TD9 : Formes sesquilin´ eaires, groupe unitaire, quaternions

Ecole Normale Sup´´ erieure 1`ere ann´ee

Ann´ee 2015-2016 Alg`ebre 1

TD9 : Formes sesquilin´ eaires, groupe unitaire, quaternions

Exercices ?: `a pr´eparer `a la maison avant le TD, seront corrig´es en d´ebut de TD.

Exercices ??: seront trait´es en classe en priorit´e.

Exercices ? ? ?: plus difficiles.

Exercice 1 : ?

Montrer que toute forme sesquilin´eaire r´eelle est bilin´eaire.

Solution de l’exercice 1. Il est classique que l’identit´e est l’unique automorphisme de corps deR. Par cons´equent, l’identit´e est la seule involution de corps de R, ce qui assure le r´esultat.

Exercice 2 : ?

SoientK un corps de caract´eristique diff´erente de 2 etσ ∈Aut(K) une involution distincte de idK. Montrer que k= K^σ := {x ∈K : σ(x) = x} est un sous-corps de K, qu’il existe a ∈K \k tel que a² ∈k,σ(a) =−a etK=k(a) :={λa+µ: (λ, µ)∈k²}.

Que dire si K est de caract´eristique 2 ? Solution de l’exercice 2.

— On v´erifie facilement que k:=K^σ contient 0 et 1, qu’il est stable par somme et produit, ainsi que par oppos´e et par inverse. Cela assure que kest un sous-corps de K.

— On suppose que la caract´eristique de K n’est pas 2. Par hypoth`ese, il existeb∈K\k. Posons a:= b−σ(b). On voit que a v´erifie que σ(a) =−a et donc a /∈ k (puisque a 6= 0 et K n’est pas de caract´eristique 2). On a donc a² = −aσ(a) ∈ K. En outre, il est clair que k(a) ⊂ K.

R´eciproquement, soit x ∈K. Posons λ:= ^x+σ(x)₂ ety := ^x−σ(x)₂ . Alors x =λ+y et en outre, λ ∈ k et σ(y) = −y. Donc ^y_a est fixe par σ, donc ^y_a ∈ k, i.e. il existe µ ∈ k tel que y = µa.

Finalement, on a x=λ+µa, avec λ, µ∈k. Cela assure queK =k(a).

— On suppose maintenant que K est de caract´eristique 2. On sait qu’il existe b∈K\k. Posons a:= _b+σ(b)^b . On voit queσ(a) =a+ 1, donca /∈k. En outre,α:=aσ(a) est un ´el´ement dek, et on a la relation suivante :a²+a+α= 0 (on note en revanche que a² ∈/k). On a bienk(a)⊂K.

R´eciproquement, soitx∈K\k. Posonsy:= _x+σ(x)^x . Alors σ(y) =y+ 1, doncσ(a+y) =a+y, donca+y∈k. Doncy ∈k(a), doncx= (x+σ(x))y∈k(a) car x+σ(x)∈k. DoncK=k(a).

Exercice 3 : ??

Soient K un sous-corps de R et K⁰ = K(i) := {x+iy : (x, y) ∈ K²}. On munit K⁰ de l’involution induite par la conjugaison complexe. SoientE⁰ unK⁰-espace vectoriel et E leK-espace vectoriel sous- jacent. Une formeK-bilin´eairef surE×E est diteinvariante par isi l’on af(ix, iy) =f(x, y) pour tousx, y∈E.

a) Montrer que l’applicationφ7→ (x, y)7→φ(x, y)+iφ(x, iy)

est un isomorphisme de l’espace des formes bilin´eaires sur E×E invariantes parivers celui des formes sesquilin´eaires sur E⁰×E⁰. b) Montrer qu’elle induit un isomorphisme de l’espace des formes sym´etriques surE×Einvariantes

parivers l’espace des formes hermitiennes sur E⁰×E⁰.

c) Montrer que si φest sym´etrique invariante pari, alors (x, y)7→φ(x, iy) est antisym´etrique.

Solution de l’exercice 3.

a) Notons ψ_φl’image de φ. Pour tous x, y∈E etλ, µ∈k, on v´erifie que

ψ_φ((λ+iµ)x, y) =λφ(x, y) +iλφ(x, iy)−µφ(x, iy) +iµφ(x, y) = (λ+iµ)ψ_φ(x, y)

et

ψ_φ(x,(λ+iµ)y) =λφ(x, y) +iλφ(x, iy) +µφ(x, iy)−iµφ(x, y) = (λ−iµ)ψ_φ(x, y). Doncψφ est bien une forme sesquilin´eaire sur E⁰×E⁰.

Et il est clair que l’applicationφ7→ψφ est k-lin´eaire.

R´eciproquement, tout forme sesquilin´eaireψ surE⁰×E⁰ s’´ecrit ψ=φ1+iφ2 o`uφ1 etφ2 sont des formes k-bilin´eaires surE×E. On a, pour tous x, y∈E×E, les ´egalit´es

φ1(ix, iy) +iφ2(ix, iy) =ψ(ix, iy) =ψ(x, y) =φ1(x, y) +iφ2(x, y). Autrement dit, φ1 etφ2 sont invariantes par i. Aussi, on a l’´egalit´e

φ1(x, iy) +iφ2(x, iy) =ψ(x, iy) =−iψ(x, y) =φ2(x, y)−iφ1(x, y), de sorte que l’on a φ₂(x, y) =φ₁(x, iy).

Cela assure que l’application ψ 7→ φ_ψ := φ₁ est la r´eciproque de l’application pr´ec´edente, i.e.

que pour toute forme sesquilin´eaire ψ, on a ψ_φψ = ψ, et pour toute forme bilin´eaire φ, on a φ_ψφ =φ.

D’o`u l’isomorphisme souhait´e.

b) On aψ_φ(y, x) =φ(y, x)−iφ(iy, x), ce qui assure le r´esultat souhait´e.

c) Si φest sym´etrique invariante par i, on a φ(x, iy) +φ(y, ix) =φ(x, iy) +φ(iy,−x) = 0.

