´Equations diff´erentielles

Equations diff´ ´ erentielles

1 Quelques g´ en´ eralit´ es

D´efinition. Soit

F : IU Ñ R

px, yq ÞÑ Fpx, yq

o`u I est un intervalle deR etU une partie deR. On appelle´equation diff´erentielle du premier ordre une relation

y¹ Fpx, yq

R´esoudre cette ´equation sur l’intervalle J € I, c’est chercher toutes les applications ϕd´efinieset d´eri- vables surJ telles que

ϕpJq €U et@xPJ, ϕ¹pxq Fpx, ϕpxqq Une telle application ϕ est appel´eeune solution de l’´equation diff´erentielle.

Exemple.

y¹ xy²x⁵2x0ðñ y¹ xy² x⁵ 2x

Exemple.

y¹ 1

2xy 1

2xpx 1q

D´efinition. On appellecourbes int´egrales depEqles courbes repr´esentatives des solutions de pEq.

2 Equations lin´ ´ eaires du premier ordre

2.1 D´efinitions

D´efinition. Soit α etβ deux applications de R Ñ R ou de R Ñ C,I intervalle ouvert deR,α et β continues sur I.

y¹ αpxqyβpxq pEq

est une ´equation diff´erentielle appel´ee´equation diff´erentielle lin´eaire du 1er ordre.

Dans le cas o`uα etβ sont `a valeurs complexes, on cherche les solutions `a valeurs dansC. L’´equation

y¹ αpxqy0 pE0q

est appel´ee´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee `a pEq, ou´equation sans second membre asso- ci´ee `a pEq.

Remarque.

Exemple 1. Soit l’´equation p1x²qy¹xy x.

Exemple 2. Soit l’´equation p1 x²qy¹ xy 1.

Exemple 3. Soit l’´equation 2xp1 xqy¹ p1 xqy1.

2.2 R´esolution de l’´equation sans second membre

Notations. On consid`ere un intervalleI, une fonctionα continue sur I, l’´equation pE0q y¹ αpxqy0 et on note S0 l’ensemble des solutions depE0qsur I.

Th´eor`eme.

S0

"

ϕ : I Ñ K

x ÞÑ λe^³αpxqdx , λP K

*

Exemple 1.

Exemple 2.

Exemple 3.

Propri´et´e. Une solution depE0q est nulle, ou ne s’annule pas sur I.

Remarque.

2.3 R´esolution de l’´equation avec second membre

Notations. On reprend les notations du paragraphe pr´ec´edent, et l’on se donne une fonctionβ continue surI, et l’on note Sl’ensemble des solution de l’´equationpEq.

2.3.1 Lien entre S et S0

Th´eor`eme.

Si ϕ₁ est une solution particuli`ere depEq, on a :

Stϕϕ₀ ϕ₁, ϕ₀PS0u

Remarque.

2.3.2 R´esolution de pEq M´ethode.

(a) Quitte `a restreindre l’intervalle d’´etude, on se ram`ene `a une ´equation du type pEq. (b) On r´esout l’´equation sans second membre.

(c) On recherche une solution particuli`ere.

(d) On conclut.

Exemple 1. Dans l’exemple pr´ec´edenty¹₁^x_x2y ₁^x_x2,

2.3.3 Recherche de solutions particuli`eres de pEq Pistes.

(a) Il y a parfois des solutions ´evidentes. On a vu des exemples.

(b) Si le second membre est somme de fonctions plus simples, on peut appliquer le principe desuperposition des solutions. Si β β₁ β₂ . . ., on cherche une solutions particuli`ere de y<sup>1</sup> αpxqy β<sub>1</sub>pxq, de y<sup>1</sup> αpxqyβ2pxq, . . .et la somme de ces fonctions donne une solution particuli`ere depEq.

(c) Pour certaines ´equations, on peut chercher une solution d’un type particulier (polynˆome, exponentielle, trigonom´etrique. . . )

Pistes (suite).

(d) On peut appliquer le principe de variation de la constante. La r´esolution de l’´equation sans second membre nous fournit des solutions λy0. On effectue le changement de fonction inconnue yλy0 o`u l’on consid`ereλ comme une fonction d´erivable qui devient notre inconnue. Cela nous permet d’en d´eduireλ¹ puis λpar primitivation.

