.4) Remplacement parvrai: (a) p⇒E[z:=p] ≡p⇒E[z:=vrai]

(b) p∧q⇒E[z:=p] ≡p∧q⇒E[z:=vrai]

(9.5) Remplacement parfaux: (a) E[z:=p]⇒p ≡E[z:=faux]⇒p (b) E[z:=p]⇒p∨q ≡ E[z:=faux]⇒p∨q (9.6) Remplacement parvrai: p∧E[z:=p] ≡p∧E[z:=vrai]

(9.7) Remplacement parfaux: p∨E[z:=p] ≡p∨E[z:=faux]

(9.8) Shannon : E[z:=p]≡(p∧E[z:=vrai])∨(¬p∧E[z:=faux])

(9.10) Preuve par cas : SiE[z:=vrai] etE[z:=faux] sont des th´eor`emes, alorsE[z:=p] en est un (9.12) (p∨q∨r)∧(p⇒s)∧(q⇒s)∧(r⇒s) ⇒s

(9.14) Preuve par implication mutuelle : Pour démontrerP≡Q, montrezP⇒QetQ⇒P (9.15) Preuve par contradiction : Pour démontrerP, démontrez¬p⇒faux

(9.21) Preuve par contraposition : Pour démontrerP⇒Q, montrez¬Q⇒¬P (10.5) Définition de l’affectation : Pourvu queEsoit définie dans tous les états,

{R[x:=E]} x:=E {R} (10.11) D´efinition de l’affectation : {dom.‘E’∧R[x:=E]} x:=E {R} (10.20) Axiome : {Q} S {R} ≡ Q⇒wp(S, R)

(10.21) Axiome de l’affectation : wp(x:=E, R) ≡ dom.‘E’∧R[x:=E]

(10.22) Axiome de l’affectation siEtotale : wp(x:=E, R) ≡ R[x:=E]

(10.29) Axiome de la s´equence : wp(S1;S2, R) ≡wp(S1,wp(S2, R)) (10.31) Axiome de l’instruction skip : {Q} skip {R} ≡ Q⇒R (10.33) Axiome de l’instruction conditionnelle :

{Q} IF {R} ≡ {Q∧B} S1 {R} ∧ {Q∧¬B} S2 {R} (10.37) Axiome du bloc begin-end : {Q} beginSend {R} ≡ {Q} S {R}.

(10.41) Th´eor`eme d’invariance : Supposons 1.{P∧B} S {P}

(c’est-à-dire que l’exécution deSse termine dans un état qui satisfaitPsi elle débute dans un état qui satisfaitPetB) ;

2.{P} whileBdoS {vrai}

(c’est-à-dire que l’exécution de la boucle se termine si elle débute dans un état qui satisfait P).

Alors

{P} whileBdoS {P∧¬B} est un th´eor`eme.

(10.43) V´erification d’une boucle initialis´ee : Pour que

{Q} S^!;{InvariantP} whileBdoS {R} soit un th´eor`eme, il suffit que

(a) Psoitvraiavant l’ex´ecution de la boucle :{Q} S^! {P}; (b) Psoit un invariant de la boucle :{P∧B} S {P}; (c) l’ex´ecution de la boucle se termine ;

(d) Rsoitvrai`a la fin de l’ex´ecution :P∧¬B⇒R.

(10.45) Preuve de terminaison :Pour montrer que l’ex´ecution de {InvariantP}

{Fonction majoranteM} whileBdoS se termine, il suffit que

(a) Msoit une fonction `a valeur enti`ere ;

(b) Mdécroisse à chaque itération :{P∧B∧M=X} S {M <X}; (c) tant qu’il reste une itération,M >0 :P∧B⇒M >0.

