3 Opérateurs auto-adjoints à spectre discret 3.1 Opérateurs auto-adjoint compacts

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3 Op´ erateurs auto-adjoints ` a spectre discret

3.1 Op´ erateurs auto-adjoint compacts

SoitH un espace de Hilbert complexe etA∈ L(H). On note

r(A) = sup{|λ|, λ∈σ(A)} (3.1) le rayon spectral deA.

Lemme 3.1. Pour tout op´erateur A∈ L(H), on a r(A) = lim sup

n→∞ �Aⁿ�^1/n. (3.2)

D´emonstration. Supposons que |λ| >lim sup�Aⁿ�^1/n. Alors il existe ε >0 et n0≥1 tels que

�Aⁿ� ≤�

|λ| −ε�n

pour n≥n0

Il s’ensuit que la s´erie

�∞ n=0

λ⁻¹⁻ⁿAⁿ

converge. Il est facile `a v´erifier que la somme est l’inverse deλI−A. Donc, r(A)≤sup{|λ|, λ∈σ(A)}.

Montrons l’inégalité réciproque. Pour tout ε > 0, on note Γε le cercle de rayonr(A) +εet de centre zéro. Alors

Aⁿ= (2πi)⁻¹

�

Γε

λⁿRλ(A)dλ, d’o`u on voit que

�Aⁿ� ≤Cε

�r(A) +ε�n

pour toutn≥0.

Ceci entraˆıne que lim sup

n→∞ �Aⁿ�^1/n≤lim sup

n→∞ C_ε^1/n�

r(A) +ε�

=r(A) +ε.

Commeε >0 ´etait quelconque, on obtient (3.2).

Lemme 3.2. SoitA∈ L(H)etA=A^∗. Alors

�A²ⁿ�=�A�²ⁿ pour toutn≥1.

En particulier,r(A) =�A�.

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D´emonstration. On a

�Au�²= (Au, Au) = (A²u, u)≤ �A²� �u�²,

d’où on conclut que�A�²≤ �A²�. D’autre part, il est évident que�A�²≥ �A²�, et donc�A�²=�A²�. En réitérant cette relation, on obtient

�A²ⁿ�=��(A²ⁿ⁻¹)²��=��A²ⁿ⁻¹��²=· · ·=�A�²ⁿ. Comme

lim sup

n→∞ �Aⁿ�^1/n≥lim sup

n→∞

��A²ⁿ��²⁻ⁿ=�A�,

on voit quer(A)≥ �A�. D’autre part, on sait quer(A)≤ �A�, d’o`u le r´esultat.

Corollaire 3.3. SoitA∈ L(H),A=A^∗ et r(A) = 0. AlorsA= 0.

On dit queAest un opérateur compact si pour toute suite bornée{un} ⊂H la suite {Aun} a un point d’accumulation. Le théorème suivant donne une description complète des opérateurs auto-adjoints compacts.

Théorème 3.4. SoitA un opérateur auto-adjoint compact. Alors il existe une base orthonormée {ϕn} ⊂H et une suite λn→0 telles que

Au=

�∞ n=1

λn(u, ϕn)ϕn pour toutu∈H. (3.3) Démonstration. Etape 1. Montrons d’abord que soit r(A) soit −r(A) est une valeur propre de A. En effet, comme σ(A) ⊂ R est fermé, au moins un des deux points r(A) et −r(A) appartient au spectre. On note ce point λ1. Si Ker(λ1I−A) ={0}, alors Im(λ1I−A) =H, et on voit que l’inverse deλ1I−A n’est pas borné. Soit{un} ⊂H une suite telle que

�un�= 1 pour toutn≥1, fn= (λ1I−A)un→0 quandn→ ∞.

Comme A est compact et λ1 �= 0 (sinon A = 0, et le r´esultat est trivial), on peut supposer que la suiteun =λ⁻₁¹(fn+Aun) converge vers un pointϕ1∈H avec�ϕ1�= 1. En passant `a la limite quandn→ ∞, on obtientAϕ1=λ1ϕ1.

Etape 2. On raisonne maintenant par récurrence. SoitH1le complémentaire orthogonal de Vect(ϕ1) etA1 la restriction deAà l’espaceH1 qui est invariant par A. Alors, soit r(A1) = 0, et dans ce casA1 = 0 et λn = 0 pour n ≥ 2, soit r(A1)>0. Dans le deuxième cas, en utilisant l’argument de l’étape 1, on montre queλ2 =±r(A1) est une valeur propre deA1 et on noteϕ2 le vecteur propre correspondant avec �ϕ2�= 1. En réitérant cette procédure, on obtient une suite orthonormée{ϕn}^Nn=1 avec 1≤N ≤ ∞telle que

Aϕn =λnϕn, r� A|^Hn

�=|λn+1| pour toutn≥1, (3.4)

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où Hn désigne le complémentaire orthogonal de Vect(ϕ1, . . . , ϕn),λn sont des réels, etλN+1= 0 siN <∞. Dans ce dernier cas, on a

Au=

�N

n=1

λn(u, ϕn)ϕn, (3.5)

et si on poseλn = 0 pourn≥N+ 1, on obtient la relation (3.3), o`u {ϕn} est une base orthonorm´ee dansHN.