Cette m´ethode sera justifi´ee au paragraphe 2.3.4.

Exemple 2. Revenons `ay<sup>1</sup> <sub>x</sub>2<sup>x</sup>1y <sub>x</sub>2<sup>1</sup> 1. Exemple 3. Revenons `ay¹ _2x¹y _2xpx¹ _1q.

Autre exemple. Soit pEq y¹ y 2e^x 4 sinx 3 cosx.

2.3.4 Existence et unicit´e d’une solution satisfaisant une condition initiale Th´eor`eme (de Cauchy-lin´eaire).

Soit I intervalle de R etα, β deux fonctions continues surI.

Soit l’´equation

pEqy¹ αpxqyβpxq

Alors pour tout couple px0, y0q PI K,il existe une solution ϕet une seule `a pEq telle queϕpx0q y0

(conditions initiales).

Remarque.

3 Equations lin´ ´ eaires du second ordre ` a coefficients constants

3.1 D´efinition

D´efinition. Soit pa, b, cq P K³ aveca0 et g : I Ñ K, o`u I est un intervalle ouvert de R.

ay² by¹ cygpxq pEq

est une ´equation diff´erentielle appel´ee´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre `a coefficients constants. L’´equation

ay² by¹ cy0 pE0q

est appel´ee´equation homog`ene associ´ee `a pEq ou´equation sans second membre.

R´esoudre pEq sur I, c’est chercher les fonctions ϕ : I Ñ K deux fois d´erivables sur I, telles que @x P I, aϕ²pxq bϕ¹pxq cϕpxq gpxq.

3.2 R´esolution de l’´equation sans second membre

Notations. Comme pr´ec´edemment, on note SetS0 l’ensemble des solutions depEqet pE0q respectivement.

3.2.1 Etude – Cas o`´ u les solutions cherch´ees sont `a valeurs complexes

D´efinition. L’´equationar² br c0 s’appelle´equation caract´eristiquede notre ´equation diff´erentielle.

• 1er cas. Si l’´equation ar² br c0 admet deux solutions distinctesr₁ etr₂.

S0 txÞÑαe^r2x βe^r1x, pα, βq P C²u

• 2`eme cas. Si l’´equation ar² br c0 admet une seule racine doubler.

S0 txÞÑ pαx βqe^rx, pα, βq P C²u

3.2.2 Etude – Autre expression th´´ eorique du r´esultat pr´ec´edent Sia,betc sont r´eels et que l’on cherche les solutions complexes,

• Si l’´equation ar² br c0 a deux racines r´eelles r1 etr2,

S0 txÞÑαe^r2x βe^r1x, pα, βq P C²u

• Si l’´equation ar² br c0 a une racine r´eelle doubler,

S0 txÞÑ pαx βqe^rx, pα, βq P C²u

• Si l’´equation ar² br c0 a deux racines complexes conjugu´ees r₁ A iB etr₂ AiB, S0 txÞÑe^AxpλcospBxq µsinpBxqq, pλ, µq P C²u

3.2.3 Etude – Cas o`´ u les solutions cherch´ees sont `a valeurs r´eelles Sia,betc sont r´eels et que l’on cherche les solutions r´eelles,

Lemme.f est solution `a valeurs r´eelles de ay<sup>2</sup> by<sup>1</sup> cy0 si et seulement si il existe h `a valeurs complexes solution de ay² by¹ cy 0, avecf Rephq.

Th´eor`eme.

• 1er cas. Si l’´equation ar² br c0 a deux racines r´eelles r₁ etr₂, S0 txÞÑαe^r2x βe^r1x, pα, βq P R²u

• 2`eme cas. Si l’´equationar² br c0 a une racine r´eelle doubler, S0txÞÑ pαx βqe^rx, pα, βq P R²u

• 3`eme cas. Si l’´equation ar² br c 0 a deux racines complexes conjugu´ees r₁ A iB et r2 AiB,

S0txÞÑe^AxpλcospBxq µsinpBxqq, pλ, µq P R²u

Remarque.

