5 Groupe et semi-groupe d’op´erateurs

5 Groupe et semi-groupe d’op´ erateurs

Exercice 5.1. Soit H =L²(R) et U(t)f(x) = f(t+x). Montrer que U(t) est repr´esentable sous la forme U(t) = e^itA, o`u A est un op´erateur auto-adjoint dansH. TrouverA.

Exercice 5.2. SoitU(t) un groupe unitaire dans un espace de HilbertH tel que U(1) =I. Montrer queU(t) =e^itA, o`uAest un op´erateur auto-adjoint dansH tel que σ(A)⊂2πZ.

Exercice 5.3. SoitA un op´erateur auto-adjoint. Montrer que e^itA →I quand t→0 pour la topologie uniforme si et seulement siA∈ L(H).

Exercice 5.4. Soit Si(t), i = 1,2, deux semigroupes avec des op´erateurs in- finit´esimaux Ai. Montrer queS1≡S2si et seulement siA1=A2.

Exercice 5.5. SoitA un op´erateur (non born´e) dans un espace de HilbertH. On dit queAest dissipatif si

Re(Au, u)≤0 pour toutu∈ D(A).

SoitS(t),t≥0, un semigroupe tel que

�S(t)�L(H)≤1 pour toutt≥0.

Montrer que l’op´erateur infinit´esimal deS est dissipatif.

Exercice 5.6. Soit X = L^p(R), p ∈ [1,∞[, et S(t) une famille d’op´erateurs d´efinis par

S(t)f(x) = t π

�

R

f(x−y)

y²+t² dy, f ∈X.

Montrer queS(t) est un groupe fortement continu. On noteAson op´erateur in- finit´esimal. Montrer queC₀^∞(R)⊂ D(A) et d´ecrire la restriction deA`aC₀^∞(R).

On d´efinit les espacesW^k,p(R) par r´ecurrence : W^1,p(R) =�

f ∈L^p(R) : il existeg∈L^p(R) tel quef(x) =f0+�x

0 g(y)dy� , W^k,p(R) ={f ∈W^k−1,p(R) :f^�∈W^k−1,p(R)}, k≥2.

Exercice 5.7. Soit X = L^p(R), p ∈ [1,∞[, et S(t) une famille d’op´erateurs d´efinis par

S(t)f(x) = 1

√4πt

�

Rf(x−y)e^−y2/4tdy, f ∈X.

(a) Montrer queS(t) est un semi-groupe fortement continu.

(b) Montrer que l’op´erateur infinit´esimal deAest donn´e par D(A) =W^2,p(R), Af=f^��.

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6 Equations du premi` ere ordre

Exercice 6.1. Consid´erons l’´equation

∂tu+ (b· ∇)u=f, t≥0, x∈R^d, (6.1) o`ub∈R^d etf =f(t, x) est une fonction continˆument diff´erentiable.

(a) Trouver les caract´eristiques pour l’´equation (6.1).

(b) Donner une formule explicite pour la solution de l’´equation (6.1) v´erifiant la condition initiale

u(x,0) =g(x), x∈R^d, (6.2) o`u g∈C¹(R) est une fonction donn´ee.

Exercice 6.2. R´esoudre les ´equations lin´eaires suivantes:

x∂xu+y∂yu= 2u, u(x,1) =g(x),

∂tu+x∂xu+ 2y∂yu= 3u, u(x, y,0) =g(x, y), o`ug∈C¹ est une fonction donn´ee.

Exercice 6.3. Trouver toutes les solutions de l’´equationy∂xu=x∂yusurR². Exercice 6.4. Trouver toutes les solutions de l’´equation �

kxk∂ku= 0 d´efinies surR^d.

Exercice 6.5. Consid´erons l’´equation quasilin´eaire

∂tu+u∂xu=f, t≥0, x∈R. (6.3) Trouver les solutions de l’´equation (6.3) dans les cas suivants:

(a) f ≡1,u(s, s) = ¹₂s,s∈R; (b) f =x,u(0, x) = 0, x∈R;

(c) f ≡0,u(0, x) = arctanx,x∈R; (d) f = sinx,u(0, x) = 0,x∈R.

Exercice 6.6. Trouver toutes les solutions du probl`eme de Cauchy dansR^d:

|∇u(x)|²=|x|², u��

|x|=1=C∈R.

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