Exercice 4 :

Soient K un corps, E un espace vectoriel sur K, φ une forme sesquilin´eaire sur E ×E et u un endomorphisme deE.

Siv:E →F est une application lin´eaire entre deux espaces vectoriels, on d´efinit satranspos´ee comme

´etant l’application

tv: F^∗ → E^∗ f 7→ f ◦v .

a) Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :

i) il existe un unique endomorphisme u^∗ de E v´erifiant φ(u(x), y) = φ(x, u^∗(y)) pour tous x, y∈E;

ii) l’applicationd_φ:E→E^∗ induite parφest injective et ^tu(d_φ(E))⊆d_φ(E).

b) Donner un exemple o`uE est de dimension infinie,d<sub>φ</sub>est injective, mais o`u^tu(d_φ(E)) n’est pas contenu dansd_φ(E).

Solution de l’exercice 4.

a) Supposons (i). Alors u^∗ stabilise kerd_φ. Soit S un suppl´ementaire de ker d_φ dans E; si u^∗₀ : E → E d´esigne l’identit´e de ker d_φ prolong´ee par 0 sur S, u^∗ +u^∗₀ est un endomorphisme satisfaisant aussi l’´egalit´e voulue. Par unicit´e, on a donc u^∗₀ = 0 et kerdφ = 0. Aussi, on a

tu(d_φ(y)) =d_φ(y)◦u=d_φ(u^∗(y)) pour touty∈E.

R´eciproquement, supposons (ii). L’inclusion ^tu(d_φ(E)) ⊆ d_φ(E) nous permet de d´efinir une application ensembliste u^∗ : E → E v´erifiant φ(u(x), y) = φ(x, u^∗(y)) pour tous x, y ∈ E.

L’injectivit´e de dφ nous assure l’unicit´e d’un telu^∗, et sa lin´earit´e en d´ecoule.

b) Soient k un corps et E un espace vectoriel sur k poss´edant une base d´enombrable (e_n)n≥1

(par exemple E = k[X] = k^(N)). On d´efinit une forme bilin´eaire φ sur E ×E en posant φ(ei, ej) = δi,j+1 pour tous i, j ≥ 1. Soit u l’application lin´eaire d´efinie par ei 7→ δ1,ie2. Alors d_φ est injective et on a^tu(e^∗₂) =e^∗₁∈/ d_φ(E) alors que e^∗₂ =d_φ(e₁)∈d_φ(E).

Exercice 5 :

Soient K un corps, E0 et E1 deux espaces vectoriels sur K et φ0, φ1 des formes sesquilin´eaires res- pectivement surE0×E0 etE1×E1. On suppose queφ1 est non d´eg´en´er´ee et qu’il existe un ´el´ement α∈K et une bijection v:E₀ →E₁ tels que l’on ait φ₁(v(x), v(y)) =φ₀(x, y)α pour tousx, y∈E₀.

a) Montrer que φ₀ est non d´eg´en´er´ee et que v est lin´eaire.

Soient E₂ un espace vectoriel sur K et φ₂ une forme sesquilin´eaire non d´eg´en´er´ee sur E₂ ×E₂. On suppose l’existence d’une application lin´eaire surjective u:E₁ →E₂ qui v´erifie

φ₂(u(x), u(y)) = 0⇒φ₁(x, y) = 0 pour tous x, y∈E₁. b) Montrer que u est un isomorphisme de E1 surE2.

c) Montrer que pour touty∈E1, il existe un ´el´ement m(y)∈K tel que l’on aitφ2(u(x), u(y)) = φ₁(x, y)m(y) pour tout x∈E₁.

d) En d´eduire qu’il existeβ∈K^∗ tel que l’on ait φ₂(u(x), u(y)) =φ₁(x, y)β pour tousx, y∈E₁. Solution de l’exercice 5.

a) Comme φ₁ est non d´eg´en´er´ee, on voit que v(0) = 0. Soit x ∈ E₀ tel que φ₀(., x) = 0. Alors φ₁(., v(x)) = 0, doncv(x) = 0 =v(0). Orvest injective, doncx= 0, doncφ₀ est non d´eg´en´er´ee.

Un raisonnement analogue utilisant la non-d´eg´en´erescence deφ1 assure la lin´earit´e de v.

b) Soitbun ´el´ement du noyau deu. La condition implique alors φ1(., b) = 0, et commeφ1 est non d´eg´en´er´ee, on ab= 0. Donc u est injective, donc un isomorphisme.

c) D’apr`es a) et les hypoth`eses de non d´eg´en´erescence, pour touty∈E1,d_φ1(y) etd_φ2(u(y)) sont deux ´el´ements non nuls deE₁^∗poss´edant le mˆeme hyperplan. Alors, il existem(y)∈k^∗ v´erifiant φ2(u(x), u(y)) =φ1(x, y)m(y) pour tout x∈E1.

d) On voit tout d’abord quem:E1 →k^∗ est constante sur les droites. Maintenant, siyety⁰ sont deux ´el´ements non colin´eaires deE1 (qui est alors de dimension sup´erieure `a 2), on a

φ1(x, y+y⁰)m(y+y⁰) =φ1(x, y)m(y) +φ1(x, y⁰)m(y⁰).

En prenant successivement x dans kerd_φ1(y) \ kerd_φ1(y⁰) et ker d_φ1(y) \ker d_φ1(y⁰) (c’est possible parce que φ1 est non d´eg´en´er´ee), on obtientm(y) =m(y⁰) et le r´esultat voulu.

Exercice 6 :

D´eterminer les groupes unitaires, orthogonaux et symplectiques en dimension 1 et 2.

Solution de l’exercice 6. Voir cours.

Exercice 7 : ??

