Inégalité de Hölder et inégalité de Minkowski

R.Flouret

Inégalité de Hölder et inégalité de Minkowski

Inégalité de Hölder : Soient a et _i b ,_i 1≤i≤ndes nombres réels positifs, et deux réels p et q de

] [

1,+∞ vérifiant 1 1

1 + =

q

p . Alors on a :

n q

i q i n p

i p i n

i i

ib a b

a

1

1 1

1 1



 



 



 



≤

∑ ∑

∑

=

=

=

Preuve :

1^er cas : Les a et _i b sont tous nuls. Dans ce cas, le résultat est trivial. _i 2^ième cas : On suppose que les a et _i b sont non nuls. _i

Posons c_i =a_i^pet

q p i

i i

a

d = b . La fonction x→x^qétant convexe, on a :

∑ ∑

^ ^≤

∑ ∑







 q

i i i q

i i

i d

c d c

c

c , c’est-à-

dire

^∑

^{cidi ≤}

( ) ^∑

^{ci 1p}

( ^∑

^cidiq

)

^q1 d’où le résultat (que l’on obtient en jouant avec l’égalité 1 1 1

= +q

p )

Inégalité de Minkowski : Dans les mêmes conditions, on a

( )

^{n p}

i p i n p

i p i n p

i

p i

i b a b

a

1

1 1

1 1

1



 

 +



 



≤



 





∑

+

∑ ∑

=

=

=

Preuve :

1^er cas :

∑ ( )

=

=

n +

i

p i

i b

a

1

0 . Dans ce cas, le résultat est trivial.

2^ième cas :

∑ ( )

=

≠

n +

i

p i

i b

a

1

0

On a

(

+

)

=

(

+

)

⁻¹ + i

(

i + i

)

^p−1

p i i i p i

i b a a b b a b

a . En utilisant l’inégalité de Hölder, on obtient ;

( )

^{n q}

i

p q i i n p

i p i n

i

n q

i

p q i i n p

i p i p

i

i b a a b b a b

a

1

1

) 1 ( 1

1 1

1

1

) 1 ( 1

1

) (

)

( 



 



 +



 

 +



 



 +



 



≤

+

∑ ∑

∑ ∑ ∑

=

−

=

= =

−

=

donc

( )

^{n q}

i

p q i i n p

i p i n p

i p i q

n

i

p i

i b a b a b

a

1

1

) 1 ( 1

1 1

1 1

1

)

( 



 



 +





















 

 +





 



= 

≤

+

∑ ∑ ∑

∑

=

−

=

=

=

Or q(p−1)=qp−q= pet

q p

1 1

1 = − d’où le résultat.