3.2.4 Exemples

Exemple. Trouver les solutions `a valeurs r´eelles de y<sup>2</sup> 6y<sup>1</sup> 25y0 Exemple. Trouver les solutions `a valeurs r´eelles de y² 2y¹ y0 Exemple. Trouver les solutions `a valeurs complexes dey<sup>2</sup> 4iy<sup>1</sup> 5y0 3.3 R´esolution de l’´equation compl`ete

Notations.

ay² by¹ cygpxq pEq

ay² by¹ cy0 pE0q

Lien entre S et S0. Soit ϕ1 une solution particuli`ere de pEq. Alors ϕPS ðñ ϕϕ1 PS0

3.3.1 Superposition des solutions.

M´ethode. pEqay² by¹ cy

¸n i1

gipxq

On posepEiqay² by¹ cyg_ipxq. Si y_i est solution de pEiq, alors

¸n i1

y_i est solution de pEq. Ainsi, on obtient une solution particuli`ere depEqen additionnant des solutions particul`eres despEiq.

Exemple. R´esoudre l’´equation y² ycos²x.

3.3.2 Cas d’un second membre polynˆome.

M´ethode. ay² by¹ cy rPpxq avec degpPq n.

On cherche une solution particuli`ere sous la forme d’un polynˆomeypxq rQpxq.

• Si 0 n’est pas racine de l’´equation caract´eristique (ie c0), on cherche un polynˆome de degr´enpuis on raisonne par identification des coefficients.

• Si 0 est racine simple de l’´equation caract´eristique (ie c0 et b0), alors on cherche un polynˆome de degr´e n 1, avec le coefficient constant nul.

• Si 0 est racine double de l’´equation caract´eristique (ie cb0), c’est juste une double primitivation de P doncQ de degr´en 2 avec deux coefficients nuls (constant et degr´e 1).

3.3.3 Cas d’un second membre exponentielle-polynˆome.

M´ethode. ay² by¹ cy rPpxqe^mx avec degpPq n.

On a int´erˆet `a chercher une solution particuli`ere sous la formeypxq rQpxqe^mx.

• Sim n’est pas racine de l’´equation caract´eristique, on cherche avecQde degr´e n.

• Sim est racine simple de l’´equation caract´eristique, on cherche avec Qde degr´en 1, avec le coefficient constant nul.

• Simest racine double de l’´equation caract´eristique, on cherche avecQde degr´en 2 avec deux coefficients nuls (constant et degr´e 1).

Remarque. Ca g´¸ en´eralise le cas pr´ec´edent o`um0.

Exemple. Chercher les fonctions `a valeurs r´eelles solutions de l’´equation : pEq y² 2y¹ y2x²shx

3.4 Th´eor`eme de Cauchy-lin´eaire

Th´eor`eme (de Cauchy-lin´eaire.).

Soit l’´equationpEq, et on se donnepx₀, y₀, v₀q P R K². Il existe une unique solutionϕde pEqd´efinie surR satisfaisant les conditions initiales:

#ϕpx0q y0

ϕ¹px0q v0

Interpr´etation g´eom´etrique. Par tout point du plan passe une unique courbe int´egrale `a tangente donn´ee.

4 Compl´ ements

4.1 Exemples de raccordements de solutions

Position du probl`eme. Si le probl`eme initial ´etait de r´esoudre une ´equationay¹ by c0, o`uaest une fonction continue qui s’annule (en x0 seulement par exemple). On r´esout alors s´epar´ement l’´equation surI1 s 8, x0r etI2 sx0, 8ret on se pose la question duraccordement des solutions: Existe-t-il une solution ϕd´efinie d´erivable sur un intervalle plus grand ques8, x₀retsx₀, 8r(Rdans notre exemple) et qui v´erifie l’´equation de d´epart ?

N´ecessairement,ϕdoit co¨ıncider avec les solutions trouv´ees surs 8, x0retsx0, 8r. Le probl`eme devient donc le suivant : Existe-t-il ϕ₁ etϕ₂ solutions depEq respectivement sur I₁ etI₂, prolongeable par continuit´e en x0 en une fonction ϕ, elle-mˆeme d´erivable enx0?