Soientp un nombre premier impair etq =p^r une puissance d’un tel nombre premier, avec r≥1.

a) Montrer qu’il existe une involution non triviale sur Fq si et seulement sir est pair.

b) V´erifier queσ:x7→x^q est l’unique involution non triviale deFq² et que son corps des invariants estFq.

c) On note En := Fⁿ_q2. Montrer qu’il y a sur (En, σ) une unique classe d’´equivalence de formes hermitiennes non d´eg´en´er´ees. Montrer qu’une telle forme admet dans une base convenable la matrice identit´e.

d) Soitzn(resp.yn) le nombre de vecteurs non triviaux deEnde norme 0 (resp. 1). Par r´ecurrence, montrer que l’on a pour tout entiern≥1,

zn= (qⁿ−(−1)ⁿ)(qⁿ⁻¹+ (−1)ⁿ) et yn=qⁿ⁻¹(qⁿ−(−1)ⁿ).

e) Calculer l’ordre de U_n(Fq²).

f) En d´eduire l’ordre de SU_n(Fq²) et de PSU_n(Fq²).

Solution de l’exercice 7.

a) L’exercice 2 assure que si Fq admet une involution non triviale σ, alors Fq est un F^σq-espace vectoriel de dimension 2, ce qui assure que |Fq|est un carr´e, donc q =p^r est un carr´e, donc r est pair.

R´eciproquement, si r = 2s est pair, alors l’application σ : Fq → Fq d´efinie par x 7→ x^ps est une involution non triviale de Fq (c’est un morphisme de corps car c’est une puissance de l’automorphisme de Frobenius, c’est une involution par le th´eor`eme de Lagrange, et ce n’est pas l’identit´e car les points fixes de σ sont les racines de X^ps −X dans Fq, qui sont au plus p^s< q=|Fq|).

b) On a vu `a la question a) queσ´etait une involution non triviale, et que son corps des invariants

´etait un corps de cardinalq. Il reste `a montrer l’unicit´e deσ. Soitτ une involution non triviale de Fq². Alors F^σ_q2 et F^τ_q2 sont deux sous-corps de Fq² de cardinal q. Donc

F^σ_q2

∗

et F^τ_q2

∗

sont deux sous-groupes de mˆeme cardinal du groupe cyclique F^∗_q², donc ils sont ´egaux, donc F^σ_q2 =F^τ_q2 ⊂Fq². On noterak:=F^σ_q2. L’exercice 2 assure qu’il existea∈F^∗_q2 tel queσ(a) =−a, Fq² = k(a) et a² ∈ k. Alors τ(a)² = τ(a²) = a², donc τ(a) = ±a. Si τ(a) = a, alors τ = id, ce qui est exclu. Donc τ(a) =−a=σ(a). Cela suffit pour conclure que τ =σ. D’o`u l’unicit´e recherch´ee.

c) L’application N : F^∗_q² → F^∗q d´efinie par x 7→ xσ(x) = x^q+1 est un morphisme de groupes surjectif, dont le noyau est de cardinal q + 1. Soit f une forme hermitienne non d´eg´en´er´ee sur (En, σ). Alors il existe une base orthogonale (e1, . . . , en) deEn pour f. Puisquef est non d´eg´en´er´ee, pour touti,f(ei) ∈F^∗q. Donc pour tout i, il existe λi ∈F^∗_q² tel que f(ei) = N(λi).

Alors f

ei

λi

= 1 pour tout i, ce qui assure que la matrice de f dans la base

ei

λi

est bien l’identit´e.

d) La surjectivit´e du morphisme N : F^∗_q2 → F^∗q d´efini plus haut assure que pour tout α ∈ F^∗q, l’ensemble des vecteurs x ∈ E_n de norme α est de cardinal exactement y_n. Or E_n est la r´eunion disjointe des sous-ensembles form´es des vecteurs de norme α, pour α d´ecrivant Fq, donc|E_n|= 1 +z_n+ (q−1)y_n. On a doncq²ⁿ= 1 +z_n+ (q−1)y_n.

En ´ecrivant l’ensemble des vecteurs 6= 0 de E_n+1 de norme nulle comme r´eunion disjointe de l’ensemble des vecteurs 6= 0 dont la derni`ere coordon´ee est nulle et de celui des vecteurs de norme nulle dont la derni`ere coordonn´ee n’est pas nulle, on obtient quezn+1=zn+ (q²−1)yn. On en d´eduit grˆace `a la relation pr´ec´edente que z_n+1= (q²ⁿ−1)(q+ 1)−qz_n. Commez₁ vaut 0, on prouve la formule voulue par r´ecurrence surn.

e) La question c) assure que les ´el´ements de Un(Fq²) sont en bijection avec les bases orthonormales de Fⁿ_q2. On en d´eduit donc que

|U_n(Fq²)|=

n

Y

i=1

yi =

n

Y

i=1

qⁱ⁻¹(qⁱ−(−1)ⁱ) =q^n(n−1)2

n

Y

i=1

(qⁱ−(−1)ⁱ).

f) La condition ^tu^(q)u = 1, o`u u<sup>(q)</sup> d´esigne la matrice de coefficients les puissances q-i`eme des coefficients de la matriceu∈Un(F_q²), assure que det Un(F_q²)

={x^q+1 |x∈F^∗_q2}. Comme ce dernier ensemble est de cardinalq−1, on a

|SU_n(F_q²/Fq)|= |U_n(Fq²)|

q−1 =q

n(n−1) 2

n

Y

i=2

(qⁱ−(−1)ⁱ),

et comme le centre de SU_n(Fq²) est r´eduit aux homoth´eties unitaires, on a Z(SU_n(Fq²)) = {λI_n:λ^q+1= 1 etλⁿ= 1}, donc

|PSU_n(Fq²/Fq)|= |SU_n(Fq²)|

n∧(q+ 1) = q^n(n−1)2 n∧(q+ 1)

n

Y

i=2

(qⁱ−(−1)ⁱ).

Exercice 8 : ? ? ?

