Partie IV. Inégalité isopérimétrique

Énoncé

x y

M(L)

M(0)

L

A

Fig. 1: Inégalité isopérimétriqueA ≤ L² 4π Question préliminaire

Soitψune fonction continue,2π-périodique surRet à valeurs réelles.

Montrer que, pour tous les réelsa, les intégrales Z a+2π

a

ψ(t)dt sont égales.

On dénit le nombre valeur moyenne deψ (notéψ) par : ψ= 1

2π Z a+2π

a

ψ(t)dt

pour unaquelconque.

L'objet de ce problème est de démontrer l'inégalité de Wirtinger.

Z 2π 0

(f(t)−f)²dt≤ Z 2π

0

f⁰²(t)dt

pour certaines fonctionsf ∈ C¹(R)et2π-périodique.

L'inégalité de Wirtinger permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique.

Partie I.

Soitf une fonction de classeC¹(R)à valeurs réelles. Soitaet bdeux réels tels que a < b≤a+π f(a) =f(b) = 0

Soitϕla fonction dénie dans]a, b[par :

∀t∈]a, b[:ϕ(t) =f(t) cotan(t−a)

1. Montrer que l'on peut toujours prolongerϕpar continuité en une fonction dénie dans [a, b]. Préciser, suivant les cas, les valeurs deϕ(a)etϕ(b).

Dans toute la suite,ϕdésignera la fonction continue prolongée dans[a, b]. Il est clair queϕest dérivable et à dérivée continue dans l'ouvert. En revanche, la question de la dérivabilité enaet bn'est pas abordée.

2. Soituetv deux réels tels quea < u < v < b.

Montrer que l'accroissement def ϕentreuet v est égal à Z v

u

f⁰²(t)dt− Z v

u

f²(t)dt− Z v

u

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt

La relation

0 = Z b

a

f⁰²(t)dt− Z b

a

f²(t)dt− Z b

a

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt est-elle valide ?

3. Montrer que

Z b a

f²(t)dt≤ Z b

a

f⁰²(t)dt 4. On suppose que l'inégalité du 3. est une égalité.

a. Montrer quef⁰(t) =ϕ(t)pour tous lest∈[a, b].

b. Montrer qu'il existe un réelλtel quef(t) =λsin(t−a)pour tous lestdans[a, b].

Partie II.

1. Soitf une fonction de classeC¹(R) telle que la distance entre deux zéros consécutifs def soit inférieure ou égale àπ. Montrer que

Z b a

f²(t)dt≤ Z b

a

f⁰²(t)dt

lorsqueaetb sont deux zéros def vérianta < b.

2. Soitf une fonction de classeC¹(R). Pour toutλ >0, on dénitfλpar :

∀t∈R:f_λ(t) =f(t λ) a. ExprimerRλb

λaf_λ²(t)dtet Rλb λafλ02

(t)dten fonction deRb

a f²(t)dt etRb

a f⁰²(t)dt. b. Montrer que la proposition suivante est fausse.

Pour toute fonctionf de classeC¹(R)prenant la valeur0 enaetb, on a : Z b

a

f²(t)dt≤ Z b

a

f⁰²(t)dt

Partie III.

Soit n un entier naturel non nul xé. On dénit dans R les fonctions c₀, c₁,· · ·, c_n et s₁,· · · , s_n par :

c₀(t) = 1, c₁(t) = cos(t), · · · c_n(t) = cos(nt) s1(t) = sin(t), · · · sn(t) = sin(nt)

1. Pour i ∈ {0,· · · , n} et j ∈ {1,· · · , n}, calculer R2π

0 c_i(t)c_j(t)dt, R2π

0 c_i(t)s_j(t)dt, R2π

0 s_i(t)s_j(t)dten séparant bien les divers cas.

2. SoitT = Vect(c₀,· · · , c_n, s₁,· · ·, s_n)etf ∈ T. Que vaut f? Démontrer Z 2π

0

(f(t)−f)²dt≤ Z 2π

0

f⁰²(t)dt

x y

M(0) M(L)

L

A

Fig. 2: InégalitéA ≤ L² 2π

Partie IV. Inégalité isopérimétrique

Dans cette partie¹, on pourra utiliser (pour tous réels uet w) uw≤ 1

2(u²+w²)

On pourra aussi utiliser des changements de paramètres très simples.

1. Démontrer l'inégalité indiquée au dessus.

2. IciM est une courbe paramétrée normale de classeC¹([0, L])à valeurs dans un plan.

La courbe est donc de longueur L. Un repère est xé, les fonctions coordonnées sont notées xet y. On pose U = x◦M et V = y◦M . Ce sont des fonctions de classe

1d'aprèshttp ://www.math.utah.edu/ treiberg/isoperim/isop.pdf

C¹([0, L])à valeurs réelles. On suppose (voir Fig.2) U(0) =U(L) = 0

On noteAl'aire dénie par le support de la courbe et l'axe desy. Montrer que A ≤ L²

2π Étudier le cas d'égalité.