(11.1) {e0, . . . , en−1} = {x|x=e0∨. . .∨x=en−1:x}

Cas particulier :{}=∅={x|faux:x}={x|faux} (11.5) Axiome, appartenance : Pourvu que ¬libre(‘x’,‘F’) ,

F∈{x|R:E} ≡(∃x|R:F=E) (11.6) Appartenance, cas particulier : F∈{x|R:x} ≡R[x:=F]

(11.8) Axiome, extensionnalit´e : S=T ≡ (∀x|:x∈S≡x∈T) (11.9) S={x|x∈S:x}

(11.10) Pourvu que ¬libre(‘y’,‘R, E’) ,{x|R:E} = {y|(∃x|R:y=E)}

(11.12) Appartenance, cas particulier, notation traditionnelle : F∈{x|R} ≡R[x:=F]

(11.13) x∈{x|R} ≡R Cas particulier : x∈ ∅ ≡faux (11.16) {x|Q}={x|R} ≡ (∀x|:Q≡R)

(11.17) Métathéorème : {x|Q}={x|R} est un théorème si et seulement si (∀x|:Q≡R) est un théorème.

(11.19) Axiome, cardinalit´e : #S= (#x|x∈S: 1) (11.21) Axiome, sous-ensemble : S⊆T ≡ (∀x|x∈S:x∈T) (11.22) Axiome, sous-ensemble propre : S⊂T ≡S⊆T ∧S-=T (11.23) Axiome, surensemble : T⊇S ≡ S⊆T

(11.24) Axiome, surensemble propre : T⊃S ≡S⊂T (11.25) Axiome, compl´ement : v∈ ∼S ≡v∈U∧v-∈S (11.26) v∈ ∼S ≡ v-∈S (o`uv∈U)

(11.27) ∼∼S=S

(11.28) Axiome, union : v∈S∪T ≡v∈S∨v∈T (11.29) Axiome, intersection : v∈S∩T ≡ v∈S∧v∈T (11.30) Axiome, différence : v∈S−T ≡ v∈S∧v-∈T (11.32) Axiome, ensemble puissance : v∈PS ≡ v⊆S (11.34) Commutativité de∪: S∪T=T∪S (11.35) Associativité de∪: (S∪T)∪U=S∪(T∪U) (11.36) Idempotence de∪: S∪S=S

(11.37) Z´ero de∪: S∪U=U

(11.38) Identité (élément neutre) de∪: S∪ ∅=S (11.39) Affaiblissement : S⊆S∪T

(11.40) Tiers exclu : S∪ ∼S=U (11.41) Commutativit´e de∩: S∩T=T∩S (11.42) Associativit´e de∩: (S∩T)∩U=S∩(T∩U) (11.43) Idempotence de∩: S∩S=S

(11.44) Z´ero de∩: S∩ ∅=∅

(11.45) Identité (élément neutre) de∩: S∩U=S (11.46) Affaiblissement : S∩T⊆S

(11.47) Contradiction : S∩ ∼S=∅

(11.48) Distributivit´e de∪sur∩: S∪(T∩U) = (S∪T)∩(S∪U) (11.49) Distributivit´e de∩sur∪: S∩(T∪U) = (S∩T)∪(S∩U) (11.50) De Morgan : (a) ∼(S∪T) =∼S∩ ∼T

(b) ∼(S∩T) =∼S∪ ∼T

(11.51) Monotonie de∪: S⊆T∧U⊆V ⇒S∪U⊆T∪V (11.52) Monotonie de∩: S⊆T∧U⊆V ⇒S∩U⊆T∩V (11.53) S⊆T ≡S∪T=T

(11.54) S⊆T ≡S∩T=S

(11.55) S∪T=U ≡(∀x|x∈U:x-∈S⇒x∈T) (11.56) S∩T=∅ ≡ (∀x|:x∈S⇒x-∈T) (11.57) S−T =S∩ ∼T

(11.58) S−T ⊆S (11.59) S− ∅=S (11.60) S∩(T−S) =∅ (11.61) S∪(T−S) =S∪T

(11.62) S−(T∪U) = (S−T)∩(S−U) (11.63) S−(T∩U) = (S−T)∪(S−U)

(3)

(11.64) (∀x|:P⇒Q) ≡{x|P}⊆{x|Q} (11.65) Antisymétrie : S⊆T∧T⊆S ≡ S=T (11.66) Réflexivité : S⊆S