Soient p un nombre premier impair,f ≥1 et q =p^f . Soit b la forme sur (Fq²)³×(Fq²)³ d´efinie par b(u, v) =u₁v₃^q+u₂v^q₂+u₃v^q₁

a) D´eterminer l’ensemble ∆ des droites isotropes de b. Quel est le cardinal de ∆ ?

b) Notons (e₁, e₂, e₃) la base canonique de (Fq²)³. On d´efinit aussi les ´el´ements t_α,β et h_γ,δ de PU₃(Fq²) correspondant respectivement aux matrices





1 −β^q α

0 1 β

0 0 1



 et





γ 0 0 0 δ 0 0 0 γ^−q





avec les conditionsδ^1+q = 1, γ 6= 0, α+α^q+β^1+q = 0. D´eterminer le stabilisateur de e1 dans PU₃(Fq²) et montrer que T :={t_α,β |α+α^q+β^1+q= 0}en est un sous-groupe distingu´e.

c) Montrer que l’action de PSU₃(Fq²) sur ∆ est 2-transitive.

d) Calculer le sous-groupe d´eriv´e Te1 de T.

e) On appelle transvection unitaire de (Fq²)³ toute transvection de (Fq²)³ pr´eservant la forme b.

Montrer que u ∈ U₃(Fq²) est une transvection unitaire si et seulement si il existe α ∈ Fq²

v´erifiant α+α^q = 0 et a ∈ (F_q²)³ isotrope tels que pour tout x ∈ (F_q²)³, on ait u(x) = x+αb(a, x)a(on dit queu est une transvection unitaire de vecteura).

f) Pour tout vecteur isotrope a, montrer que l’ensembleTa des transvections unitaires de vecteur aforme un sous-groupe ab´elien distingu´e dans le stabilisateur deasous SU₃(Fq²).

g) Montrer que toute transvection unitaire est un commutateur dans SU₃(Fq²).

h) Montrer que le sous-groupe de SU₃(Fq²) engendr´e par les transvections unitaires agit transiti- vement sur{x∈(Fq²)³ :b(x, x) = 1}.

i) Montrer que SU₃(Fq²) est engendr´e par les transvections unitaires.

j) Montrer que PSU₃(Fq²) est un groupe simple.

Solution de l’exercice 8.

a) Un petit calcul montre que les droites isotropes sont ke₁ = k(1,0,0) et les k(α, β,1) avec α+α^q+β^1+q = 0. Le nombre de solutions de cette ´equation est q²·q =q³ (car l’application Fq² →Fq d´efinie parx7→x^1+qest surjective et l’application Fq² → Fq

x 7→ x+x^q estFq-lin´eaire).

Le cardinal de ∆ est doncq³+ 1.

b) On v´erifie d’abord que les t_α,β et h_γ,δ stabilisent bienke1. Notons respectivement T etH les sous-groupes de PU₃(Fq²) engendr´es par les t_α,β et lesh_γ,δ : ils forment un produit semi-direct ToH (la v´erification est laiss´ee au lecteur).

L’image r´eciproque deToH dans U3(F_q²) est de cardinalq³·(q²−1)(q+ 1). De plus, l’action de U3(Fq²) sur ∆ ´etant transitive, on a

|Stab_U3(ke₁)|=|U₃(Fq²)| · |∆|⁻¹ =q³(q²−1)(q+ 1).

Ceci montre que le stabilisateur de ke1 dans PU3(Fq²) est exactement le groupeT oH.

c) Un petit calcul montre que l’action deT ⊂PSU3(Fq²) est transitive sur ∆\ {ke₁}. Or SU₃(Fq²) agit transitivement sur ∆, donc on en d´eduit facilement que PSU₃(F²q) agit 2 fois transitivement sur ∆.

d) On calcule quetα,β·tα⁰,β⁰ =tα+α⁰−β^qβ⁰,β+β⁰. Donc [tα,β, tα⁰,β⁰] =tββ^0q−β⁰β^q,0. On en d´eduit que Te1 :=D(T) est le groupe form´e des matrices





1 0 α 0 1 0 0 0 1





avec α∈Fq² tel queα^q =−α. C’est le groupe des transvections unitaires de T.

e) Soitu∈U₃(Fq²) une transvection de vecteura∈(Fq²)³. Alors il existe une forme lin´eairef non nulle telle que pour tout x∈(Fq²)³, u(x) =x+f(x)a, avecf(a) = 0. Puisque u est unitaire, on a, pour tousx, y∈(F_q²)³,b(u(x), u(y)) =b(x, y), i.e.

b(a, x)f(y) +b(a, y)f(x) +b(a, a)f(y)f(x) = 0.

Donc en prenanty =aetx quelconque, on voit que b(a, a) = 0 (car f 6= 0). Et en choisissant x tel que b(a, x) = 1, en posant α := −f(x), on obtient que pour tout y,f(y) =αb(a, y). En outre, poury tel queb(a, y) = 1, on constate queα+α= 0.

Par cons´equent, pour toute transvection unitaireu de (F_q²)³, il existe un vecteur isotropeaet α∈Fq² tel queα+α= 0 de sorte que pour toutx∈(Fq²)³,

u(x) =x+αb(a, x)a .

R´eciproquement, il est clair qu’une telle donn´ee d´efinit une transvection unitaire.

f) On peut toujours compl´eter le vecteur isotropeaen un plan hyperbolique de base hyperbolique (a, c). Ensuite, on compl`ete la famille (a, c) en une base (a, b, c) de (F<sub>q</sub><sup>2</sup>)<sup>3</sup> avec un vecteur b orthogonal `a aetcet de norme 1. On est alors ramen´e via ce changement de bases aux calculs des questions a),b),c),d). D’o`u le r´esultat souhait´e.

g) Cela r´esulte des questions e), f), et des calculs de commutateurs de la question d).

h) Soient x ety deux vecteurs tels que b(x, x) =b(y, y) = 1. Si la restriction de bau sous-espace engendr´e par x et y est non d´eg´en´er´ee, alors un calcul dans SU₂(Fq²) ∼= SL2(Fq) assure le r´esultat. Sibrestreinte `a vect(x, y) est d´eg´en´er´ee, on peut trouverztel que les plans vect(x, z) et vect(y, z) soient non d´eg´en´er´es (prendre par exemple un vecteur isotropez /∈vect(x, y), non orthogonal `a x, ni `ay). Alors on conclut par le cas pr´ec´edent en composant deux transvections unitaires.

i) Pour toutxtel queb(x, x) = 1, le stabilisateur dexdans SU3(F_q²) est isomorphe `a SU(x^⊥, b)∼= SU₂(Fq²). Or SU₂(Fq²) est engendr´e par les transvections unitaires, donc la question h) assure que SU₃(Fq²) est engendr´e par les transvections unitaires.

