2 Op´erateurs non born´es dans un espace de Hilbert 2.1 Op´erateurs non born´es: d´efinitions et propri´et´es ´el´e- mentaires

2 Op´ erateurs non born´ es dans un espace de Hilbert

2.1 Op´ erateurs non born´ es: d´ efinitions et propri´ et´ es ´ el´ e- mentaires

Soit H un espace de Hilbert etA un op´erateur dans H, c’est-`a-dire, une ap- plication lin´eaire d´efinie sur un espace vectoriel D(A)⊂ H `a valeurs dans H.

Dans la suite, on suppose queD(A) est dense dansH.

Exemple 2.1. SoitH=L²(R) etD(A) ={u∈H :xu∈H}. On d´efinitA par (Au)(x) =xu(x) pouru∈ D(A).

AlorsAest un op´erateur lin´eaire non born´e avec un domaine de d´efinition dense.

Le graphe d’un op´erateurA: D(A)→H est un sous-espace vectoriel dans H×H d´efini par

Γ(A) =�

[u, f]∈H×H :u∈ D(A), f =Au� .

L’op´erateur A est dit ferm´e si Γ(A) est ferm´e dans l’espace H ×H muni du produit scalaire

([u1, u2],[v1, v2]) = (u1, v1) + (u2, v2)

et de la norme correspondante. Si A1 est un autre op´erateur dans H tel que Γ(A)⊂Γ(A1), alorsA1est appel´eextensiondeA. Dans ce cas, on ´ecritA⊂A1. Il est claire que A1 est une extension de A si et seulement si D(A) ⊂ D(A1) et Au = A1u pour u ∈ D(A). L’op´erateur A est dit fermable s’il existe une extension ferm´ee deA.

Proposition 2.2. SoitAun op´erateur fermable. Alors il existe une extensionA¯ deA telle queA¯⊂A1 pour toute autre extension ferm´eeA1. De plus,Γ( ¯A) = Γ(A).

D´emonstration. Soit A1 une extension ferm´ee de A. Alors Γ(A1) ⊃ Γ(A) et donc Γ(A1) ⊃ Γ(A). On conclut que Γ(A) ne contient pas d’´el´ements de la forme [0, f] avecf �= 0. On d´efinit un op´erateurB par

D(B) ={u∈H : il existef ∈H tel que [u, f]∈Γ(A)}, Bu=f, o`u f est l’unique vecteur tel que [u, f]∈Γ(A). Il est ´evident que Γ(B) = Γ(A) et Γ(B)⊂Γ(A1) pour toute extension ferm´eeA1. Donc,B= ¯A.

Dans la suite, on appelle ¯A la fermeture de A. Signalons qu’il existe des op´erateurs qui ne sont pas fermables.

D´efinition 2.3. SoitAun op´erateur ferm´e dansH. L’ensembler´esolvantdeA, not´eρ(A), est constitu´e de tous les nombresλ∈Ctels que l’op´erateurλI−A est une bijection deD(A) surH avec un inverse born´e. Siλ∈ρ(A), l’op´erateur Rλ(A) = (λI−A)⁻¹est appel´e lar´esolvantedeAau pointλ. Le compl´ementaire deρ(A) dansC, not´eσ(A), s’appelle lespectre deA.

Exercice2.4. Montrer que siAest un op´erateur ferm´e etλI−Aest une bijection deD(A) sur H, alors (λI−A)⁻¹ est continu. Indication: utiliser le th´eor`eme du graphe ferm´e; voir le th´eor`eme III.12 dans [RS80].

Th´eor`eme 2.5. Soit A un op´erateur ferm´e dans un espace de Hilbert H. Alorsρ(A)est un ensemble ouvert, et la relation (1.2)a lieu.

La d´emonstration de ce r´esultat est tout `a fait analogue `a celle du th´eor`eme 1.5 concernant le cas des op´erateurs born´es.