3. Ici M est une courbe paramétrée normale, dénie dansR, périodique de plus petite périodeL(voir Fig.1). La longueur du support est doncL. Les fonctionsU etV sont dénies comme au dessus. On désigne parAl'aire de la portion de plan délimité par la courbe. On suppose que l'application

t→U(L 2πt)

est dans l'espaceT dénie en partie III. Montrer l'inégalité isopérimétrique A ≤ L²

4π

Corrigé Partie I.

1. La fonctioncotanest dénie dans]0, π[. L'hypothèse suraetb entraîne t∈]a, b[⇒t−a∈]0, b−a[⊂]0, π[

La fonctioncotann'est pas dénie en0donc la fonctionϕn'est pas dénie ena. En revanche, lorsqueb−a < π, la fonctioncotanest dénie et continue enb−adonc la fonction ϕest dénie et continue en bcomme produit de deux fonctions continues.

On remarque que dans ce casϕ(b) = 0carf(b) = 0.

Pour prolonger par continuité, il sut de montrer que les fonctions admettent des limites nies. On utilise des développements en exploitantf(a) =f(b) = 0 ainsi que cotan(y−π) = cotan(y)

Ena : cotan(x−a) = 1

x−a+o(1) f(x) =f⁰(a)x+o(x−a)







⇒ϕ(x) =f⁰(a) +o(1)

Enb=a+π : cotan(x−a) = cotan(x−b) = 1

x−b+o(1) f(x) =f⁰(b)x+o(x−b)







⇒ϕ(x) =f⁰(b) +o(1)

On prolongera doncϕpar continuité en posant

ϕ(a) =f⁰(a)et ϕ(b) =f⁰(b)sif(b) = 0 2. On rappelle que

cotan⁰=−(1 + cotan²) Calculons la dérivée

(f ϕ)⁰(t) = 2f⁰(t)f(t) cotan(t−a)−f²(t)(1 + cotan²(t−a))

=−(f(t) cotan(t−a)−f⁰(t))²−f²(t) +f⁰²(t) Commeϕ=fcotan, on en déduit la relation demandée en intégrant entreuet v

[ϕf]^v_u= Z v

u

f⁰²(t)dt− Z v

u

f²(t)dt− Z v

u

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt (1)

La première question à se poser quant à la validité de la relation proposée est celle de l'intégrabilité des fonctions.

Les fonctionsf⁰,f et ϕsont continues dans[a, b]. Les fonctions (carrées) intervenant dans la relation sont aussi continues donc intégrables. Les intégrales s'expriment donc à l'aide de primitives (évidemment continues). On peut alors faire tendreuvers0 et v vers b dans la relation(1). La fonctionf ϕconverge vers 0 dans les deux cas car f s'annule etϕest continue.

La relation 0 =

Z b a

f⁰²(t)dt− Z b

a

f²(t)dt− Z b

a

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt (2)

est donc parfaitement valide.

3. Avec la relation précédente : Z v

u

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt≥0⇒ Z v

u

f²(t)dt≤ Z b

a

f⁰²(t)dt

4. a. D'après la relation(2), le cas d'égalité entraîne Z v

u

(ϕ(t)−f⁰(t))²dt= 0⇒ ∀t∈[a, b] :ϕ(t)−f⁰(t) = 0

car la fonction(ϕ−f⁰)²est continue et positive.

b. On suppose toujours que f vérie l'égalité. La relation du a. signie que f est solution de l'équation diérentielle

y⁰(t)−cotan(t−a)y(t) = 0

l'inconnue y étant une fonction dénie dans ]a, b[. Or dans cet intervalle, une primitive de cotan(t−a) est ln(sin(t−a)). On en déduit que les solutions de l'équation diérentielle (donc en particulierf) sont de la forme

λeln(sin(t−a)) =λsin(t−a) Cette relation s'étend aux bornesaet bpar continuité.

Partie II.

1. Lorsque a et b sont deux zéros def et qu'il existe une subdivision de [a, b] dont les éléments sont des zéros distants de moins de π, on peut découper l'intégrale par la relation de Chasles et utiliser l'négalité de la partie I.

2. a. Par le changement de variableu=λt, on obtient Z b

a

f²(t)dt= 1 λ

Z λb λa

fλ2

(u)du= 1 λ

Z λb λa

fλ2

(t)dt

de même, toujours avecu=λtetfλ0(x) = 1 λf⁰(x

λ)

Z b a

f⁰²(t)dt= 1 λ

Z λb λa

f⁰²(u

λ)du=λ Z λb

λa

f_λ²(u)du=λ Z λb

λa

f_λ²(t)dt

b. Considérons une fonctionf nulle enaetbmais non identiquement nulle de sorte queRb

af²(t)dtetRb

af⁰²(t)dtsoient non nulles. Considérons pourλ >0la fonction f_λ comme indiqué. Alors, d'après le a.,

Rb af²(t)dt Rb

af⁰²(t)dt

= 1 λ²

Rλb λaf_λ²(t)dt Rλb

λafλ02(t)dt

≤ 1 λ²

en appliquant l'inégalité à la fonctionfλ(elle s'annule enλaetλb).

Ceci est impossible, car en prenant desλarbitrairement grands on prouve que le quotient de gauche est nul.