(11.67) Transitivit´e : S⊆T∧T⊆U ⇒S⊆U (11.68) ∅ ⊆S

(11.69) S⊂T ≡ S⊆T∧¬(T⊆S) (11.70) S⊂T ≡ S⊆T∧(∃x|x∈T:x-∈S) (11.71) S⊆T ≡ S⊂T∨S=T

(11.72) S-⊂S (11.73) S⊂T ⇒S⊆T (11.74) S⊂T ⇒T-⊆S (11.75) S⊆T ⇒T-⊂S

(11.76) S⊆T∧¬(U⊆T) ⇒ ¬(U⊆S) (11.77) (∃x|x∈S:x-∈T) ⇒S-=T

(11.78) Transitivit´e : (a) S⊆T∧T⊂U ⇒ S⊂U (b) S⊂T∧T⊆U ⇒ S⊂U (c) S⊂T∧T⊂U ⇒ S⊂U (11.79) P∅={∅}

(11.80) S∈PS

(11.81) #(PS) = 2^#S (pour tout ensemble finiS)

(12.1) Axiome, égalité de couples : 9b, c:=9b^!, c^!: ≡b=b^!∧c=c^! (12.2) Axiome, produit cartésien : S×T ={b, c|b∈S∧c∈T:9b, c:}

(12.4) Appartenance : 9x, y: ∈S×T ≡x∈S∧y∈T (12.5) 9x, y: ∈S×T ≡ 9y, x: ∈T×S

(12.6) S=∅ ⇒ S×T=T×S=∅ (12.7) S×T =T×S ≡ S=∅ ∨T=∅ ∨S=T

(12.8) Distributivité de×sur∪: S×(T∪U) = (S×T)∪(S×U) (S∪T)×U = (S×U)∪(T×U) (12.9) Distributivité de×sur∩: S×(T∩U) = (S×T)∩(S×U) (S∩T)×U = (S×U)∩(T×U) (12.10) Distributivité de×sur−: S×(T−U) = (S×T)−(S×U) (12.11) Monotonie : T⊆U ⇒S×T ⊆S×U

(12.12) S⊆U∧T⊆V ⇒ S×T ⊆U×V (12.13) S×T ⊆S×U∧S-=∅ ⇒ T⊆U (12.14) (S∩T)×(U∩V) = (S×U)∩(T×V)

(12.15) SiSetTsont des ensembles finis, #(S×T) = #S·#T (12.17) Dom.ρ={b|(∃c|:bρc)}

(12.18) Im.ρ= {c|(∃b|:bρc)}

(12.19) 9b, c: ∈ρ⁻¹ ≡ 9c, b: ∈ρ (pour tousb:B,c:C) (12.21) Soitρune relation. ρ={b, c|9b, c: ∈ρ:9b, c:}

(12.22) 9b, c: ∈{x, y|R:9x, y:} ≡ R[x, y:=b, c]

9b, c: ∈{b, c|R:9b, c:} ≡R (12.23) Soientρet σ deux relations.

(a)Dom(ρ⁻¹) =Im.ρ (b)Im(ρ⁻¹) =Dom.ρ (c)ρ⊆B×C ≡ ρ⁻¹⊆C×B (d)(ρ⁻¹)⁻¹=ρ

(e)ρ⊆σ≡ ρ⁻¹⊆σ⁻¹ (f)I⁻¹_B =IB

(12.24) D´efinition de◦: 9b, d: ∈ρ◦σ ≡ (∃c|:9b, c: ∈ρ∧ 9c, d: ∈σ)

(12.25) Définition de◦: bρ◦σd≡(∃c|:bρcσd) (12.27) Associativité de◦: ρ◦(σ◦θ) = (ρ◦σ)◦θ (12.28) Distributivité de◦sur∪: ρ◦(σ∪θ) =ρ◦σ∪ρ◦θ

(σ∪θ)◦ρ= σ◦ρ∪θ◦ρ (12.29) (Sous)-distributivit´e de◦sur∩: ρ◦(σ∩θ)⊆ρ◦σ∩ρ◦θ

(σ∩θ)◦ρ⊆σ◦ρ∩θ◦ρ (12.30) Identit´e de◦(o`uρ⊆B×C) : IB◦ρ=ρ◦IC=ρ (12.31) 9x, y: ∈IB≡ x=y