2.2 Op´ erateurs sym´ etriques et auto-adjoints

D´efinition 2.6. SoitAun op´erateur dans un espace de HilbertH. On noteD(A^∗) l’ensemble des vecteursv∈H pour lesquels il existef ∈H tel que

(Au, v) = (u, f) pour toutu∈ D(A). (2.1) Pour toutv ∈ D(A^∗) on poseA^∗v=f, o`u f d´esigne le vecteur v´erifiant (2.1).

On appelleA^∗ l’op´erateuradjoint deA.

Exercice 2.7. Montrer les propri´et´es suivantes:

(i) u∈ D(A^∗) si et seulement si|(Au, v)| ≤C�v� pour toutu∈ D(A);

(ii) siA⊂B, alorsA^∗⊂B^∗.

Th´eor`eme 2.8. Soit A un op´erateur dans H. Alors les propri´et´es suivantes ont lieu:

(i) A^∗ est ferm´e.

(ii) Aest fermable si et seulement siD(A^∗)est dense, et dans ce casA¯=A^∗∗. (iii) Si Aest fermable, alors( ¯A)^∗=A^∗.

D´emonstration. (i) On d´efinit un op´erateur unitaire V : H ×H → H ×H par V[u, v] = [−v, u]. Il est facile `a v´erifier que V(E^⊥) = V(E)^⊥ pour tout sous-espaceE⊂H×H. La d´efinition de l’op´erateur adjoint implique que

Γ(A^∗) =VΓ(A)^⊥. (2.2)

CommeVΓ(A)^⊥ est toujours ferm´e, on conclut queA^∗ est ferm´e.

(ii)Supposons que D(A^∗) est dense. Alors Γ(A) =�

Γ(A)^⊥�⊥

=�

V²Γ(A)^⊥�⊥

=�

VΓ(A^∗)�⊥

= Γ(A^∗∗), (2.3) o`u on a utilis´e la relation (2.2). La proposition 2.2 implique que ¯A=A^∗∗.

R´eciproquement, siD(A^∗) n’est pas dense dansH, alors il existe un vecteur w �= 0 tel que w ∈ D(A^∗)^⊥. Dans ce cas, [w,0] ∈ Γ(A^∗)^⊥, d’o`u on voit que

[0, w] ∈ VΓ(A^∗)^⊥. La relation (2.3) montre maintenant que [0, w] ∈ Γ(A), et doncAn’est pas fermable.

(iii)SiA est fermable, alors

A^∗=A^∗=A^∗∗∗= ( ¯A)^∗.

D´efinition 2.9. Un op´erateurAdans un espace de Hilbert est dit sym´etrique siA⊂A^∗, c’est-`a-dire,

D(A)⊂ D(A^∗), Au=A^∗u pour u∈ D(A).

Il est claire queA est sym´etrique si et seulement si (Au, v) = (u, Av) pour u∈ D(A).

Un op´erateurAest ditauto-adjoint siA=A^∗ Exercice 2.10. Montrer les propri´et´es suivantes :

(i) Si Aest sym´etrique, alorsA fermable etA⊂A^∗∗ ⊂A^∗. (ii) Si Aest ferm´e et sym´etrique, alorsA=A^∗∗⊂A^∗. (iii) Si Aest auto-adjoint, alorsA=A^∗∗=A^∗.

Th´eor`eme 2.11. SoitAun op´erateur sym´etrique dansH. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(i) A est auto-adjoint.

(ii) A est ferm´e etKer(A^∗±iI) ={0}. (iii) Im(A±iI) =H.

D´emonstration. (i)⇒(ii) Comme l’op´erateurAest auto-adjoint, il est ferm´e.

Si A^∗u=±iu, alorsAu=±iuet (Au, u) =±i(u, u). Comme (Au, u) est r´eel, on conclut queu= 0.

(ii)⇒ (iii) Montrons d’abord que Im(A−i) est dense dansH. Supposons quev∈Im(A−i)^⊥. Alors ((A−i)u, v) = 0 pour toutu∈ D(A). Donc,

(Au, v) = (u,−iv) pour toutu∈ D(A),

d’o`u on voit que v ∈ D(A^∗) et A^∗v = −iv. Comme Ker(A^∗ +i) = {0}, on conclut quev= 0.

