Inégalité isopérimétrique

Inégalité isopérimétrique

2013 – 2014

Théorème.

Soit γ : [a, b] → C une courbe simple fermée de classe C¹, de longueur L et enfermant une surfaceS. Alors

L²≥4πS

etL²= 4πS si et seulement siγ définit un cercle parcouru une fois.

Démonstration. On commence par quelques simplifications.

Montrons que l’on peut se ramener au cas où|γ⁰(t)|=L pour toutt. Pour t∈[a, b], on définit l’abscisse curviligne de γpar

s(t) = Z t

a

|γ⁰(u)|du

et on pose

ϕ(t) := 1 Ls(t).

ϕest continue et on peut supposer queγ⁰ ne s’annule sur aucun intervalle, donc ϕ est strictement croissante, il s’agit donc d’une bijection de [a, b] dans [0,1]

(cars(b) =L). On note ˜γ:=γ◦ϕ⁻¹, alors

γ˜⁰(t) = (ϕ⁻¹)⁰(t)γ⁰(ϕ⁻¹(t))

= 1

ϕ⁰(ϕ⁻¹(t))γ⁰(ϕ⁻¹(t))

=L γ⁰(ϕ⁻¹(t))

|γ⁰(ϕ⁻¹(t))|.

On a donc|˜γ⁰(t)|=Lpour toutt. De plus, pourt < u,

˜

γ(t) = ˜γ(u) ⇐⇒ γ(ϕ⁻¹(t)) =γ(ϕ⁻¹(u))

⇐⇒ ϕ⁻¹(t) =aetϕ⁻¹(u) =b carγ est simple et fermée

⇐⇒ t=ϕ(a) = 0 etu=ϕ(b) = 1.

Finalement, ˜γ est une courbe simple fermée de classe C¹ sur [0,1], vérifiant

|˜γ(t)|=Lpour tout t et de même support queγ. On peut donc supposer que γvérifie les propriétés de ˜γ.

1

Par ailleurs, quitte à remplacer γ parγ(1− ·), on peut supposer que γ est positivement orientée.

On peut maintenant prouver le théorème. Pour calculer S, on utilise la for- mule de Green-Riemann qui s’écrit, si le domaineAenfermé parγest vue dans R²,

Z Z

A

∂Q

∂x(x, y)−∂P

∂y(x, y)

dxdy= Z

γ

P(x, y) dx+Q(x, y) dy.

En particulier, si on prendQ: (x, y)7→^x₂ etP : (x, y)7→ −^y₂, on a ^∂Q_∂x−^∂P_∂y = 1 donc

Z Z

A

dxdy=S=1 2

Z

γ

xdy−ydx=1 2

Z 1

0

(x(t)y⁰(t)−y(t)x⁰(t)) dt, oùγ(t) =x(t) +iy(t). On en déduit

S= 1 2Im

Z 1

0

γ⁰(t)γ(t) dt.

Donnons désormais une expression de L². On a L²=

Z 1

0

|γ⁰(t)|²dt.

On souhaite maintenant utiliser la formule de Parseval sur γ⁰. Pour cela, re- marquons, puisque γ(0) = γ(1), que l’on peut prolonger γ en une fonction 1-périodique continue de classeC¹ par morceaux sur R, que l’on note toujours γ. En appliquant la formule de Parseval à γ⁰ (qui est continue sur [0,1] donc L²), on obtient alors, sic_n désignent les coefficients de Fourier,

L²=X

n∈Z

|cn(γ⁰)|²= 4π²X

n∈Z

n²|cn(γ)|²

carcn(γ⁰) = 2iπncn(γ).

Par ailleurs, la formule de Parseval donne aussi Z 1

0

γ⁰(t)γ(t) dt=X

n∈Z

cn(γ⁰)cn(γ) = 2iπX

n∈Z

n|cn(γ)|².

On en déduit

S=1 2Im

Z b

a

γ⁰(t)γ(t) dt=πX

n∈Z

n|cn(γ)|².

D’où

L²−4πS= 4π²X

n∈Z

(n²−n)|cn(γ)|²≥0.

Par ailleurs, pour toutndifférent de 0 et 1,n²−n >0 doncL²= 4πS si et seulement sic_n(γ) = 0 pourndifférent de 0 et 1, c’est-à-dire si et seulement si

∀t∈[0,1], γ(t) =c0(γ) +c1(γ)e^2iπt,

ce qui est une paramétrisation du cercle de centrec0(γ) et de rayon|c1(γ)|.

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Références

[1] Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 4, Cassini, 2012, page 324.

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