L'inégalité n'est donc pas valable sans une certaine contrainte sur les zéros.

Partie III.

1. Il s'agit d'un calcul classique de calcul d'intégrales trigonométriques après transforma- tion de produit en somme. On obtient

∀i∈ {1,· · ·, n}:

Z 2π 0

c₀(t)c_i(t)dt= Z 2π

0

c₀(t)s_i(t)dt= 0

Z 2π 0

c²₀(t)dt= Z 2π

0

c₀(t)dt= 2π

∀(i, j)∈ {1,· · ·, n}², i6=j:

Z 2π 0

ci(t)cj(t)dt= Z 2π

0

si(t)sj(t)dt= 0

∀(i, j)∈ {1,· · ·, n}²:

Z 2π 0

ci(t)sj(t)dt= 0

∀i∈ {1,· · ·, n}:

Z 2π 0

c²_i(t)dt= Z 2π

0

s²_i(t)dt=π

2. Une fonctionf est dansT si et seulement si

∃(λ₀,· · · , λ_n, µ₁,· · · , µ_n)∈R²ⁿ⁺¹tels que f =λ₀c₀+· · ·+λ_nc_n+µ₁s₁+· · ·+µ_ns_n D'après les calculs d'intégrales de la question a. :

f =λ0

On a donc :

f −f =λ₁c₁+· · ·+λ_nc_n+µ₁s₁+· · ·+µ_ns_n f⁰ =µ1c1+· · ·+nµncn−λ1s1− · · · −nλnsn

Dans les calculs des intégrales des carrées, on développe par linéarité. Tous les termes

"croisés" disparaissent d'après 1.. Il reste Z 2π

0

(f−f)²=π λ²₁+· · ·+λ²_n+µ²₁+· · ·+µ²_n Z 2π

0

f⁰²=π λ²₁+· · ·+n²λ²_n+µ²₁+· · ·+n²µ²_n On en déduit :

Z 2π 0

f⁰²− Z 2π

0

(f −f)²=π

(2²−1)(λ²₂+µ²₂) +· · ·+ (n²−1)(λ²_n+µ²_n)

≥0

Partie IV.

1. Il sut d'écrire un carré bien choisi :

(u−w)²≥0⇒uw≤1

2(u²+w²)

2. Considérons la paramétrisation obtenue à partir deM (voir g2)

f :







[0, π]→E

t→M(L πt)

Elle n'est plus normale, mais la norme de la vitesse reste constante égale à ^L_π. Notons Γ son support (orienté dans le sens direct) et notons u = x◦f, v = y◦f les coordonnées. Par dénition,u(0) =u(π) = 0. Utilisons l'intégrale curviligne de la forme diérentiellexdypour calculer l'aire.

A= Z

Γ

xdy+ Z

Γ₁

xdy

oùΓ1 est le segment M(L)M(0) situé sur l'axe desy. En particulier x(m) = 0 pour tout pointm∈Γ1 ce qui entraîneR

Γ₁xdy. On a alors A=

Z

Γ

xdy= Z π

0

u(t)v⁰(t)dt≤ 1 2

Z π 0

u²(t)dt+1 2

Z π 0

v⁰²(t)dt

≤ 1 2

Z π 0

u⁰²(t)dt+1 2

Z π 0

v⁰²(t)dtd'après I.3.

≤ 1 2

Z π 0

u⁰²(t) +v⁰²(t)

dt= L²

2π d'après la norme de la vitesse Lorsque l'égalité se produit, on doit avoir

Z π 0

u²(t)dt= Z π

0

u⁰²(t)dt

Ce qui entraine d'après I.4. queuest de la formeλsint. On utilise alors la norme de la vitesse :

λ²cos²t+v⁰²(t) =L²

π² ⇒v⁰²(t) =λ²sin²t Par continuité et à cause de l'orientation, on doit avoir :

v(t) =−L

πcost, u(t) = L πsint La courbe doit donc être un demi-cercle.

3. Le raisonnement est semblable à celui du dessus. En appliquant àul'inégalité III.2 au lieu de I.3. car on travaille sur un intervalle de longueur 2π. Pour pouvoir appliquer cette inégalité, il faut que usoit de moyenne nulle. On peut réaliser cette condition en changeant de repère. La nouvelle origine est placée au point dont les coordonnées sont les valeurs moyennes des abscisses et des ordonnées des points de la courbe dans le repère initial.

On introduit la paramétrisation

f :







[0,2π]→E

t→M(L 2πt)

qui n'est plus normale mais dont la vitesse est constante en norme. On noteuet vles coordonnées deM (ce sont des fonctions). On peut écrire

A= Z

Γ

xdy= Z 2π

0

u(t)v⁰(t)dt≤ 1 2

Z 2π 0

u²(t)dt+1 2

Z 2π 0

v⁰²(t)dt

≤ 1 2

Z 2π 0

u⁰²(t)dt+1 2

Z 2π 0

v⁰²(t)dtd'après III.2.

≤ 1 2

Z 2π 0

u⁰²(t) +v⁰²(t)

dt= L²

4π d'après la norme de la vitesse