j) La question c) assure que le groupe PSU₃(Fq²) agit primitivement sur ∆. Pour tout d ∈ ∆, on pose Td l’image de Ta dans PSU3(F_q²), o`u a est un vecteur directeur de d. La question f) assure que pour tout d ∈ ∆, T<sub>d</sub> est un sous-groupe ab´elien de PSU3(Fq<sup>2</sup>), distingu´e dans le stabilisateur de d. Et la question i) assure que PSU<sub>3</sub>(Fq<sup>2</sup>) est engendr´e par la r´eunion des Td, d ∈ ∆. Par cons´equent, le th´eor`eme d’Iwasawa assure que tout sous-groupe distingu´e de PSU3(Fq²) agissant non trivialement sur ∆ contient D(PSU3(Fq²)). Or les questions g) et i) assurent que D(PSU₃(Fq²)) = PSU₃(Fq²), donc cela d´emontre que le groupe PSU₃(Fq²) est un groupe simple.

Exercice 9 : ??

Soit H la R-alg`ebre des quaternions. Un ´el´ement z ∈ H est dit pur s’il s’´ecrit sous la forme z = bi+cj+dk avec a, b, c∈R.

a) Montrer que z∈H est pur si et seulement siz²∈R⁻.

b) Montrer que tout ´el´ement de Hest produit de deux quaternions purs.

c) Montrer que tout automorphisme d’anneaux deH est de la forme x7→qxq⁻¹ pour un certain q∈Hde norme 1.

d) V´erifier que la transpos´ee sur Mat₂(H) ne conserve pas le groupe GL₂(H).

Solution de l’exercice 9.

a) C’est un calcul imm´ediat.

b) Soient z, z⁰∈Hdeux quaternions purs, identifi´es `a deux vecteursZ, Z⁰ ∈R³. Un calcul direct assure que zz⁰ ∈H est le quaternion dont la coordonn´ee r´eelle est l’oppos´e du produit scalaire

−Z·Z⁰ et les trois autres coordonn´ees sont les coordonn´ees du produit vectoriel Z∧Z⁰ dans R³. Soit alors z₀ =α+Y ∈ H, avec α ∈ R et Y pur. L’´equation vectorielle dansR³ donn´ee parZ∧Z⁰=Y admet clairement une solutionZ, Z⁰ ∈R³, avec Z 6= 0. Alors pour tout λ∈R, Y =Z ∧(Z⁰+λZ), et Z·(Z⁰+λZ) =Z·Z⁰+λkXk². Il est alors clair qu’il existe λ∈Rtel queZ∧(Z⁰+λZ) =Y et Z·(Z⁰+λZ) =−α, doncz₀=zz⁰, avec z, z⁰ ∈H purs.

c) Soit ϕ:H→Hun morphisme d’anneaux. Alors ϕ(Z(H)) =Z(H), o`u Z(H) ={x∈H:∀y ∈ H, xy=yx}. Doncϕ(R) =R. Donc la restriction deϕ`aRest un automorphisme d’anneau de R, doncϕ|_R = id_R.

La question a) assure qu’un quaternion z est pur si et seulement si z² ∈R⁻, donc pour tout z ∈ H, z est pur si et seulement si z² ∈ R⁻ si et seulement si ϕ(z²) = ϕ(z)² ∈ R⁻ si et seulement si ϕ(z) est pur. Donc si on note P ⊂ H le sous-espace vectoriel des quaternions purs, la restriction de ϕ `a P induit un isomorphisme de groupes ϕ_|P :P → P. Or pour tout z ∈ P, on a N(z) = −z² et N(ϕ(z)) = −z², donc ϕ|_P ∈ O(P, N) ∼= O3(R). Or (i, j, k) est une base orthonorm´ee de (P, N), donc (ϕ(i), ϕ(j), ϕ(k)) ´egalement, donc il existe une rotation r∈SO₃(R) telle quer(i) =ϕ(i),r(j) =ϕ(j) etr(k) =±ϕ(k). Or on dispose de l’isomorphisme ψ : {x ∈ H : N(x) = 1}/{±1} −^∼→ SO(P, N) ∼= SO3(R) d´efini par ψ(x) : z 7→ xzx⁻¹, ce qui assure que la rotation r est de la forme ψ(x) pour un certain x ∈ H de norme 1. Alors on a xix⁻¹ = ϕ(i) et xjx⁻¹ = ϕ(j), donc xkx⁻¹ = ϕ(i)ϕ(j) = ϕ(k). Cela assure que ϕ est la conjugaison par x surH.

d) On peut consid´erer par exemple la matrice

1 j i k

. Exercice 10 : ??

Soit K un corps de caract´eristique diff´erente de 2 et soient α, β ∈ K^∗. On note (1, i, j, k) la base canonique deK⁴, et on noteH_α,β l’unique structure deK-alg`ebre sur K⁴ d´efinie par

1 est le neutre pour la multiplication, i²=α , j² =β, ij =−ji=k . a) D´efinir la norme r´eduiteN :H_α,β →K et la conjugaisonH_α,β →H_α,β.

b) Montrer que siK est alg´ebriquement clos, alorsH_α,β est isomorphe `a Mat₂(K).

c) Montrer que H_α,β est une alg`ebre `a division (i.e. un “corps non commutatif”) si et seulement siN est une forme anisotrope sur le K-espace vectorielHα,β.

d) Montrer que siK=Fq, alors Hα,β n’est pas int`egre.

e) Soientα⁰, β⁰∈K^∗. Montrer que lesK-alg`ebres Hα,β etHα⁰,β⁰ sont isomorphes si et seulement si les normes N etN⁰ associ´ees sont des formes quadratiques isom´etriques.