(12.32) Z´ero de◦: ∅ ◦ρ=ρ◦ ∅=∅ (12.33) Monotonie de◦: ρ⊆σ ⇒ρ◦θ⊆σ◦θ (12.34) Monotonie de◦: ρ⊆σ ⇒θ◦ρ⊆θ◦σ (12.35) (ρ◦σ)⁻¹=σ⁻¹◦ρ⁻¹

(12.36) ∅⁻¹=∅

(12.37) (ρ∪σ)⁻¹=ρ⁻¹∪σ⁻¹ (12.38) (ρ∩σ)⁻¹=ρ⁻¹∩σ⁻¹

(12.39) ρ⁰=IB ρⁿ⁺¹=ρⁿ◦ρ (sin≥0 ) (12.41) ρ^m◦ρⁿ=ρ^m+n

(12.42) (ρ^m)ⁿ=ρ^m·n

(12.45) (a) ρ⁺= (∪i|0< i:ρⁱ) (b) ρ^∗=ρ⁺∪IB= (∪i|0≤i:ρⁱ)

(12.56) Une applicationf est inversible ssi elle est bijective

(13.1) La somme des degrés des sommets d’un graphe9S, A:(orienté ou non) est 2·#A (13.2) Dans un graphe (orienté ou non), le nombre de sommets de degré impair est pair

(13.4) Théorème : Pour tout graphe planaire connexe avec s sommets, aarêtes et r régions, r=a−s+ 2

(13.5) Théorème : Entre deux sommets quelconques d’un arbre, il y a un chemin simple unique (13.6) Théorème : Un arbre avec au moins deux sommets a au moins deux sommets de degré 1 (13.7) Théorème : Pour tout arbre9S, A:, #S= 1 + #A

(13.8) Théorème : SoitG=9S, A:un graphe non orienté sans boucle. Les énoncés suivants sont

´equivalents : (a)Gest un arbre.

(b)Gest connexe et l’enl`evement d’une arˆete quelconque produit deux arbres.

(c)Gn’a pas de cycle et #S= 1 + #A.

(d)Gest connexe et #S= 1 + #A.

(e)Gn’a pas de cycle et l’ajout d’une arˆete introduit exactement un cycle.

Propri´et´es des relations

Propriété Définition 1 Définition 2

(a) r´eflexivit´e (∀b|:bρb) IB⊆ρ

(b) irr´eflexivit´e (∀b|:¬(bρb)) IB∩ρ=∅

(c) sym´etrie (∀b, c|:bρc ≡cρb) ρ⁻¹=ρ

(d) antisym´etrie (∀b, c|:bρc∧cρb ⇒b=c) ρ∩ρ⁻¹⊆IB

(e) asym´etrie (∀b, c|:bρc⇒¬(cρb)) ρ∩ρ⁻¹⊆ ∅ (f) transitivit´e (∀b, c, d|:bρc∧cρd⇒bρd) ρ= (∪i|i >0 :ρⁱ)

ρ²⊆ρ (g) équivalence réflexivité + symétrie + transitivité

(k) injectivit´e (∀b, b^!, c|bρc∧b^!ρc:b=b^!) ρ◦ρ⁻¹⊆IB

(l) fonction d´eterminisme

(m) application fonction totale

(n) application bijective application injective et surjective (o) ordre partiel réflexivité + antisymétrie + transitivité (p) ordre partiel strict irréflexivité + transitivité

(q) ordre total (∀b, c|:b;c∨b<c)

(4)

Définitions1:(cettedéfinitionvientremplacerladéfinitionsd’injectivitédelapage 120desnotesdanslecasoùlarelationétudiéeestuneapplication.)

´ Etant

donnéeuneapplicationf:B−→C,alors festinjective≡(∀b,b%:B|f(b)=f(b%):b=b%) ou,cequiestéquivalent: festinjective≡(∀b,b%:B|b&=b%:f(b)&=f(b%))) Définitions2:(cettedéfinitionvientremplacerladéfinitionsdesurjectivitédela page120desnotesdanslecasoùlarelationétudiéeestuneapplication.)

