Rappels : ´Equations diff´erentielles d’ordre 1 et 2

Rappels : ´ Equations diff´ erentielles d’ordre 1 et 2

K d´ esigne le corps des r´ eels R ou des complexes C .

I) Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires du premier ordre

D´ efinition 1 Soient I un intervalle, a, b : I → K deux fonctions continues sur I . On appelle ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre 1 l’´ equation

(E) y ⁰ (t) + a(t)y(t) = b(t).

Une fonction d´ erivable sur I satisfaisant (E) est appell´ ee solution. Si b = 0, on dit que l’´ equation est ho- mog` ene. ` A (E) on peut associer l’´ equation homog` ene

(E ₀ ) y ⁰ (t) + a(t)y(t) = 0.

Proposition 2 ♠

1. L’ensemble des solutions S ₀ de (E ₀ ) est stable par combinaison lin´ eaire. En d’autres termes, S ₀ est un K-espace vectoriel.

2. Si f ₀ est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont de la forme f ₀ + h o` u h ∈ S ₀ . En d’autres termes, l’ensemble des solutions de (E) est un espace affine passant par f 0 et de direction l’espace vectoriel S ₀ .

Proposition 3 Les solutions sur R de y ⁰ (t) + ay(t) = 0 o` u a ∈ K sont les fonctions : t 7→ λ exp(−at) avec λ ∈ K.

Proposition 4 ♠ Les solutions sur I de y ⁰ (t) + a(t)y(t) = 0 o` u a est une fonction continue sur I sont les fonctions de la forme (A d´ esigne une primitive de a) : t 7→ λ exp(−A(t)) avec λ ∈ K .

Proposition 5 Principe de superposition ♠

Si f 1 est une solution de y ⁰ (t) + a(t)y(t) = b 1 (t), et si f 2 est une solution de y ⁰ (t) + a(t)y(t) = b 2 (t), alors

∀α, β ∈ K , αf ₁ + βf ₂ est une solution de

y ⁰ (t) + a(t)y(t) = αb 1 (t) + βb 2 (t).

Remarque 6 M´ ethode de variation de la constante

Consiste ` a chercher une solution particuli` ere sous la forme y(t) = λ(t)y 0 (t) o` u y 0 est une solution non nulle de l’´ equation homog` ene.

II) Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires du second ordre ` a coefficients con- stants

D´ efinition 7 On appelle ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire d’ordre 2 ` a coefficients constants une ´ equation de la forme

(E) ay ⁰⁰ (t) + by ⁰ (t) + cy(t) = f (t),

1

o` u a, b, c ∈ K , a 6= 0, et f : I → K continue (I intervalle). Une fonction deux fois d´ erivable sur I satisfaisant (E) est appell´ ee solution. Si f = 0, on dit que l’´ equation est homog` ene. ` A (E) on peut associer l’´ equation homog` ene

(E 0 ) ay ⁰⁰ (t) + by ⁰ (t) + cy(t) = 0.

Proposition 8 ♠

1. L’ensemble des solutions S ₀ de (E ₀ ) est stable par combinaison lin´ eaire. En d’autres termes, S ₀ est un K-espace vectoriel.

2. Si f 0 est une solution de (E), alors les solutions de (E) sont de la forme f 0 + h o` u h ∈ S 0 . En d’autres termes, l’ensemble des solutions de (E) est un espace affine passant par f ₀ et de direction l’espace vectoriel S ₀ .

Proposition 9 ♠ Pour r ∈ K, la fonction t 7→ e ^rt est solution de (E 0 ) ssi ar ² + br + c = 0. Cette ´ equation est appel´ ee ´ equation caract´ eristique de (E ₀ ).

1) Cas complexe

Proposition 10 1. Si l’´ equation caract´ eristique ar ² + br + c = 0 a deux racines distinctes r ₁ et r ₂ , les solutions de (E 0 ) sont les fonctions de la forme

t 7→ λ 1 e ^r

^t + λ 2 e ^r

^t avec (λ 1 , λ 2 ) ∈ C ² .

2. Si l’´ equation caract´ eristique ar ² + br +c = 0 a une racine double r 0 , les solutions de (E 0 )sont les fonctions de la forme

t 7→ (λ ₁ + λ ₂ t)e ^r

^t avec (λ ₁ , λ ₂ ) ∈ C ² .

2) Cas r´ eel

Proposition 11 1. Si l’´ equation caract´ eristique ar ² + br + c = 0 a deux racines r´ eelles distinctes r 1 et r 2 , les solutions de (E ₀ )sont les fonctions de la forme

t 7→ λ ₁ e ^r

^t + λ ₂ e ^r

^t avec (λ ₁ , λ ₂ ) ∈ R ² .

2. Si l’´ equation caract´ eristique ar ² + br +c = 0 a une racine double r ₀ , les solutions de (E ₀ )sont les fonctions de la forme

t 7→ (λ 1 + λ 2 t)e ^r

^t avec (λ 1 , λ 2 ) ∈ R ² .

3. Si l’´ equation caract´ eristique ar ² + br + c = 0 a deux racines complexes conjugu´ ees distinctes α ± iβ, les solutions de (E 0 )sont les fonctions de la forme

t 7→ (λ 1 cos(βt) + λ 2 sin(βt))e ^αt avec (λ 1 , λ 2 ) ∈ R ² .

3) R´ esolution de l’´ equation compl` ete Proposition 12 Principe de superposition ♠

Si g ₁ est une solution de ay ⁰⁰ (t)+by ⁰ (t)+cy(t) = f ₁ (t), et si g ₂ est une solution de ay ⁰⁰ (t)+by ⁰ (t)+cy(t) = f ₂ (t), alors ∀α, β ∈ K, αg 1 + βg 2 est une solution de

ay ⁰⁰ (t) + by ⁰ (t) + cy(t) = αf ₁ (t) + βf ₂ (t).

Proposition 13 Si P est un polynˆ ome de degr´ e n, l’´ equation diff´ erentielle ay ⁰⁰ (t) + by ⁰ (t) + cy(t) = e ^αt P (t)

poss` ede comme solution particuli` ere, une fonction de la forme y(t) = e ^αt t ^m Q(t) o` u m est l’ordre de multiplicit´ e de α comme racine de l’´ equation caract´ eristique, et Q est un polynˆ ome de degr´ e n.

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