Montrons maintenant que Im(A−i) est ferm´e. Soit{un} ⊂ D(A) une suite telle que (A−i)un→g. On veut montrer queg∈Im(A−i). Comme

�(A−i)u�²=�Au�²+�u�²,

on voit que la suite{un} converge vers un ´el´ementuet Aun converge g+iu.

En utilisnat le fait queA est ferm´e, on conclut queu∈ D(A) etAu=g+iu.

Donc, (A−i)u=g.

L’espace vectoriel Im(A−i) ´etant dense et ferm´e, il est confondu avec H.

La d´emonstration de la relation Im(A+i) =H est analogue.

(iii) ⇒ (i) Il faut montrer que D(A^∗)⊂ D(A). Soit u∈ D(A^∗). Alors il existev∈ D(A) tel que (A−i)v= (A^∗−i)u. CommeA⊂A^∗, on voit que

(A^∗−i)(u−v) = 0. (2.4) L’argument utilis´e dans la d´emonstration de l’implication (ii)⇒(iii) montre que si Im(A+i) =H, alors Ker(A^∗−i) ={0}. Il r´esulte de (2.4) queu=v∈ D(A).

Donc,D(A^∗)⊂ D(A), et l’op´erateurAest auto-adjoint.

D´efinition 2.12. Soit A un op´erateur sym´etrique. On dit que A est essen- tiellement auto-adjoint si sa fermeture est auto-adjoint.

Corollaire 2.13. SoitAun op´erateur sym´etrique dansH. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:

(i) A est essentiellement auto-adjoint.

(ii) Ker(A^∗±iI) ={0}.

(iii) Im(A±iI)est dense dans H. Exercice 2.14. D´emontrer le corollaire.

Exemple 2.15. Consid´erons un op´erateurAdansL²(0,1) d´efini par D(A) =H₀¹(0,1), (Au)(x) =iu^�(x).

Il est facile `a voir queA⊂A^∗. CalculonsA^∗. Montrons d’abord que si v∈L²(0,1) et

� 1 0

ψ^�(x)¯v(x)dx= 0 pour toutψ∈C₀^∞(0,1), (2.5) alorsv≡const. En effet, toute fonctionϕ∈C₀^∞(0,1) est repr´esentable sous la forme

ϕ(x) =ψ^�(x) +

�� 1 0

ϕ(y)dy

� ϕ0(x), o`uϕ0∈C₀^∞(0,1) est une fonction telle que�1

0 ϕ0dx= 0. Il r´esulte de (2.5) que

� 1 0

ϕ¯v dx=

� 1 0

ψ^�¯v dx+

� 1 0

ϕ dy

� 1 0

ϕ0v dx¯ =c

� 1 0

ϕ dy , (2.6) o`u c =�1

0 ϕ0¯v dx. Comme (2.6) est vrai pour toute fonction ϕ∈C₀^∞(0,1), on conclut quev≡¯c.

Supposons maintenant quev∈ D(A^∗). Alors il existe f ∈L²(0,1) tel que

� 1 0

iϕ^�v dx¯ =

� 1 0

ϕf dx¯ pour toutϕ∈C₀^∞(0,1).

En int´egrant par parties, on obtient

� 1 0

iϕ^�

� i¯v+

� x 0

f¯(y)dy

�

dx= 0 pour toutϕ∈C₀^∞(0,1), d’o`u on conclut que

v(x) =−i

� x 0

f(y)dy+C .

Donc, si v ∈ D(A^∗), alors v^� ∈ L²(0,1) et A^∗v = iv^�. R´eciproquement, si v∈H¹(0,1), alors

� 1 0

iu^�v dx¯ =−

� 1 0

iu¯v^�dx=

� 1 0

u iv^�dx.

Ainsi on a montr´e queD(A^∗) =H¹(0,1) etA^∗v=iv^�.