´ Etant donn´eeuneapplicationf:B−→C,alors festsurjective≡(∀c:C|:(∃b:B|:f(b)=c))

Th ´eorie des ensem bles infinis

(I.2.2)Ax.déf.:égalitédecardinalités |A|=|B|ssiilexisteuneapplicationbijectivedeAversB. (I.2.3)Appl.identitéLarelationIAestuneapplicationbijective,∀A:Ensemble. (I.2.4)BijectivitéetinverseSoientAetB,deuxensembles,etf⊆A×B. Alors,larelationfestuneapplicationbijectivessilarelationinversef−1⊆B×A estuneapplicationbijective. (I.2.5)BijectivitéetcompositionSoientA,BetC,troisensembles,etsoient f⊆A×Betg⊆B×C. Sifetgsontdeuxapplicationsbijectives,Alorsf◦gserauneapplicationbijective deAversC. (I.2.6)Ax.déf.:dénombrableUnensembleAestditdénombrables’ilestfini oudelamêmecardinalitéquel’ensembleN.

(I.2.9)Transitivitédedénombrabilité

´ Etant

donnéunensembleinfiniB.Alors, Bestdénombrable≡(∃A:ensemble|Aestinfinidénombrable:|A|=|B|). (I.3.1)DualitéSoientAetB,deuxensemblesnon-vides.Alors, ∃appl.injectivef:A−→Bssi∃appl.surjectiveg:B−→A. (I.3.2)Ax.déf.:cardinalité≤SoientAetB,deuxensembles. |A|≤|B|ssiilexisteuneapplicationinjectivedeAversB. Ou,cequiestéquivalent |A|≤|B|ssiilexisteuneapplicationsurjectivedeBversA. (I.3.3)Bernstein-SchröderSoientAetB,deuxensembles.S’ilexisteune applicationinjectivedeAversBetuneapplicationinjectivedeBversA,alorsil existerauneapplicationbijectivedeAversB. Autrementdit:|A|≤|B|∧|B|≤|A|⇒|A|=|B|. (I.3.4)InjectivitéetcompositionSoientA,BetC,troisensembles,et soientf⊆A×Betg⊆B×C.Sifetgsontdeuxapplicationsinjectives,alors f◦gserauneapplicationinjectivedeAversC. Autrementdit:|A|≤|B|∧|B|≤|C|⇒|A|≤|C|. (I.3.5)≤etinclusionSoientAetBdeuxensembles. SiA⊆Balorsl’applicationIA⊆B:A−→Bestbiendéfinieetestinjective. a.−→a Cequientraˆıne:|A|⊆|B|⇒|A|≤|B|. (I.3.7)Minimalitéde|N|SoitAunensembleinfini.Alors|A|≥|N|. (I.3.8)

´ Equiv

alenceà=decardinalitéSoientAetB,deuxensembles,alors lesénoncéssuivantssontéquivalents: 1.|A|=|B|. 2.∃applicationbijectivef:A−→B. 3.∃applicationbijectiveg:B−→A. 4.|A|≤|B|et|A|≥|B|. 5.∃applicationinjectivef:A−→Bet∃applicationinjectiveg:B−→A. 6.∃applicationinjectivef:A−→Bet∃applicationsurjectiveh:A−→B. 7.∃applicationsurjectivek:B−→Aet∃applicationsurjectiveh:A−→B. 8.∃applicationsurjectivek:B−→Aet∃applicationinjectiveg:B−→A.

(I.3.9)

´ Equiv

alenceà<descardinalités SoientAetB,deuxensembles,alorslesénoncéssuivantssontéquivalents: 1.|A|<|B|. 2.|A|≤|B|et|A|&=|B|. 3.∃applicationinjectivef:A−→Bmais&∃applicationbijectiveg:B−→A. 4.|A|≤|B|et|A|&≥|B|. 5.∃applicationinjectivef:A−→Bmais&∃applicationinjectiveg:B−→A. 6.∃applicationinjectivef:A−→Bmais&∃applicationsurjectiveg:A−→B. 7.|A|&≥|B|. 8.&∃applicationinjectiveg:B−→A. 9.&∃applicationsurjectiveg:A−→B.

(I.3.10)

´ Equiv.

àdénombrableLesénoncéssuivantssontéquivalents∀ensembleA 1.Aestdénombrable. 2.|A|≤|N|. 3.∃applicationsurjectivef:N−→A. 4.∃applicationinjectivef:A−→N. 5.|A|<|N|ou|A|=|N|. 6.Aestfiniou∃applicationbijectivef:A−→N. 7.Aestfiniou∃applicationbijectivef:N−→A. (I.3.11)

´ Equiv.