-4 -3 -2 -1 1 2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

On reprend l’exemple 3. Les solutions obtenues ´etaient :

• Surs0, 8r,ϕ_λ : xÞÑ ^Arctan?_x^{?x λ}

• Surs 1,0r,ψ_µ : xÞÑ ^Argth??_x^{x µ}

• Surs 8,1r,θν : xÞÑ

1

2ln¹₁^??x_x ν

?x

Raccord en1.

Raccord en0.

limit((arctan(sqrt(x))/sqrt(x)-1)/x,x=0,right);

# ¹₃

limit((arctanh(sqrt(-x))/sqrt(-x)-1)/x,x=0,left);

# ¹₃

Exemple. R´esoudre et raccorder :

xy¹y0 Exemple. R´esoudre et raccorder :

x²y¹ y 0

Exemple. R´esoudre et raccorder :

x³y¹2y0

4.2 Utilisation de Maple

Syntaxe. La fonction `a utiliser est dsolve et suit la syntaxe suivante : dsolvepED,ypxqq;

Comme pour solve, on peut remplacer ´equation et inconnue par des ensembles pour r´esoudre les syst`emes d’´equations diff´erentielles.

Attention, malgr´e la notation tr`es ambigu¨e, y(x)d´esigne une expression et doit ˆetre manipul´ee comme telle.

Exemple.

ED := 2*x*diff(y(x), x) + y(x) = 1/(x+1);

# ED:2x _B^B_xypxq

ypxq _x¹₁ dsolve(ED,y(x));

# ypxq ^Arctanp??_x^{xq _C1}

4.3 M´ethode d’Euler Description.

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x4

y4

x5

y5

Mise en œuvre avec Maple

methode_euler := proc (F, h, y0, x0, n) local k, x, y, s;

s := [x0, y0];

x := x0; y := y0;

for k from 1 to n do

# x = xk1 et y = yk1

y := y + h * F(x,y);

x := x0 + k*h;

# x = xk et y = yk

s := s, [x,y]

end do;

plot ([s], color=blue, thickness=3);

end proc:

F := (x,y) -> x - 2*x*y:

A := methode_euler (F, .1, 0, 0, 20): # solution approch´ee ED := diff(y(x), x) = F(x, y(x)):

dsolve (ED, y(x)); # solution exacte

# ypxq ¹₂ e^x2_C1

B := plot( (-exp(-x^2)+1)/2, x=0..2 ,color=red, thickness=3):

plots[display]([A,B]); # on superpose les solutions

#

0,2 0,5

0 0,3 0,4

0,1

2 1,5 1

0 0,5

4.4 Oscillateur amorti

Pr´esentation. Il est fr´equent en physique de rencontrer des syst`emes ob´eissant `a une ´equation diff´erentielle du type :

y² 2λy¹ ω₀²ye^iωt

ty repr´esente le temps,ω0 est lapulsation propredu syst`eme,ωest lapulsation de sollicitationext´erieure du syst`eme etλest lecoefficient d’amortissement. On d´efinit aussiQ ^ω_2λ⁰ le facteur de qualit´e. Le second membre peut aussi ˆetre nul ou constant.

La r´esolution compl`ete de cette ´equation s’effectue classiquement : recherche des solutions de l’´equation sans second membre, et recherche d’une solution particuli`ere. Les solutions de l’´equation sans second membre comportent un facteur e^λtqui tend rapidement vers 0. Tant que celui-ci n’est pas n´egligeable devant la solution particuli`ere, on dit que le r´egime est transitoire.

On ne s’int´eresse ici qu’aur´egime permanent, qui correspond `a la solution lorsque la solution de l’´equation sans second membre est n´egligeable. Il s’agit donc d’une solution particuli`ere, qui sera la solution du r´egime permanent. On cherche celle-ci sous la forme ae^iωt, o`u aest un nombre complexe dont module et argument repr´esente respectivementamplitudeetd´ephasagedu syst`eme.

On obtient, apr`es calculs :

a 1

ω²₀ω² 2iωλ

soit, en notant A etϕles module et argument dea:

A 1

apω²₀ω²q² 4ω²λ² tanϕ 2ωλ ω²ω₀²

1 2 3 4 5 ω0

A

λ= 0,5

λ= 1

λ= 2 λ= 3

ω

1 2 3 4 5

1 2 3

ω0 f

λ= 0,5 λ= 1 λ= 2 λ= 3

ω

On observe, pour ω ω₀ un d´ephasage de ^π₂ et un maximum pour A. On dit que le syst`eme est en r´esonance.