L’op´erateur A est ferm´e (exercice) et donc n’est pas essentiellement auto- adjoint. Y-a-t-il des extensions auto-adjointes deA?

Exercice 2.16. Soitα∈C,|α|= 1. On d´efinit Aαpar

D(Aα) ={u∈H₀¹(0,1) :u(0) =αu(1)}, (Aαu)(x) =iu^�(x). Montrer queAα est une extension auto-adjoint deA.

Proposition 2.17. (a)Soit A:D(A)→H un op´erateur auto-adjoint qui est une bijection sur son image dense dans H. Alors l’op´erateur inverse A⁻¹ est aussi auto-adjoint.

(b) SoitA un op´erateur sym´etrique tel que D(A) =H. AlorsA=A^∗. (c) SoitA un op´erateur tel que (Au, v) = (u, Av) pour tous u, v∈ D(A) et Im(A+λI) =H pour un r´eelλ. Alors le domaine deA est dense et A=A^∗. D´emonstration. (a) La formule (2.2) implique que A = A^∗ si et seulement si VΓ(A)^⊥ = Γ(A). Introduisons l’op´erateur U : H ×H → H ×H par la formule U[u, v] = [u, v]. Comme Γ(A⁻¹) = UΓ(A), on on doit montrer que V(UΓ(A))^⊥ =UΓ(A). Cette relation est une cons´equence imm´ediate d’auto- adjonction deAet l’´egalit´eU V =−V U.

(b)On a A⊂A^∗ etD(A) =H, d’o`u on conclut que A^∗=A.

(c) Comme Im(A+λI) = H, on a Ker(A+λI) = {0}, d’o`u on voit que l’op´erateurA+λIest inversible. Son inverse est un op´erateur sym´etrique d´efini partout, donc il est auto-adjoint. La relation

D(A)^⊥=�

Im(A+λI)⁻¹�⊥

= Ker(Im(A+λI)⁻¹={0}

implique queD(A) est dense dansH. D’apr`es le point (a), l’op´erateurA+λI est aussi auto-adjoint, ce que donne l’auto-adjonction deA.

2.3 Paire de Freidrichs

On d´ecrit maintenant une approche g´en´erale qui permet de construire des op´era- teurs auto-adjoints. Soit H un espace de Hilbert et V un espace de Banach r´eflexif avec une injection dense et continue V ⊂ H. D’apr`es le th´eor`eme de Riesz, on peut identifierH avec son dualH^∗, et on a donc les injections contin- uesV ⊂H=H^∗⊂V^∗. On appelle (V, H) unepaire de Friedrichs.

Lemme 2.18. L’injectionH ⊂V^∗ est dense.

D´emonstration. On note �·,·�la dualit´e entre V =V^∗∗ et son dual V^∗. Sup- posons qu’il existef :V^∗→Ctel que�f, u�= 0 pour toutu∈H. Si on note�u

l’´el´ement deV^∗ d´efini paru, alors on peut ´ecrire

�f, �u�=��u, vf�= (u, vf) = 0 pour toutu∈H,

o`u vf ∈V est l’´el´ement associ´e `a f par l’isom´etrie V^∗∗ →V. Il s’ensuit de la relation ci-dessus quevf = 0 et donsf = 0.

Exemple 2.19. SoitH =L²(R) etV =L^p(R, ω) l’espace de fonctions mesurable u:R→Ctelles que

�u�^pL^pω:=

�

R|u(x)|^pω(x)dx <∞, o`u p∈]2,+∞[ etω est une fonction positive telle que�

ω^−2/(p−2)(x)dx <∞. Alors (V, H) est une paire de Friedrichs, et on aV^∗=L^q(R, ω^−q/p).

SoitA:V →V^∗ une application lin´eaire continue v´erifiant la condition

�Au, v�=�Av, u� pour tousu, v∈V . (2.7) On d´efinit un op´erateur (non born´e) dansH par la r`egle

D( ˆA) ={u∈V :Au∈H}, Auˆ =Au.

