5 Groupe et semigroupe d’opérateurs 5.1 Théorème de Stone

(1)

5 Groupe et semigroupe d’op´ erateurs

5.1 Th´ eor` eme de Stone

SoitH un espace de Hilbert et{U(t), t∈R} une famille d’op´erateurs born´es.

Définition 5.1. On dit queU(t) est un groupe unitaire fortement continu si les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

(i) U(t) est un op´erateur unitaire pour toutt∈Ret

U(t+s) =U(t)U(s) pour toust, s∈R. (ii) Si ϕ∈H, alorsU(t)ϕ→U(t0)ϕquand t→t0.

Pour tout groupe unitaire, on définit songénérateur par D(A) =�

ψ∈H :∃lim

t→0t⁻¹(U(t)ψ−ψ)�

, Aψ=−ilim

t→0t⁻¹(U(t)ψ−ψ).

Exercice 5.2. Montrer que, pour tout t∈Ret ψ∈D(A), on a U(t)ψ∈D(A)

et d

dtU(t)ψ=iAU(t)ψ=iU(t)Aψ.

Théorème 5.3. SoitAun opérateur auto-adjoint dans un espace de HilbertH. Alors il existe un unique groupe unitaire U(t)dont le générateur est égal à A.

Réciproquement, si U(t) est un groupe unitaire fortement continu, alors son générateur est un opérateur auto-adjoint.

Démonstration. Soit A un opérateur auto-adjoint. Alors, d’après le théorème spectral (voir §4), on peut supposer que H = L²(M, µ), où (M,B, µ) est un espace mesuré, et queAest l’opérateur de multiplication par une fonction réelle mesurable a(m). Dans ce cas, on définit U(t) = eîtA comme l’opérateur de multiplication pareîta(m). Il s’ensuit que

�e^itA�−1

=e^−itA=� e^itA�∗

, eîtAeîsA=eî(t+s)A.

De plus, siϕ∈L²(M, µ), alors en utilisant le th´eor`eme de Lebesgue, on obtient

�e^itAϕ−ϕ�²=

�

M

��e^ita(m)−1��²|ϕ(m)|²dµ→0 quandt→0.

Montrons que le générateurB du groupeU(t) est égal à A. En effet, main- tenantψ∈ D(A), c’est-à-dire, ψ, aψ∈L²(M, µ). Alors

�t⁻¹(e^itAψ−ψ)−iAψ�²=

�

M

��t⁻¹(e^ita(m)−1)−ia(m)��²|ψ(m)|²dµ→0 t→0,

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où on a utilisé encore le théorème de Lebesgue. On voit que A ⊂B. D’autre part, pour tousψ1, ψ2∈D(B), on a

(Bψ1, ψ2) = lim

t→0

�−it⁻¹(e^itA−I)ψ1, ψ2�

= lim

t→0

�ψ1, it⁻¹(e⁻^itA−I)ψ2�

= (ψ1, Bψ2).

Donc, B ⊂ B^∗ et A = A^∗ ⊂ B, d’où on conclut que B = A. Nous avons montré que pour chaque opérateur auto-adjoint il existe un groupe unitaire dont le générateur est confondu avec A. Montrons que ce groupe unitaire est unique. Soit V(t) un autre groupe unitaire avec le générateur A. Alors pour toutψ∈D(A) la fonctionf(t) =V(−t)U(t)ψvérifie l’équation

f^�(t) =iV(−t)(−A+A)U(t)u= 0, t∈R,

où on a utilisé l’exercice 5.2. On conclut que g(t) =g(0) =ψ, et donc U(t)ψ= V(t)ψpour toutt∈R. Comme le domaine deAest dense, on voit queV ≡U. Montrons maintenant que le générateurAd’un groupe unitaire U(t) est un opérateur auto-adjoint. On prouve d’abord la densité de D(A). Soit ψ∈H et {ωε, ε >0} une approximation d’identité. On pose

ψε=

�

Rωε(s)U(s)ψ ds, ε >0.

Alorsψε→ψquandε→0⁺. De plus, t⁻¹�

U(t)ψε−ψε�

=

�

Rt⁻¹�

ωε(s−t)−ωε(s)�

U(s)ψ ds

→

�

Rω_ε^�(s)U(s)ψ ds as ε→0⁺, d’o`u on voit queψε∈D(A).

Le fait que le générateur est un opérateur symétrique a été établit ci-dessus.

Montrons que Aest essentiellement auto-adjoint. D’après le corollaire 2.13, il suffit de vérifier que Ker(A^∗±iI) ={0}.