Premierordre 4.1R´esoudreles´equationsdiff´erentielles: (a)y1 ycosxsinx (b)y1 2xyshx2xchx (c)y1 ysinxsin2x ed_16.tex 4.2R´esoudre,enpr´ecisantl’intervalledevalidit´edessolutions: paqy1 ycosx1 2sin2xpbqy1 cosxysinxsin2x pcqxy1 2yx3 pdqp1x2 qy1 yArctanx ed_1.tex 4.3R´esoudresurs2,2rl’´equationpx2 4qy1 xy2ed_2.tex 4.4R´esoudrel’´equationdiff´erentielley12ysinp2xqexed_3.tex 4.5R´esoudrel’´equationdiff´erentiellexy1 px2qyx2.On coupelescourbesint´egralesparunedroited’´equationxm.Montrer quelestangentesencespointsauxcourbesint´egralessontconcou- rantesouparall`eles.ed_4.tex 4.6R´esoudresurR l’´equationdiff´erentiellexy1 y1.Pour αPR,onnotefαl’uniquesolutionsatisfaisantfαp1qα1etCαsa courberepr´esentative.Montrerquelestangentes`aCαaupointd’abs- cisse1sontconcourantes.ed_5.tex Deuxi`emeordre 4.7R´esoudre: paqy2 4y4e2x pbqy2 2y1 ychx pcqy2 3y1 2yxchxpdqy2 3y1 2yx3 peqy2 y1 cosx

ed_6.tex 4.8R´esoudreles´equationsdiff´erentiellessuivantes,aveclescondi- tionsinitialesdonn´ees: (a)y2 9yx2 1yp0q0y1 p0q0 (b)y2 3y1 2yxex yp1q0y1 p1q0 (c)4y2 4y1 yex 2yp0q1y1 p0q0 (d)y2 2y1 2yex sinxyπ 2 0y1π 2 0 ed_13.tex 4.9R´esoudredansRl’´equationdiff´erentielleendiscutantselonla valeurduparam`etrer´eela: y2 2ay1 yex ed_14.tex 4.10D´eterminerl’ensembledessolutions`avaleursr´eellesdel’´equa- tiondiff´erentielle: y2 4y1 13yp12x8qcosxp4x2qsinx ed_59.tex 4.11D´eterminerlessolutonsdel’´equationdiff´erentielle: y2 2y1 2yep1iqx ed_60.tex 4.12D´eterminerlessolutonsdel’´equationdiff´erentielle: y2 y1 yx2 ex ed_61.tex

Divers 4.13R´esoudreles´equationsdiff´erentiellessurdesintervallesque l’onpr´ecisera.Recollerlessolutionsauxpointscritiques. (a)xy1 2yx3 (b)y1 cosxysinxcosxxsinx (c)x2 y1 ypx2 1qex (d)xy1 yArctanx (e)y1 cos2 xyetanx ed_17.tex 4.14R´esoudrel’´equationdiff´erentielle: xpx1qy1 p3x1qyx2 px1q0

´ Etudierlesraccordementspossiblesdessolutionsen0eten1.ed_15.tex 4.15R´esoudresurs0,3πret´etudierl’existenced’´eventuelsraccor- dementspourl’´equationdiff´erentielle: 31 sinxy2cosxy0 ed_11.tex 4.16R´esoudresurRl’´equation: x1xx pe1qype1qyp32eq0

ed_12.tex 4.17D´eterminerl’ensembledesfonctionsfd´erivablessurRtelles que: @xPR,f1 pxqfpxq ed_18.tex 4.18EneffectuantlechangementdevariabletArccosx,r´esoudre surs1,1rl’´equation: 4p1x2 qy2 4xy1 y0 ed_9.tex 4.19R´esoudresurs0,1rousurs1,8rl’´equation: xp1xqy2 p3 22xqy1 1 4y0 Oneffectueralechangementdefonctioninconnuezpxqypxq? x. ed_10.tex 4.20R´esoudrelesyst`emediff´erentiel: # x2 x1 y1 y y2 x1 y1 x Onpourraposeruxyetvxy.ed_58.tex