1 Op´ erateurs born´ es et ´ equations diff´ erentielles dans un espace de Banach
Exercice 1.1. SoitH un espace de Hilbert s´eparable (r´eel ou complexe) et{ej} une base orthonormale de H. Etudier la convergence pour les topologies uni- forme, forte ou faible des suites d’op´erateurs suivantes :
Anu=
�∞ j=n+1
(u, ej)ej−n, (1.1)
Bnu=
�∞ j=1
(u, ej)ej+n, (1.2)
Cnu=
�∞ j=n
(u, ej)ej. (1.3)
Exercice 1.2. (a) SoitX un espace de Banach etA, B∈ L(X). Montrer que
�AB�L(X)≤ �A�L(X)�B�L(X). (1.4) En d´eduire que siAn →AetBn→B, alorsAnBn→AB.
(b) Montrer que siAn
→s A etBn
→s B, alorsAnBn
→s AB.
(c) Montrer que si An
→w A et Bn
→s B, alorsAnBn
→w AB. Construire un
exemple de suitesAn, Bn ∈ L(X) telles que An s
→0, Bn w
→0 quandn→ ∞, maisAnBn ne converge pas vers 0 pour la topologie faible.
Exercice 1.3. Soit J = [0,1], H = L2(J;C) et a ∈ C(J) une fonction r´eelle continue. On noteA l’op´erateur de multiplication para. Montrer queA∗ =A et trouverσ(A). Mˆeme question pour une fonction a∈L∞(J).
Exercice 1.4. Soit H un espace de Hilbert r´eel s´eparable et {ej} une base or- thonormale deH. Consid´erons l’op´erateur
Au=
�∞ j=1
λj(u, ej)ej, (1.5)
o`u{λj} ⊂Rest une suite born´ee telle queλi�=λj. D´ecrire une repr´esentation spectrale pourA.
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Exercice 1.5. SoitX un espace de Banach etA, B∈ L(X) deux op´erateurs tels queAB=BA. Montrer que
eA+B =eAeB. (1.6)
La formule (1.6) est-elle vraie dans le cas g´en´eral.
Exercice 1.6. SoitAun op´erateur auto-adjoint born´e dans un espace de Hilbert complexe. Montrer que l’op´erateur U(t) =eitA est unitaire pour tout t∈Ret U(t)∗=U(−t).
Exercice 1.7. SoitA∈Mn(R) un bloc de Jordan :
A=
λ 1 0 . . . 0 0 λ 1 . . . 0 0 0 λ . . . 0 ... ... ... . .. ...
0 0 0 . . . λ
.
CalculeretA.
Exercice 1.8. Soit X un espace de Banach, A ∈ C(R,L(X)) et f ∈ C(R, X).
D´emontrer l’existence et l’unicit´e de soluton pour le probl`eme
˙
x=A(t)x+f(t), x(0) =x0.
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