La relation (2.7) implique imm´ediatement que ( ˆAu, v) = (u,Av), maisˆ D( ˆA) n’est pas dense dans le cas g´en´eral, et on ne peut donc pas parler de la sym´etrie et de l’auto-adjonction deA. Le point (c) de la proposition 2.17 implique im- m´ediatement le r´esultat suivant.

Proposition 2.20. Supposons qu’il existeλ∈Rtel queIm( ˆA+λI) =H. Alors le domaine deAˆ est dense etAˆ= ˆA^∗.

Exemple 2.21. SoitV un espace de Hilbert etA:V →V^∗ un op´erateur d´efinie par la formule

(Au)(v) = (v, u)V, u, v∈V. (2.8) C’est une isom´etrie, car d’apr`es le th´eor`eme de Riesz, l’image deAest confondue avecV^∗, et pour toutu∈V on a

�Au�^V∗ = sup

�v�V≤1|(Au)(v)|= sup

�v�V≤1

��(u, v)_V��=�u�^V.

Il s’ensuit que Im ˆA = H, et l’op´erateur ˆA est auto-adjoint. On appelle ˆA l’op´erateur auto-adjoint associ´e `a la paire(V, H).

2.4 Formes quadratiques et extension de Friedrichs

Soit D ⊂ H un sous-espace vectoriel dense et Q : D × D → C une fonction hermitienne, c’est-`a-dire,

Q(αu+βv, w) =αQ(u, w) +βQ(v, w) pour tousu, v, w∈ D,α, β∈C, Q(u, v) =Q(v, u) pour tousu, v∈ D.

Dans ce cas, on dit queQ est uneforme quadratique avec le domaineD et on noteQ(u) =Q(u, u). SiQ1est une autre forme quadratique avec un domaineD¹ telle que

D ⊂ D¹, Q(u, v) =Q1(u, v) pour tousu, v∈ D, alorsQ1est appel´e une extensiondeQ. Dans ce cas, on ´ecritQ⊂Q1.

Exercice 2.22. Montrer qu’une forme quadratique est uniquement d´efinie par ses valeurs sur la diagonale. Plus pr´ecis´ement,

Q(u, v) =1 4

�Q(u+v)−Q(u−v) +iQ(u+iv)−iQ(u−iv)�

, u, v∈ D. D´efinition 2.23. Une forme quadratique est dite semi-born´ee inf´erieurement (ou simplementsemi-born´ee) s’il existe une constanteM ∈Rtelle que

Q(u, u)≥ −M�u�² pour toutu∈ D. (2.9) Une forme quadratique semi-born´eeQest diteferm´eesi l’espace Dest complet par rapport `a la norme

�u�^Q=�

Q(u) + (M + 1)�u�²�1/2

.

Il est claire qu’une suite{un} ⊂ Dconverge vers un ´el´ement u∈ Dpour la norme� · �^Q si et seulement siun→udansH et Q(un−u)→0.

Exercice 2.24. Une forme quadratique semi-born´eeQest ferm´ee si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e suivante:

(P) Soitu∈H et {un} ⊂ Dune suite telle que

�un−u� →0, Q(un−um)→0 quandm, n→ ∞. (2.10) Alorsu∈ D etQ(un−u)→0.

Proposition 2.25. SoitQ une forme quadratique ferm´ee avec un domaineD. Alors(D, H)est une paire de Friedrichs.

En particulier, on peut construire l’op´erateur auto-adjoint associ´e `a (D, H);

voir l’exemple 2.21. Le reste de ce paragraphe est consacr´e `a l’´etude de formes quadratiques qui poss`edent une extension ferm´ee naturelle et auxquelles on peut associer un op´erateur auto-adjoint.

D´efinition 2.26. La forme quadratique Q est dite fermable s’il existe une extension (semi-born´ee) ferm´ee deQ.

Proposition 2.27. Soit Qune forme quadratique fermable v´erifiant l’in´egali- t´e(2.9). Alors il existe une extension ferm´ee minimale deQ, et elle v´erifie(2.9).