Soit v ∈ D(A^∗) tel que (A^∗+i)v = 0. Alors ((A−i)u, v) = 0 pour tout u∈D(A). Il s’ensuit que la fonctionf(t) = (U(t)u, v) v´erifie l’´equation

f^�(t) = (U^�(t)u, v) = (iAU(t)u, v) =−(U(t)u, v) =−f(t), t∈R, d’o`u on conclut quef(t) =ce⁻^t. D’autre part,f est born´e surRet doncc= 0.

On voit que (u, v) = 0 pour toutu∈D(A). CommeD(A) est dense, on obtient quev= 0. Un argument similaire montre que si (A−i)v= 0, alorsv= 0.

Soit ¯Ala fermeture (auto-adjointe) deAetU(t) le groupe unitaire correspon- dant. Montrons queU(t) =U(t) pour toutt∈R. On posef(t) =U(−t)U(t)u, o`u u∈D(A). Alors

f^�(t) =U(−t)(−A¯+A)U(t)u= 0, t∈R,

d’o`u on conclut, en utilisant l’argument ci-dessus, que les groupesU etU sont confondus. DoncAet ¯Asont aussi confondus et A=A^∗.

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5.2 Th´ eor` eme de Hille–Yosida

Soit X un espace de Banach et {S(t), t ∈ R} une famille d’op´erateurs born´es dansX.

D´efinition 5.4. On dit que{S(t), t∈R}est unsemigroupe d’op´erateurs fortement continu si

S(0) =I, S(t1+t2) =S(t1)S(t2) pour toust1, t2≥0, et la fonctionS(t)xest continue par rapport `a t≥0 pour toutx∈X.

Pourh >0 on définit l’opérateurAh=h⁻¹(S(h)−I). SoitD(A) l’ensemble des vecteursx∈X pour lesquels la limite limh→0⁺Ahxexiste etA:D(A)→X l’opérateur défini par

Ax= lim

h→0⁺

S(h)x−x

h , x∈ D(A).

On appelleAl’opérateur infinitésimal ou legénérateur du semigroupeS(t).

Proposition 5.5. SoitS(t) un semigroupe d’opérateurs fortement continu et A:D(A)→X son opérateur infinitésimal. Alors :

(i) Il existe des constantes positives C etσ telles que

�S(t)�L(X)≤C e^σt, t≥0. (5.1) (ii) D(A)est dense dans X et l’op´erateurA est ferm´e.¹

(iii) Le demi-plan{λ∈C: Reλ > σ} est inclut dansρ(A), et la r´esolvante est donn´ee par

Rλ(A) =

� ∞ 0

S(t)e^−λtdt pour Reλ > σ. (5.2)

Démonstration. (i)CommeS(t) est fortement continu, pour toutx∈Xil existe Cx>0 tel que�S(t)x� ≤Cxpour 0≤t≤1. Le théorème de Banach–Steinhaus implique qu’il existeC >0 tel que

�S(t)�L(X)≤C, t∈[0,1]. (5.3) Si t = k+r, o`u k est un entier et 0≤ r <1, alors S(t) = S(r)S(1)· · ·S(1).

L’in´egalit´e (5.3) entraˆıne que

�S(t)�L(X)≤ �S(1)�^k_L(X)�S(r)�L(X)≤C^k+1≤C e^σ(k+r), o`u σ= lnC.

1Rappelons qu’un opérateurAest ditfermé si son graphe Γ(A) est fermé dans l’espace X×X.

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(ii)Montrons que D(A) est dense. Soitx∈X etxr= ¹_r�r

0 S(t)x dt. Alors xr→xquandr→0⁺ etxr∈ D(A) pour toutr >0:

�xr−x�=��1 r

� r 0

S(t)x dt−x��≤1 r

� r

0 �S(t)x−x�dt→0, S(h)xr−xr

h = 1

rh

�� ^r+h

r

S(t)x dt−

� h 0

S(t)x dt�

→ 1

r(S(r)x−x) quandr→0⁺. Le fait queAest ferm´e est une cons´equence du point (iii) et de l’exercice suivant.

Exercice 5.6. Soit A : D(A) → X un opérateur. Supposons qu’il existe un opérateur bornéB:X→X tel que

ABx=x pour toutx∈X, BAx=x pour toutx∈ D(A).

Montrer queAest ferm´e.

(iii) L’inégalité (5.1) implique que l’opérateur (5.2) est bien défini. Pour x∈ D(A), on a

Rλ(A)(λ−A)x=

� ∞ 0

S(t)e⁻^λt(λ−A)x dt

=λRλ(A)x− lim

h→0⁺

� ∞ 0

S(t)e⁻^λtS(h)x−x h dt

=λRλ(A)x− lim

h→0⁺

�e^λh−1 h

� ∞ h

S(t)e⁻^λtx dt−h⁻¹

� h 0

S(t)e⁻^λtx dt�

=λRλ(A)x−(λRλ(A)x−x) =x.

