3 Op´ erateurs auto-adjoints ` a spectre discret
Exercice 3.1. SoitAun op´erateur born´e dans un espace de HilbertH. Montrer que ImA∗= (KerA)⊥.
Exercice 3.2. SoitK∈ L(X, Y), o`uX,Y sont des espaces de Banach. Montrer que les deux propri´et´es suivantes sont equivalentes:
(a) Pour toute suite born´ee{xn} ⊂X la suite{Kxn}contient une sous-suite convergente.
(b) Pour tout ensemble born´eB ⊂X l’ensembleK(B) est relativement com- pact dansY.
Dans ce cas, on dit que Kest un op´erateur compact.
Exercice 3.3. SoitX un espace de Banach.
(a) Montrer que siA1, A2∈ L(X) sont compacts, alorsA1+A2est compact.
(b) Montrer que si A ∈ L(X) est compact, alors pour tout B ∈ L(X) les op´erateursABet BAsont compacts.
(c) Soit A ∈ L(X). Supposons qu’il existe λ0 ∈ ρ(A) tel que l’op´erateur Rλ0(A) est compact. Montrer queRλ(A) est compact pour toutλ∈ρ(A).
Exercice 3.4. Construire un op´erateurAnon nul dansRn tel que r(A) = max{|λ|:λ∈σ(A)}= 0.
Exercice 3.5. SoitI= [0,1] etp, q∈C∞(I) deux fonctions telles que p(x)≥c >0 pour toutx∈I.
On d´efinit l’op´erateurApar
D(A) ={u∈C∞(I), u(0) =u(1) = 0}, Au= d dx
�p(x)du dx
�+q(x)u.
(a) Montrer queAest essentiellement auto-adjoint.
(b) Montrer que la r´esolvanteRλ( ¯A) est compacte pourλ≥λ0�1.
(c) Dans le cas p ≡ 1 et q ≡ 0, trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de ¯A.
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