ànondénombrableLesénoncéssuivantssontéquiv.∀ensembleA 1.Aestnondénombrable. 2.|A|>|N|. 3.&∃applicationsurjectivef:N−→A. 4.&∃applicationinjectivef:A−→N. 5.Aestinfiniet|A|&=|N|. 6.Aestinfiniet&∃applicationbijectivef:A−→N. 7.Aestinfiniet&∃applicationbijectivef:N−→A. (I.3.12)UnionetproduitSoientAetB,deuxensemblesinfinisdénombrables. Alors 1.A∪Bestdénombrable, 2.A×Bestdénombrable. (I.3.13)CantorPourtoutensembleA,|P(A)|>|A|. (I.3.14)Ax.déf.:ensembled’applications

´ Etan

tdonnésdeuxensemblesAet B,ondéfinitBAcommeétantl’ensembledetouteslesapplicationsdeAversB. Autrementdit:BA={f:A−→B|} (I.3.15)Ens.desous-ensemblesetens.d’applications PourtoutensembleA,ona|P(A)|=|{0,1}A|. (I.3.17)Lanondénombrabilitédesensemblesd’applications SoientAunensembleayantaumoinsdeuxélémentsetBunensembleinfini. AlorsABestnondénombrable. (I.3.20)Ens.desnombresréelsRestnon-dénombrable.

R ´esolutions de r´ecurrences

(R.1.1)Principed’inductionmath´ematiquefaible.

´ Etant

donnéunprédicatP.Alors, (P(0)∧(∀n:N|:P(n)⇒P(n+1)))⇒(∀n:N|:P(n)) ou,cequiestéquivalent, (P(0)∧(∀n:N|P(n):P(n+1)))⇒(∀n:N|:P(n)) ou,cequiestéquivalent, (P(0)∧(∀n:N∗|P(n−1)⇒P(n)))⇒(∀n:N|:P(n)) ou,cequiestéquivalent, (P(0)∧(∀n:N∗|P(n−1):P(n)))⇒(∀n:N|:P(n)) (R.1.3)Principed’inductionmathématiquefaiblesur{n0,n0+1,n0+2,...}.

´ Etant donnéunprédicatP.Alors, (P(n0)∧(∀n:N|n0<n∧P(n−1):P(n)))⇒(∀n:N|n0≤n:P(n)) (R.1.4)Principed’inductionmathématiqueàdeuxcasdebase.

´ Etant donnéunprédicatP.Alors, (P(0)∧P(1)∧(∀n:N−{0,1}|P(n−2)∧P(n−1):P(n)))⇒(∀n:N|:P(n)) (R.2.1)Définitionde“suitearithmétique”. Onditqu’unesuite2an3n∈Nestarithmétiquedepremiertermeaetdedifférencedsi •a0=a •ladifférenceentrelavaleurdeanetcelledean−1estégaleàd∀n:N∗ (R.2.2)Théorèmesurlessuitesarithmétiques. Soit2an3n∈N,unesuite.Alorslesénoncéssuivantssontéquivalents: 1.2an3n∈Nestunesuitearithmétiquedepremiertermeaetdedifférenced. 2.2an3n∈Nestdéfinieparrécurrencepar ! a0=a an=an−1+d∀n:N∗ 3.2an3n∈Nestdéfiniepartermegénéralpar: an=a+nd∀n:N

(5)

(R.2.4)Définitionde“suitegéométrique”. Onditqu’unesuite!an"n∈Nestgéométriquedepremiertermeaetderaisonrsi •a0=a •lerapport1delavaleurdeansurlavaleurdean−1estégaleàr∀n:N∗ (R.2.5)Théorèmesurlessuitesgéométrique. Soit!an"n∈N,unesuite.Alorslesénoncéssuivantssontéquivalents: 1.!an"n∈Nestunesuitegéométriquedepremiertermeaetderaisonr. 2.!an"n∈Nestdéfinieparrécurrencepar ! a0=a an=an−1·r∀n:N∗ 3.!an"n∈Nestdéfiniepartermegénéralpar: an=a·rn∀n:N 1Lerapportdeansuran−1estlerésultatdeladivisiondeanparan−1,c.-à-d:r=an an−1.