Etape 3. Supposons maintenant queN =∞et montrons que la restriction de A à l’espace H_∞ = (Vect{ϕn, n ≥ 1})^⊥ est un opérateur nul. En effet, montrons d’abord que λn → 0 quand n → ∞. Si ce n’est pas le cas, alors

|λn| ≥ε >0, car|λn| est une suite d´ecroissante. On a

�Aϕk−Aϕn�=�λkϕk−λnϕn� ≥√ 2ε,

et on voit que{Aϕn} ne contient pas de sous-suite convergente. Ceci contredit

`a la compacit´e deA.

Supposons maintenant que l’opérateur A_∞ = A|^H∞ n’est pas nul. Alors, d’après l’étape 1, il a un vecteur propreψ à valeur propreµ �= 0. Donc, on a r(A_∞)≥ |µ|>0. D’autre part,

r(A_∞)≤r(An) =λn+1→0 quandn→ ∞.

La contradiction obtenue montre queA_∞= 0, et on obtient la relation (3.3).

Exercice 3.5. SoitI = [a, b] un intervalle fini, K∈C(I×I) une fonction telle queK(x, y) =K(y, x) etA:L²(I)→L²(I) l’op´erateur int´egrale

(Au)(x) =

�

I

K(x, y)u(y)dy, u∈L²(I).

Montrer queAest op´erateur auto-adjoint compact.

3.2 Op´ erateurs auto-adjoints ` a r´ esolvante compacte

Théorème 3.6. Soit A :D(A) →H un opérateur auto-adjoint tel que la ré- solvanteRλ(A)est compacte pour un réel λ. Alors il existe une base orthonor- mée{ϕn}et une suite réelle µn telles que |µn| → ∞ et

Aϕn=µnϕn pour toutn≥1. (3.6) De plus,

D(A) =� u∈H:

�∞ n=1

|(u, ϕn)|²<∞�

, (3.7)

Au=

�∞ n=1

µn(u, ϕn)ϕn. (3.8)

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D´emonstration. L’op´erateurRλ(A) = (λI−A)⁻¹ est auto-adjoint et compact.

D’après le théorème 3.4, il existe une base orthonormée {ϕn} ⊂ H et et une suiteλn →0 tel queλn �= 0 et

Rλ(A)ϕn=λnϕn pour toutn≥1.

On voit queϕn∈ D(A). En appliquant l’op´erateurλI−A, on obtient ϕn =λn(λI−A)ϕn,

d’o`u on voit que (3.6) a lieu avecµn=λ−λ⁻¹. Les relations (3.7) et (3.8) sont des cons´equences directes de (3.6).

Exemple 3.7. Considérons l’opérateur différentielleA0=−dx^d²²+q(x), défini sur l’espace C₀^∞(J), où J = ]0,1[. Il est facile à vérifier que si q ∈ L^∞(J), alors A0 ⊂A^∗₀ et (A0u, u)≥ −M�u�² pour tout u∈ D(A0). On noteA l’extension de Friedrichs pourA:

D(A) =H²(J)∩H₀¹(J), Au=−d²u

dx² +q(x)u.

Montrons queAest un opérateur à résolvante compacte. En effet, si�q�^L^∞ =M etλ=−1−M, alors

�(λI−A)u, u�

≤ −�

�u�²+�u^��²�

, u∈ D(A), d’o`u on voit que

�(λI−A)u�²≥ �u�²+�u^��², u∈ D(A).

Ceci entraˆıne queλ∈ρ(A) et queRλ(A) est compact. On peut donc appliquer le théorème 3.6 et conclure qu’il existe une base orthonormée{ϕn}deL²(J) et une suiteλn→+∞telles queϕn ∈ D(A) etAϕn=λnϕn pour toutn≥1.

Exercice 3.8. SoitAun opérateur auto-adjoint à résolvante compacte.

(a) Montrer que σ(A) ={µn, n≥1}, oùµn sont des réelles construites dans le théorème 3.6.

(b) Montrer que l’équation (A−µnI)u=f possède une solution si et seulement si f ∈ H_µ^⊥_n, où Hµ désigne le sous-espace des vecteurs ϕ ∈ H vérifiant Aϕ=µϕ.

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