D´emonstration. Soit Q1 une extension ferm´ee de Q d´efinie sur D¹. On note D ⊂ D¹ l’adh´erence deD pour la norme� · �^Q1 etQ la restriction deQ1 `aD. Par construction, un ´el´ement u∈H appartient `a Dsi et seulement s’il existe une suite{un} ⊂ D v´erifiant (2.10). L’exercice 2.24 implique queQest ferm´ee et que le domaine de d´efinition de toute autre extension ferm´ee contientD.

Montrons queQ(u)≥ −M�u�²pour toutu∈ D. En effet, soitu∈ D. Alors il existe une suite{un} ⊂ D convergeant versupour la norme� · �Q. Comme

�un−u� ≤ �un−u�Q, ���un�Q− �u�Q

��≤ �un−u�Q,

on voit queQ(un) =Q(un)→Q(u) quandn→ ∞. Il s’ensuit que Q(u) = lim

n→∞Q(un)≥ − lim

n→∞M�un�²=−M�u�².

La forme quadratique Q construite dans la Proposition 2.27 s’appelle la fermeture deQ.

Exemple 2.28. SoitH =L²(R) etD=C₀^∞(R). On d´efinitQpar Q(u, v) =u(0)¯v(0), u, v∈ D.

AlorsQest une forme quadratique semi-born´ee, maisQn’est pas fermable. En effet, soitQ� une extension ferm´ee deQet {un} ⊂ Dune suite telle que

un →0 dansH, un(0) = 1 pout toutn≥1.

L’exercice 2.24 implique que la suite {Q(u� n)} doit converger vers Q(0) = 0.� Comme ce n’est pas le cas, on conclut qu’il n’existe pas d’extension ferm´ee deQ.

Chaque op´erateur sym´etriqueA d´efinit une forme quadratique : Q(u, v) = (Au, v), u, v ∈ D(A).

Proposition 2.29. SoitQune forme quadratique engendr´ee par un op´erateur sym´etriqueA tel que

(Au, u)≥ −M�u�² pour toutu∈ D(A). (2.11) AlorsQest fermable et sa fermeture v´erifie (2.9).

D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que l’in´egalit´e (2.11) est v´erifi´ee avecM =−1. Dans ce cas,�u�^Q= (Au, u)^1/2.

Soit D¹ l’ensemble des vecteurs u ∈ H pour lesquels il existe une suite {un} ⊂ D(A) telle que

�un−u� →0, �un−um�^Q→0 quandm, n→ ∞. (2.12) Il est claire queD¹ est un espace vectoriel. De plus, comme

���un�^Q− �um�^Q��≤ �un−um�^Q,

la suite�un�^Q converge. Montrons que sa limite ne d´epend que de l’´el´ementu.

En effet, soient{un},{vn} ⊂ D(A) deux suites v´erifiant (2.12). On posewn = un−vn. Alors

�wn� →0, �wn−wm�^Q→0 quandm, n→ ∞. (2.13) Comme

�wn−wm�²Q=�wn�²Q+�wm�²Q−2 Re(Awm, wn), on voit que

�wn�²Q+�wm�²Q≤ �wn−wm�²Q+ 2�Awm� �wn�. (2.14) Soitε >0 une constante quelconque et m≥1 un entier tellement grand que

�wn−wm�^Q≤ε pourn≥m. (2.15) Il r´esulte de (2.13) – (2.15) que

lim sup

n→∞ �wn�²Q ≤ε+ 2�Awm�lim sup

n→∞ �wn� ≤ε.

Commeε >0 ´etait arbitraire, on conclut que

nlim→∞�un�^Q= lim

n→∞�vn�^Q.