(R.2.7)Déf.de“suitedessommesdepremierstermesd’unesuite”. Soit!an"n∈Nunesuite.Onappellesuitedessommesdepremierstermesdelasuite !an"n∈N,lasuite!a0,(a0+a1),(a0+a1+a2),...,(a0+a1+···+an),..." Autrementdit,!Sn"n∈Nestdéfinieparrécurrencepar! S0=a0 Sn=Sn−1+an∀n:N∗ (R.2.8)Suitedessommesdepremierstermesd’unesuitearithmétique”. Soit!an"n∈N,unesuitearithmétiquedepremiertermeaetdedifférencedetsoit !Sn"n∈Nlasuitedessommesdepremierstermesdelasuite!an"n∈N.Alors, !Sn"n∈Nestdéfiniepartermegénéral2par:Sn=(a0+an)(n+1) 2∀n:N (R.2.10)Suitedessommesdepremierstermesd’unesuitegéométrique”. Soit!an"n∈N,unesuitegéométriquedepremiertermeaetderaisonretsoit!Sn"n∈N lasuitedessommesdepremierstermesdelasuite!an"n∈N.Alors, !Sn"n∈Nestdéfiniepartermegénéral3par:Sn=a·(1−rn+1) 1−r∀n:N 2Remarquonsque“(n+1)”représentelenombredetermesdelasommequidonneSn,“a0”lepremier termedecettesommeet“an”ledernierterme. 3Remarquonsque“(n+1)”représenteiciaussilenombredetermedelasommequidonneSn.

La m étho de de résolution de récurrence par séries g én ératrices

´ Etap

e1:

` Apartirdelasuite!a",construirelasériegénératricenn∈N 23nG(x)=a+ax+ax+ax+···+ax+···0123n Puisenseservantastucieusementdelarelationderécurrencedéfinissant!a",onnn∈N exprimeGsouslaformed’unefonctionrationnelle

´ Etap e2:Ondécomposelafonctionrationnelletrouvéàl’étape1enélémentsplus simplesdefa¸conàcequepourchacundeceséléments,onconnaisselasériedepuissance quiluiestassociée.Cetteétapes’appelleladécompositionenfractionspartielles.

´ Etap

e3:Onrecomposelesdifférentessériesdepuissancesassociéesauxfonctionsra- tionnellestrouvéesàl’étape2,defa¸conàobtenirlasériedepuissancesassociéeàG, obtenantainsiindirectementletermegénéraldelasuite!an"n∈N,résolvantainsila récurrence. (R.3.2)Modèlesdesériesdepuissances. Soienta,b∈R−{0},alors∀x∈]−1 |b|,1 |b|[,onaque •a 1−bx=a+ab·x+ab2·x2+ab3·x3+ab4·x4+···+abn·xn+··· •a (1−bx)2=a+2ab·x+3ab2·x2+4ab3·x3+···+(n+1)abn·xn+··· •ax (1−bx)2=0+a·x+2ab·x2+3ab2·x3+4ab3·x4+···+(n)abn−1·xn+··· •a (1−bx)3=2·1·a 2+3·2·a·b 2x+4·3·a·b2 2x2+5·4·a·b3 2x3+···+(n+2)(n+1)·a·bn 2xn+··· (R.3.3)Modèlesdesériesdepuissances—Casparticuliers. •1 1−x=1+x+x2+x3+x4+···+xn+··· •1 1+x=1 1−(−x)=1+(−1)x+(−1)2x2+(−1)3x3+(−1)4x4+···+(−1)nxn+··· •1 (1−x)2=1+2x+3x2+4x3+···+(n+1)xn+··· •x (1−x)2=0+x+2x2+3x3+4x4+···+(n)xn+··· •1 (1−x)3=2·1 2+3·2 2x+4·3 2x2+5·4 2x3+···+(n+2)(n+1) 2xn+···

