Equations diff´ ´ erentielles
Table des mati` eres
1 D´efinitions 1
2 L’´equation diff´erentielley′+ay= 0 1
3 L’´equation diff´erentielley′+ay=b 1
1 D´ efinitions
SoientIun intervalle deR, d’amplitude non nulle et Φ une fonction deI ×R×R. Nous dirons quef ∈ D(I,R) estsolution surI de l’´equation diff´erentielle Φ(t, y, y′) = 0 si Φ¡
t, f(t), f′(t)¢
= 0 quel que soitt∈ I.
Parfois, l’´equation diff´erentielle peut s’´ecriret′= Φ(t, y) : on dit alors qu’elle estr´esolue eny′.
Soitf une solution d’une telle ´equation ; la courbe repr´esentative def est unecourbe int´egrale de l’´equation diff´erentielle.
Dans certains cas, on peut sp´ecifier unecondition initiale: c’est un couple (t0, y0)∈ I ×R; la solutionsatisfait cette condition initiale sif(t0) =y0.
2 L’´ equation diff´ erentielle y
′+ ay = 0
Soientaetbdeux fonctions continues surI. Une solution surI de cette ´equation est une fonctionf ∈ D(I,R) v´erifiantf′(t) +a(t)f(t) = 0 quel que soit t∈ I.
Cette ´equation diff´erentielle est ditelin´eairecar elle v´erifie la propri´et´e suivante : sif etgsont deux solutions et λun r´eel, alorsf +g et λf sont ´egalement des solutions. En particulier, la fonction nulle est une solution.
On qualifie ´egalement cette ´equation d’homog`ene, `a cause de la deuxi`eme propri´et´e.
Exemple — La fonction exponentielle est une des solutions de l’´equation diff´erentielle y′+y = 0. Elle est, parmi les solutions, la seule `a satisfaire la condition initiale (0,1).
Proposition: SoitAune primitive surI dea. La fonctiong :t∈ I 7→exp¡
−A(t)¢
est une solution surI de l’´equationy′+ay= 0.
Preuve: Nous avonsg′(t) =−A′(t)g(t) =−a(t)g(t), doncg′(t) +a(t)g(t) = 0 et ce quel que soitt∈ I. Proposition: les solution de notre ´equation sont toutes de la formet ∈ I 7→λexp¡
−A(t)¢
. Autrement dit : l’ensemble des solutions est{λg|λ∈R}, et donc cet ensemble est une droite vectorielle.
Signalons tout de suite une cons´equence de cette proposition : une solution, autre que la fonction nulle, ne peut s’annuler en aucun point deI: ceci parce qu’une telle solution est d´erivable, et `a plus forte raison continue.
Preuve: soit g la solution exhib´ee dans la pr´ec´edente preuve. Nous avonsh′(t) +a(t)h(t) = 0 quel que soit t ∈ I. Multiplions les deux membres par exp¡
A(t)¢
; il vient exp¡ A(t)¢
h′(t) +a(t) exp¡ A(t)¢
h(t) = 0, soit d
dt
¡exp¡ A(t)¢
h(t)¢
= 0. Ceci montre que la fonctiont ∈ I 7→exp¡ A(t)¢
h(t) est constante. Notonsλ sa valeur constante ; alorsh(t) =λexp¡
−A(t)¢
=λg(t) et ce quel que soitt∈ I. Donch=λf.
Remarque: Expliciter une solution de l’´equation se ram`ene donc `a calculer une primitive de la fonction t ∈ I 7→ exp¡
−A(t)¢
; ce qui n’est pas touours possible. . . On devra donc, dans bien des cas, se contenter d’´ecrire la solution avec une int´egrale.
3 L’´ equation diff´ erentielle y
′+ ay = b
Cette ´equation est ditecompl`eteouavec second membre. Nous la noterons (Eq), tandis que l’´equationy′+ay= 0 sera not´ee (Eq0). Une solution de (Eq) est une fonction f ∈ D(I,R) v´erifiantf′(t) +a(t)f(t) =b(t) quel que soitt∈ I.
Commen¸cons par quelques remarques :
1
• sif est une solution de (Eq) ethune solution de (Eq0), alorsf+hest une solution de (Eq)
• f etgsont deux solutions de (Eq), alorsf−gest une solution de (Eq0) et (1−λf+λg(o`uλest un r´eel) est une solution de (Eq)
Il suffit donc de r´esoudre (Eq0) et de trouver une solution (dite particuli`ere). Voici un exemple : l’´equation y′=y−tposs`ede une solution (presque) ´evidente, `a savoirt7→t+ 1. La solution g´en´erale dey′ =yest λexp, donc la solution g´en´erale de notre ´equation estt7→t+ 1 +λet.
S’il n’y a pas de solution particuli`ere visible, on a recours `a la m´ethode ditede variation de la constante. Ceclle-ci consiste `a chercher une solution de la formeh:t7→λ(t)f(t), o`uf est une solution de (Eq0). Voyons ceci :
h′(t) +a(t)h(t) =λ′(t)f(t) +λ(t)f′(t) +a(t)λ(t)f(t) =λ′(t)f(t) +λ(t)¡
f′(t) +a(t)f(t)
| {z }
q(t)
¢
La quantit´eq(t) est nulle, puisquef est solution de (Eq0). Nous sommes ramen´es `a la r´esolution de l’´equation λ′(t)f(t) =b(t), soit (`a condition quef ne soit pas la solution nulle)λ′(t) = b(t)
f(t); en clair, nous devons calculer une deuxi`eme primitive.
Principe de superposition des solutions : consid´erons une famille den´equations diff´erentiellesy′+ay=bk, o`u k∈[[1, n]]. Soit (λk)16k6n une famille de r´eels. Notonsfk la solution g´en´erale de l’´equationy′+y =bk. Alors la fonction X
16k6n
λkfk est la solution g´en´erale de l’´equationy′+ay= X
16k6n
b−k. Ce principe est utilis´e, par exemple, dans l’´etude des circuits ´electriques lin´eaires.
FIN
[EqDiff] Version du 7 mars 2009
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