Solution de l’exercice 10.

a) Par analogie avec les quaternions de Hamilton, on d´efinit le conjugu´e d’un ´el´ementz=a+bi+ cj+dk parz:=a−bi−cj−dk. De mˆeme, on d´efinit la norme d’un ´el´ementz=a+bi+cj+dk parN(z) :=zz =a²−αb²−βc²+αβd².

b) Soient a, b ∈ K^∗ des racines carr´ees respectives de α et β (ces racines existent car K est alg`ebriquement clos). Le morphisme deK-alg`ebresH_α,β →Mat₂(K) d´efini pari7→

a 0 0 −a

etj7→

0 b b 0

est l’isomorphisme voulu.

c) Il est clair que N est une forme quadratique sur leK-espace vectorielH_α,β.

Supposons queHα,β soit une alg`ebre `a division. Soientz∈Hα,β\{0}etz⁰ un inverse dez. On a alorsN(z)N(z⁰) =N(zz⁰) =N(1) = 1 et doncN(z)6= 0. Par cons´equent, la forme quadratique N est anisotrope.

R´eciproquement, siN est anisotrope, alors pour tout ´el´ementz∈H_α,β\{0}, l’´el´ementN(z)⁻¹z fournit un inverse de z, doncH_α,β est une alg`ebre `a division.

d) On sait que sur un corps fini, une forme quadratique de dimension ≥ 3 est isotrope. Par cons´equent, la norme N est isotrope sur H_α,β, donc il existe z ∈ H_α,β \ {0} tel que zz = N(z) = 0, doncHα,β n’est pas int`egre.

e) Soit ϕ:H_α,β −^∼→ H_α⁰_,β⁰ un isomorphisme de K-alg`ebres. Comme le centre de ces alg`ebres est r´eduit `a K, on a n´ecessairement ϕ(K) =K. On note P_α,β ⊂H_α,β le sous-espace vectoriel des quaternions purs. Pour tout z∈H_α,β\ {0}, on a z∈P_α,β si et seulement siz /∈K etz² ∈K si et seulement si ϕ(z) ∈/ K et ϕ(z)² ∈K si et seulement si ϕ(z) ∈P_α⁰_,β⁰. Donc ϕ_|P

α,β induit un isomorphisme Pα,β → Pα⁰,β⁰. Montrons maintenant que ϕ pr´eserve la conjugaison : soit z ∈H_α,β. Alors z s’´ecrit z=z0+p avec z0 ∈K et p∈ P_α,β. On a donc ϕ(z) =ϕ(z0−p) = ϕ(z₀)−ϕ(p) et ϕ(z) = ϕ(z₀) +ϕ(p). Or on a vu que ϕ(z₀) ∈ K et ϕ(p) ∈ P_α⁰_,β⁰, donc les formules pr´ec´edentes assurent queϕ(z) =ϕ(z). On en d´eduit que pour toutz∈H_α,β,

N⁰(ϕ(z)) =ϕ(z)ϕ(z) =ϕ(z)ϕ(z) =ϕ(zz) =zz=N(z) carzz∈K et ϕest un morphisme deK-alg`ebres.

Cela assure que les formes quadratiques N etN⁰ sont isom´etriques via ϕ.

R´eciproquement, supposons qu’il existe une isom´etrie (lin´eaire) f : (H_α,β, N) → (H_α⁰_,β⁰, N⁰).

Le th´eor`eme de Witt (appliqu´e `a l’orthogonal d’un vecteur de norme 1) assure que l’on peut supposer que f envoie Pα,β sur Pα⁰,β⁰. On a alors f(i)² = −N⁰(f(i)) = −N(i) = i² = α, et de mˆeme f(j)² = β. De plus, comme i et j sont orthogonaux pour N, f(i) et f(j) sont orthogonaux pourN⁰ : ainsi on af(i)f(j) +f(j)f(i) = 0. Cela implique que la sous-K-alg`ebre de Hα<sup>0</sup>,β<sup>0</sup> engendr´ee par f(i) et f(j) est isomorphe `a Hα,β, donc par ´egalit´e des dimensions, queH_α⁰_,β⁰ est isomorphe commeK-alg`ebre `a H_α,β.

Exercice 11 : ? ? ?

Soient A un anneau commutatif unitaire et H(A) la A-alg`ebre des ´el´ements a+bi+cj+dk avec a, b, c, d∈A telle que 1 est neutre pour la multiplication et avec les relations :

i²=j² =k² =−1, ij =−ji=k, jk=−kj=i, ki=−ik=j.

a) D´efinir la norme r´eduiteN :H(A)→Aet la conjugaisonH(A)→H(A).

b) Montrer que pour toutx, y∈H(A),N(xy) =N(x)N(y).

c) On d´efinit les quaternions d’Hurwitz par H :=

a+bi+ck+dk∈H(Q) |(a, b, c, d)∈Z⁴∪ 1

2+Z⁴

.

Montrer que H est un sous-anneau de H(Q) contenantH(Z) et v´erifiant N(z) = 1 si et seule- ment si z est inversible dans H.

d) Montrer que tout id´eal `a droite (respectivement `a gauche) de H est principal.

e) Montrer que, pour tout nombre premier p, il existez∈H tel queN(z) =p.

f) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carr´es.

Solution de l’exercice 11.

a) On pose N(a+bi+cj+dk) =a²+b²+c²+d², qui est bien un ´el´ement de A. De mˆeme, on d´efinit le conjugu´e par a+bi+cj+dk=a−bi−cj−dk.

b) On aN(z₁z₂) =z₁z₂z₂z₁ =N(z₁)N(z₂).

c) Il est clair que (H,+) forme un sous-groupe de (H(Q),+). Il contient 1, v´erifions qu’il est stable par multiplication. Pour cela, posons,u= 1

2(1 +i+j+k)∈H. Il suffit de v´erifier queu.1,u.i, u.j,u.k etu² sont encore des ´el´ements de H, ce qui est imm´ediat.

Lorsque z est un ´el´ement deH(Z), N(z) est entier. Soit alors z ∈H\H(Z) : un tel z s’´ecrit u+a+bi+cj+dk, aveca, b, c, d∈Z. On a alorsN(z) =a²+a+b²+b+c²+c+d²+d+ 1∈Z. Donc pour tout z∈H,N(z)∈Z.