Un calcul similaire montre que (λ−A)Rλ(A)x=xpourx∈X.

Le théorème suivant donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur fermé soit le générateur d’un semigroupe fortement continu.

Théorème 5.7.SoitAun opérateur fermé avec un domaineD(A)dense dansX. Alors A est l’opérateur infinitésimal d’un semigroupe fortement continu si et seulement si il existe des réelsM etω tels queλ∈ρ(A) pour toutλ > ωet

�Rλ(A)ⁿ�L(X)≤M(λ−ω)⁻ⁿ, n= 1,2, . . . . (5.4) De plus, le semigroupe est uniquement défini par son opérateur infinitésimal.

Démonstration. Etape 1. Montrons d’abord que la condition (5.1) est suffisante pour que A soit l’opérateur infinitésimal d’un semigroupe fortement continu.

Considérons l’opérateur suivant (appelé larégularisation de Yosida) : Aλ=λ(λRλ(A)−I) =λ²(λI−A)⁻¹−λI.

(5)

Lemme 5.8. Pour tout x∈ D(A), on a

Aλx→Ax quandλ→ ∞.

Etape 2. Nous allons construire S(t) comme la limite du semigroupe e^tA^λ quandλ→ ∞. Remarquons d’abord que

e^tA^λ =e⁻^λt

�∞ k=0

(λ²t)^kRλ(A)^k

k! , λ > ω, d’o`u on obtient l’estimation

�e^tA^λ�L(X)≤M e^−λt

�∞ k=0

(λ²t)^k

k!(λ−ω)^k ≤Mexp(ωt), λ�1. (5.5) Montrons que le semigroupeSλ(t) =e^tA^λ converge pour la topologie forte uni- formément sur tout intervalle borné [0, T]. En effet, pourx∈ D(A), on a

Sλ(t)x−Sµ(t)x=

� 1 0

d ds

�Sµ(t−s)Sλ(s)x� ds

=

� 1 0

Sµ(t−s)Sλ(s)�

Aλx−Aµx� ds.

En utilisant l’in´egalit´e (5.5) et le lemme 5.8, on obtient pourx∈ D(A) sup

t∈[0,T]�Sλ(t)x−Sµ(t)x�^X ≤M T e^CT�Aλx−Aµx�^X→0 quandλ, µ→ ∞. CommeD(A) est dense dansX, on conclut qu’il existe un semigroupe fortement continuS(t) tel que

sup

t∈[0,T]�Sλ(t)x−S(t)x�^X→0 quandλ→ ∞.

Etape 3. Montrons que A est l’op´erateur infinit´esimal du semigroupeS(t).

Soitx∈ D(A). En passant à la limite quand λ→ ∞dans l’égalité Sλ(t)x−x=

� t 0

Sλ(s)Aλx ds, on obtient

S(t)x−x=

� t 0

S(s)Ax ds.

Donc, la limite

t→0lim⁺t⁻¹(S(t)x−x) (5.6) existe et est égale à Ax. Il nous reste à montrer que si la limite (5.6) existe, alorsx∈ D(A).

(6)

SoitB le générateur deS(t). Alors pourλ∈ρ(A)∩ρ(B) on a (λI−A)D(A) =X = (λI−B)D(A), (λI−B)D(B) =X, d’où on conclut queD(A) =D(B) = (λI−B)⁻¹X.

Etape 4. Montrons maintenant que le semigroupe est uniquement défini par son opérateur infinitésimal. SoientS1(t) et S2(t) deux semigroupes avec le même opérateur infinitésimalA. On fixeT >0 et, pouru∈D(A), on définit la fonctionf(t) =S1(T−t)S2(t)u. Alors

d

dtf(t) =S1(T−t)(−A+A)S2(t)u= 0,

d’o`u on voit quef(0) =S1(T)u=f(T) =S2(T)u. Ceci implique queS1andS2

sont confondus; voir [Yos78] pour les d´etails.

Etape 5. Montrons que la condition (5.4) est nécessaire pour que A soit l’opérateur infinitésimal d’un semigroupe. On sait déjà que la résolvante est donnée par la formule (5.2). Il s’ensuit que

Rλ(A)²=

� ∞ 0

S(t1)S(t2)e^−λ(t¹^+t²⁾dt1dt2

=

� ∞ 0

� r1

0

S(r1)e⁻^λr¹dr2dr1=

� ∞ 0

r1S(r1)e⁻^λr¹dr1. Par r´ecurrence, on obtient

Rλ(A)ⁿ=

� ∞ 0

tⁿ⁻¹

(n−1)!S(t)e⁻^λtdt.

Cette relation et l’inégalité (5.1) implique le résultat cherché.