Ainsi,�·�^Qs’´etend `aD¹. De plus, siu∈ D¹et{un}est une suite v´erifiant (2.12), alors

nlim→∞�un−u�^Q= lim

n→∞ lim

m→∞�un−um�^Q = lim

m,n→∞�un−um�^Q= 0. (2.16) On d´efinit maintenant une forme quadratique sur D¹ par

Q1(u) = lim

n→∞Q(un) = lim

n→∞�un�²Q,

o`u{un} ⊂ Dest une suite v´erifiant (2.12). Il est claire queQ1est une extension semi-born´ee de Q telle que Q1(u) ≥ �u�<sup>2</sup> pour tout u ∈ D<sup>1</sup>. Il nous reste `a montrer queQ1 est ferm´ee.

Soit{un} ⊂ D¹ une suite de Cauchy par rapport `a la norme� · �^Q. Alors il existe une suite{vn} ⊂ Dtelle que

�un−vn�^Q ≤2⁻ⁿ pour toutn≥1. (2.17) Alors

n,mlim→∞�vn−vm�^Q≤ lim

n,m→∞

�2^−m+ 2⁻ⁿ+�un−um�^Q�

= 0.

Donc,{vn} est une suite de Cauchy pour les normes� · �et � · �^Q. Comme H est complet, il existe u∈H tel que vn → u. La d´efiniton de D¹ entraˆıne que u∈ D¹. Il s’ensuit quevn →upour la norme�·�^Q; voir (2.16). L’in´egalit´e (2.17) implique queun→upour la norme� · �^Q, et doncD¹ est complet.

Le r´esultat suivant montre qu’une forme quadratique ferm´ee est toujours engendr´ee par un op´erateur auto-adjoint.

Th´eor`eme 2.30. Soit Q une forme quadratique ferm´ee semi-born´ee d´efinie sur un domaineD. Alors il existe un unique op´erateur auto-adjointAtel que la fermeture de la forme(Au, v),u, v∈ D(A), est confondue avecQ. Cet op´erateur est donn´e par

D(A) ={u∈ D:∃f ∈H tel queQ(u, v) = (f, v)pour toutv∈ D},

Au=f pouru∈ D(A). (2.18)

D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer que Qv´erifie (2.9) avecM = 1. Les espaces V =D(A) andH forment une paire de Friedrichs, et l’op´erateurAd´efini par (2.18) est l’op´erateur auto-adjoint associ´e `a la paire (V, H);

voir l’exemple 2.21. En particulier, l’image de A est confondue avec H. Il est claire que Q est une extension de la forme quadratique QA engendr´ee par A.

Montrons que la fermeture deQAest confondue avec Q. Si ce n’est pas le cas, alors l’adh´erence deD(A) pour la norme d´efinie parQest un sous-espace propre deD. Donc, il existev∈ D tel queQ(u, v) = (Au, v) = 0 pour toutu∈ D(A).

Il s’ensuit que l’image de A n’est pas confondue avec H. Cette contradiction termine la d´emonstration.

La proposition 2.29 et le th´eor`eme 2.30 permettent de construire une ex- tension auto-adjointe pour toute op´erateur sym´etrique semi-born´e A. En ef- fet, d’apr`es la proposition 2.29, la forme quadratique d´efinie par A est fer- mable. Soit Q1 sa fermeture et A1 l’op´erateur auto-adjoint construit dans le th´eor`eme 2.30. Alors les relations (2.18) impliquent que D(A)⊂ D(A1) et la restriction de A1 au sous-espace D(A) est confondue avec A. L’op´erateur A1

s’appelle l’extension de Friedrichs pourA.

Exemple 2.31. Consid´erons l’op´erateur A0 =−dx^d22 dans l’espace L²(0,1) avec le domaine de d´efinition C₀^∞(0,1). Alors A est un op´erateur sym´etrique semi- born´e. La fermetureQde sa forme quadratique est donn´ee par

D^Q=H¹(0,1), Q(u, v) =

� 1 0

u¯v dx.

Il est facile `a v´erifier que l’op´erateur A construit dans le th´eor`eme 2.30 a la forme

D(A) =H²(0,1)∩H₀¹(0,1), Au=−u^��. L’op´erateurAest l’extension de Friedrichs deA0.