Soitz∈H de norme 1 : son inverse dansH(Q) estz, qui est bien dansH. R´eciproquement, si z est inversible dansH, alors il existe z⁰ ∈H v´erifiant zz⁰ = 1. Il en r´esulte N(z)N(z⁰) = 1, et doncN(z) = 1 puisque la norme surH est `a valeurs enti`eres positives.

d) Commen¸cons par une remarque. Si x = a+bi+cj+dk est un ´el´ement de H(Q), il existe a⁰, b⁰, c⁰, d⁰ ∈ Z tels que |a−a⁰| ≤ ¹₂, |b−b⁰| ≤ ¹₂, |c−c⁰| ≤ ¹₂ et |d−d⁰| ≤ ¹₂. Pour x⁰ = a⁰+b⁰i+c⁰j+d⁰k, on a alors N(x−x⁰)≤1, avec ´egalit´e si et seulement si x∈HrH(Z).

Prouvons maintenant l’assertion voulue pour les id´eaux `a droite (le cas des id´eaux `a gauche est sym´etrique). Soient a un id´eal `a droite propre deH et z ∈ a un ´el´ement de norme minimale non nulle. Soit y∈a; par la remarque pr´ec´edente, il existe t∈H avec N(z⁻¹y−t)<1. On a alorsN(y−zt)< N(z) ; par minimalit´e, on obtient queN(y−zt) = 0 et donc y =zt. Donca est principal, engendr´e par z.

e) Comme on a 2 = 1²+ 1²+ 0²+ 0², on peut supposerpimpair. L’id´ealpHest bilat`ere et on peut former l’anneau quotient H/pH. Commep est impair,H/pH est isomorphe `a H(Z)/pH(Z)' H(Fp). Or l’´equation a²+b²+c²+d² = 0 a une solution non triviale dansFp, et l’´el´ement de H(Fp) correspondant `a une telle solution engendre un id´eal `a droite propre deH(Fp). L’image r´eciproque dans H de cet id´eal est un id´eal principal de la forme z0H, par la question d), et il v´erifie pH ( z₀H ( H. En particulier, il existe un ´el´ement z⁰ ∈ H v´erifiant z₀z⁰ = p. On obtient quep² =N(p) =N(z₀)N(z⁰). Or N(z₀)>1 etN(z⁰)>1 (sinon z₀ ouz₁ est inversible dansH), donc on a finalementN(z0) =ppar primalit´e.

f) Il suffit de montrer que dans la question pr´ec´edente, on peut trouverz∈H(Z) tel queN(z) =p.

Supposons que ce ne soit pas le cas et regardons l’image de ξ = 2z₀ dans H(Z)/4H(Z) ' H(Z/4Z) (o`uz0 ∈H\H(Z) v´erifieN(z0) =p). DansH(Z/4Z), la norme deξ est nulle, c’est-`a- dire queξξ = 0. Il suffit alors de releverξ en un ´el´ement de{ε₁1 +ε₂i+ε₃j+ε₄k:ε₁, . . . , ε₄ ∈ {±1}} ⊆H(Z), et de poserz₁:= ¹₂ξ dansH. Il en r´esulte queN(z₀z₁) =p(puisqueN(z₁) = 1) avec z0z1 ∈H(Z). On peut donc supposer dans la question e) que z∈H(Z).

Le r´esultat pour tout entier naturel se d´eduit alors de la question b) et de la d´ecomposition en facteurs premiers dansZ.

Exercice 12 : ? ? ?

Soient K un corps de caract´eristique 6= 2, α, β ∈K^∗. On note H:= H_α,β (voir l’exercice 10 pour la d´efinition) etH^×:={x∈H:N(x)6= 0}.

Pour toutq∈H^× etx∈H, on note S_q(x) :=qxq⁻¹. On rappelle que l’on dispose de la normeN sur Hqui est une forme quadratique.

a) Montrer que pour tout q ∈H^× et toutx∈H,N(Sq(x)) =N(x).

b) Montrer que pour tout q ∈ H^×, S_q|

K = id_K et S_q(P) = P, o`u P ⊂ H d´esigne l’espace des quaternions purs.

c) En d´eduire un morphisme de groupess:H^×→O(P, N) et montrer que son noyau estK^∗. d) Montrer que pour tout p ∈ P^× := P∩H^×, s(p) est le renversement d’axe p. En d´eduire que

s(H^×) = SO(P, N).

e) En d´eduire un isomorphismeH^×/K^∗ ∼= SO(P, N).

f) On suppose α = β = 1. Montrer que N est une forme isom´etrique `a la forme quadratique (x, y, z)7→x²−y²−z²surK³. Montrer que PGL2(K)∼= SO3(K, N) et PSL2(K)∼= Ω3(K, N) :=

D(O₃(K, N)).

g) Montrer que pour toutu∈SO(H, N), il existea, b∈H^×tels queu(x) =axbpour toutx∈H.

Montrer en outre que N(a)N(b) = 1.

h) Montrer que pour toutu∈O(H, N)\SO(H, N), il existe a, b∈H^× tels que u(x) =axbpour toutx∈H.

i) NotonsU :={(a, b)∈H^××H^×:N(a) =N(b)}. Construire un morphisme de groupes surjectif S:U →SO(H, N) et calculer son noyau.

j) On suppose α = β = 1. Montrer que N est une forme hyperbolique sur Mat2(K) et que les groupes PΩ₄(K, N) := P(D(O₄(K, N))) et PSL₂(K)×PSL₂(K) sont isomorphes.