(R.3.4)D´ecomposerunefonctionrationnelleenfractionspartielles Voicilaformeded´ecompositionenfractionspartiellesdechacunedesfamillesde fonctionsrationnellessuivantes: •ax+b (cx+d)(ex+f)

=

A cx+d

+

B ex+f Pourvuquey=cx+dety=ex+faientdesz´erosdiff´erents. •ax+b (cx+d)2

=

A cx+d

+

B (cx+d)2 •ax2+bx+c (dx+e)(fx+g)(hx+i)

=

A dx+e

+

B fx+g

+

C hx+i Pourvuquey=dx+e,y=fx+gethx+iaientdesz´erostousdiff´erents. •ax2+bx+c (dx+e)2(fx+g)

=

A dx+e

+

B (dx+e)2

+

C fx+g Pourvuquey=dx+eety=fx+gaientdesz´erosdiff´erents. •ax2+bx+c (dx+e)3

=

A dx+e

+

B (dx+e)2

+

C (dx+e)3

(R.3.7)Rappelsurlespolynômededegré2 Soitp(x)=ax2+bx+c,unpolynômededegrédeux. Soientρ1:=−b+√b2−4ac 2aetρ2:=−b−√b2−4ac 2a. Alors, •ρ1etρ2sontappelésleszérosdupolynômepcar" p(ρ1)=0etp(ρ2)=0, maisp(x)(=0∀x(=ρ1,ρ2. •Lepolynômepsefactorisetoujoursainsi:p(x)=a(x−ρ1)(x−ρ2). •Deplus,silepolynômeestunitaire(c’est-à-diresia=1),onatoujoursque ! (∗)ρ1+ρ2=−b (∗∗)ρ1·ρ2=c. (R.3.8)Casparticulierdefactorisation. Soitp(x)=x2−rx−s,unpolynômededegrédeux. Etsoientρ1etρ2lesdeuxzéros(nonnécessairementdistincts)dupolynômep. Alorslepolynômeq(x)=1−rx−sx2sefactoriseainsi: 1−rx−sx2=(1−ρ1x)(1−ρ2x). (R.4.1)Définitionde“relationlinéaire,homogèned’ordrek. Unerelationderécurrenceestditelinéaire,homogèned’ordreksilaformulepermettant decalculernèmetermedelasuiteestunecombinaisonlinéairedesktermesprécédents. (R.4.5)Récurrenceslinéaires,homogènesd’ordre2. Soit!an"n∈N,unesuitedéfinierécursivementpar:

  

a0=a a1=b an=r·an−1+s·an−2∀n:N−{0,1} oùa,b,retssontdesconstantesréelles. Soitp,lepolynômecaractéristiquedelasuite!an"n∈N,(c.-à-d.:p(x)=x2−rx−s). Etsoientρ1etρ2leszérosdecepolynôme. Alors,letermegénéraldelasuiteest =A·(ρ1)n+B·(ρ2)nn:Nsiρ1(=ρ2. an

!!! !! !

! !!

""""""""" =A·(ρ1)n+B·n·(ρ1)nn:Nsiρ1=ρ2 OùAetBsontdeuxconstantesdéterminéesparlesconditionsinitialesdelarécurrence.

(11.1)Lasommedesdegrésdessommetsd’ungraphe!S,A"est2·#A. (11.2)Dansungraphe,lenombredesommetsdedegréimpairestpair. (11.4)Théorème:Pourtoutgrapheplanaireconnexeavecssommets,a arêtesetrrégions,r=a−s+2. (11.5)Théorème:Entredeuxsommetsquelconquesd’unarbre,ilyaunche- minsimpleunique. (11.6)Théorème:Unarbreavecaumoinsdeuxsommetsaaumoinsdeux sommetsdedegré1. (11.7)Théorème:Pourtoutarbre!S,A",#S=1+#A. (11.8)Théorème:SoitG=!S,A"ungraphenonorientésansboucle. Alors,lesénoncéssuivantssontéquivalents: (a)Gestunarbre. (b)Gestconnexeetl’enlèvementd’unearêtequelconqueproduitdeuxarbres. (c)Gn’apasdecycleet#S=1+#A. (d)Gestconnexeet#S=1+#A. (e)Gn’apasdecycleetl’ajoutd’unearêteintroduitexactementuncycle.