D´emonstration du lemme 5.8. Soitx∈ D(A). Alors

�λRλ(A)x−x�^X=�Rλ(A)Ax�^X≤M(λ−ω)⁻¹�Ax�^X →0 quandλ→ ∞. De plus,

�λRλ(A)−I�L(X)≤M λ(λ−ω)⁻¹+ 1≤2M + 1 pourλ�1.

CommeD(A) est dense dansX, on conclut que

λRλ(A)→I pour la topologie forte quandλ→ ∞. Il s’ensuit que pour toutx∈ D(A),

Aλx=λRλ(A)Ax→Ax quandλ→ ∞.

(7)

5.3 Applications

5.3.1 Equation de la chaleur

On noteH^s=H^s(R^d) l’espace de Sobolev d’ordres≥0:

H^s(R^d) ={u∈L²(R^d) : (1 +|ξ|²)^s/2u(ξ)ˆ ∈L²(R^d)},

où û(ξ) désigne la transformée de Fourier deu(x). Considérons le problème

∂tu= ∆u, (t, x)∈R⁺×R^dx, (5.7)

u(0, x) =u0(x), x∈R^d, (5.8)

où u0∈H²(R^d) est une fonction donnée. SoitAl’opérateur de Laplace avec le domaineD(A) =H².

Théorème 5.9. (i) L’opérateur Aest auto-adjoint.

(ii) Pour toute donnée initiale u0 ∈ H²(R^d) il existe une unique fonction u∈C(R⁺, H²)∩C¹(R⁺, L²)vérifiant les équations (5.7),(5.8).

D´emonstration. (i)On noteF :L²(R^d)→L²(R^d) la transformation de Fourier etF⁻¹ son inverse:

(Fu)(ξ) = (2π)⁻^d/2

�

R^de⁻^ixξu(x)dx, (F⁻¹v)(ξ) = (2π)⁻^d/2

�

R^de^ixξv(ξ)dξ.

AlorsA =F⁻¹M_−|ξ|²F, où Ma =Ma(ξ) désigne l’opérateur de multiplication par la fonctiona(ξ) avec le domaine

D(Ma) ={v∈L²(R^d) :av∈L²(R^d)}.

CommeM_−|ξ|² est un op´erateur auti-adjoint etF est une isom´etrie, on conclut queAest auto-adjoint.

(ii)Nous allons utiliser le th´eor`eme de Hille–Yosida. Montrons que

�Rλ(A)�L(H)≤λ⁻¹ pourλ >0, (5.9) o`u H=L²(R^d). On a

Rλ(A) =F⁻¹M_(λ+|ξ|²)⁻¹F pour λ >0, (5.10) Il est ´evident que

�M_(λ+|ξ|²₎−1v�^H≤λ⁻¹�v�^H pourλ >0. (5.11) CommeFest une isométrie, la relation (5.10) et l’inégalité (5.11) impliquent (5.9).

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D’après le théorème de Hille–Yosida, l’opérateur A est le générateur d’un semigroupe fortement continu S(t). La fonction u(t) = S(t)u0 appartient à l’espaceC¹(R⁺, H²) et vérifie les équations (5.7), (5.8).

Montrons que la solution est unique. Siv∈C(R⁺, H²)∩C¹(R⁺, L²) est une autre solution, alors leure différence w=u−v est solution du problème (5.7), (5.8) avecu0= 0. Il s’en suit que

∂t�w�²= 2(w, ∂tw) = 2(w,∆w)≤0, �w(0)�²= 0.

On conclut quew≡0, et doncu≡0.

Exercice 5.10. Etudier le probl`eme de Cauchy pour l’´equation des ondes:

∂_t²u= ∆u, (t, x)∈R^d+1,

u(0, x) =u0(x), ∂tu(0, x) =u1(x), x∈R^d, o`u u0∈H²et u0∈H¹.

Indication: Réécrire l’équation des ondes comme un système d’ordre 1 et utiliser le théorème de Hille-Yosida.

5.3.2 Equation de Schrödinger Considérons le problème

∂tu=i∆u, (t, x)∈R^t×R^dx, (5.12)

u(0, x) =u0(x), x∈R^d, (5.13)

o`u u0∈H²(R^d) est une fonction donn´ee.

Théorème 5.11. Pour tout donnée initialeu0∈H²il existe une unique fonctionu∈C(R, H²)∩C¹(R, L²)vérifiant les équations (5.12),(5.13).

Démonstration. D’après le théorème 5.9, l’opérateur A est auto-adjoint. Le théorème de Stone implique que les opérateurseîtA sont bien définis et forment un groupe unitaire fortement continu. Il s’ensuit que pour tout u0 ∈ H² la fonctionu(t) =eîtAu0est solution du problème (5.12), (5.13). La démonstration d’unicité est tout à fait analogue au cas de l’équation de la chaleur.