Solution de l’exercice 12.

a) C’est clair puisque la norme est multiplicative et N(1) = 1.

b) Par d´efinition,K est contenu dans le centre deH, ce qui assure que S_q|

K = id_K. En outre, on a toujours l’´equivalence, pour unx∈H\ {0},x∈Psi et seulement six /∈K etx²∈K. Cette caract´erisation (ou un calcul direct) assure queSq(P) =P.

c) Les questions a) et b) assurent que si l’on pose s(q) :=Sq|_P pour toutq ∈H^×, on d´efinit ainsi un ´el´ement s(q)∈O(P, N). Or il est clair ques(1) = idP ets(qq⁰) =s(q)s(q⁰), donc on a bien d´efini un morphisme de groupes s: H^× → O(P, N). Calculons son noyau : un ´el´ement de H commutant avec tous les ´el´ements de P commute avec tous les ´el´ements de H, donc est dans K. Par cons´equent, Ker(s) =K∩H^×=K^∗.

d) Soitσ la r´eflexion orthogonale d’axep. Alors on sait que pour toutx∈P,σ(x) =x−2^hx,pi_N(p)p= x−^xp+px_pp p. Or pour toutx∈P, on ax=−x, doncσ(x) = _N(p)^pxp , donc le renversement d’axep est donn´e par x7→ −σ(x) =−_N(p)^pxp =pxp⁻¹=s(p), d’o`u le r´esultat.

En particulier, s(p) est un renversement pour tout p ∈ P^×, donc det(s(p)) = 1 pour tout p∈P^×.

Soit alorsz∈H^×. On sait que tout ´el´ement de O(P, N) est produit de reflexions orthogonales, donc il existe q₁, . . . , q_r ∈ P^× tels que s(z) est la compos´ee des reflexions orthogonales d’axe q1, . . . , qr. Donc s(z) = (−1)^rs(q1)◦ · · · ◦s(qr). Supposons que s(z) ∈/ SO(P, N). Alors r est impair, et pour toutx∈P, on azxz⁻¹ =−q₁. . . q_rx(q₁. . . q_r)⁻¹. En notantq :=q₁. . . q_r, on en d´eduit que pour tout x ∈H,x = (z⁻¹q)x(z⁻¹q)⁻¹. Ceci est contradictoire puisque x 7→x est un anti-automorphisme alors quex7→(z⁻¹q)x(z⁻¹q)⁻¹est un automorphisme. Par cons´equent, s(z)∈SO(P, N).

On a donc montr´e que s(H^×) ⊂ SO(P, N). Enfin, tout ´el´ement de SO(P, N) est produit de renversements, et les renversements sont dans l’image de s (et mˆeme dans s(P^×)), donc s(H^×) = SO(P, N).

e) C’est la conjonction des questions c) et d).

f) Pour tout q =xi+yj+zk∈ P, on a N(q) =−x²−y²+z², d’o`u la description de la classe d’isom´etrie deN. En outre, en adaptant la question b) de l’exercice 10, on voit facilement que dans le cas pr´esent, on a un isomorphisme de K-alg`ebres H ∼= Mat2(K), et donc un isomor- phisme de groupesH^×/K^∗∼= PGL2(K). Par cons´equent, la question e) fournit un isomorphisme PGL₂(K)−^∼→SO₃(K, N), et le calcul du groupe d´eriv´e de GL₂(K) assure que cet isomorphisme induit l’isomorphisme suivant entre les sous-groupes d´eriv´es :

PSL₂(K)−^∼→Ω₃(K, N)

(noter que ce r´esultat g´en´eralise l’isomorphisme obtenu `a l’exercice 7, question d), de la feuille de TD7, dans le cas o`u K ´etait un corps fini).

g) et h) Comme `a la question d), on voit facilement que pour tout q∈H^×, la reflexion orthogonale de droiteKq est donn´ee par la formule suivante :x7→ ^−qxq_N(q). Or tout ´el´ement de SO(H, N) (resp.

O(H, N)\SO(H, N)) est produit d’un nombre pair (resp. impair) de reflexions orthogonales.

On en d´eduit donc les deux formules souhait´ees, en composant un nombre pair (resp. impair) de reflexions donn´ees par des formules du type x7→ ^−qxq_N(q), pour certainsq ∈H^×. La condition N(a)N(b) = 1 dans la question g) s’obtient en ´ecrivant queN(u(x)) =N(x) pour toutx.

i) Pour (a, b) ∈ U, on d´efinit S_a,b : H → H par S_a,b(q) := aqb⁻¹. Il est clair que pour tout (a, b)∈U,Sa,b∈O(H, N), et que l’on d´efinit ainsi un morphisme de groupesS:U →O(H, N).

Soit (a, b) ∈ U. Supposons que S_a,b ∈/ SO(H, N). Alors la question h) assure qu’il existe c, d ∈ H^× tels que pour tout x ∈ H, on ait S_a,b(x) = cxd. On en d´eduit que pour tout x∈H, on a c⁻¹axb⁻¹d⁻¹ =x, relation qui implique que pour tout x∈H,c⁻¹axa⁻¹c=x, ce qui aboutit `a une contradiction comme `a la question d). DoncSest `a valeur dans SO(H, N). La question g) assure que l’image du morphisme de groupes S contient SO(H, N), donc S est un bien un morphisme de groupes surjectifH^×→SO(H, N). Son noyau est constitu´e de l’ensemble

des (a, b)∈U tels queaxb⁻¹ =x pour toutx∈H, i.e. l’ensemble des (a, b)∈U tels quea=b (prendrex= 1) et acommute avec tous les ´el´ements de H. Donc Ker(S) ={(λ, λ) :λ∈K^∗}.

j) On voit que dans ce cas, pour toutq=x+yi+zj+tk∈H, on aN(q) =x²−y²−z²+t². Donc (H, N) est bien somme de deux plans hyperboliques. Comme `a la question f), on sait que l’on a un isomorphisme deK-alg`ebresH−→^∼ Mat₂(K). Cet isomorphisme induit des isomorphismes de groupes H^{× ∼}−→ GL₂(K) et U −→ {(A, B)^∼ ∈GL₂(K)×GL₂(K) : det(A) = det(B)}. Donc D(U)∼= SL2(K)×SL2(K) puisqueD(GL2(K)) = SL2(K). On en d´eduit via la question i) que S induit un isomorphisme (SL2(K)×SL2(K))/{±I₂} −^∼→ Ω4(K, N). En quotientant ces deux groupes par leur centre, on obtient finalement un isomorphisme

PSL₂(K)×PSL₂(K)−→^∼ PΩ₄(K, N),

isomorphisme qui g´en´eralise le cas des corps finis trait´e `a la question e) de l’exercice 7 de la feuille de TD7.