Intégrales et primitives

Université d’Orléans Année 2009-2010

Intégrales et primitives

2MA01-Licence de Mathématiques

Exercice 1 Soitf :R−→Rcontinue. Montrer que : 1. Si f est paire, alors∀a∈R,Ra

−af(x)dx= 2Ra

0 f(x)dx.

2. Si f est impaire, alors∀a∈R, Ra

−af(x)dx= 0.

3. Sif est périodique de périodeT, alors∀a∈R,Ra+T

a f(x)dx=RT 0 f(x)dx 4. Montrer queRπ

0 xf(sin(x))dx=^π₂Rπ

0 f(sin(x))dx (poser x=π−t) 5. Calculer alorsI=

Z π

0

xsin(x) 4−sin²(x)dx.

Exercice 2 SoitI_n =R^π₂

0 sinⁿ(x)dx, n∈N 1. CalculerI₀, I₁ etI₂.

2. Etablir une relation de récurrence entreIn+2 etIn. 3. Trouver suivant la parité denla valeur deIn. 4. En déduire la valeur deJn=R^π₂

0 cosⁿ(x)dx

Exercice 3 Calculer par intégration par parties les intégrales ou primitives suivantes :

Z

xsin(2x)dx, Z

x²lnxdx, Z 1

0

xe^−xdx,

Z π/2

0

x²cos(3x)dx.

Exercice 4 Calculer

Z 1

0

Arctan (x)dx, puis Z 1

0

xArctan²(x)dx.

Exercice 5 Soit la fonctionF définie par :

F(x) = Z 2x

x

1 + cos(t)

√t⁴+t²+ 4dt

1. Préciser l’ensemble de définition deF et étudier la parité deF. 2. Etudier la dérivabilité deF et déterminer la fonction dérivéeF⁰. 3. Trouverlim_x→0sin(x)^F(x).

4. En utilisant la formule de la moyenne, déterminerlim_x→∞F(x)

Exercice 6 Calculer par intégration par parties les intégrales ou primitives suivantes :

Z x

sin²(x)dx,

Z ln(1 + 2x) x² dx,

Z

sin(lnx)dx,

Z π/2

0

cos(x) ln(1 + cosx)dx

Exercice 7 Calculer les intégrales ou primitives suivantes en effectuant le changement de variable indiqué :

Z 1

x√

x²−2dx (x= 1/t), Z

x(5x²−3)⁷dx (t= 5x²−3),

Z 1

0

1

e^x+ 1dx (x=−lnt), Z 3

2

1 x√

x+ 1dx, (t=√ x+ 1),

Z 1

0

1

(1 +x²)²dx, (x= tanu)

Exercice 8 Calculer les intégrales ou primitives suivantes en effectuant un changement de variable

Z 1

0

1 +x 1 +√

xdx,

Z x

√2x−x²dx,

Z 1

ch (x) sh (x)dx Z 1

0

x²p

1 +x³dx, Z 1

0

Arctanx 1 +x² dx,

Z a

0

ap

a²−x²dx.

Exercice 9

1. Montrer, en utilisant un changement de variable, que : Z 2

1

1 x

rx−1 x+ 1dx=

Z

√3

1

4u

(1−u²)(1 +u²)du.

2. CalculerR _u²

(1−u²)(1+u²)duet en déduire la valeur de l’intégrale précédente.

Exercice 10

Calculer les intégrales ou primitives suivantes :

Z x²−5x+ 9 x²−5x+ 6dx,

Z 5x+ 2 x³−5x²+ 4xdx

Z 1

x(x+ 1)²dx,

Z x

(x+ 1)³dx,

Z x

(x²+ 1)(x−1)dx,

Z x²+ 2

(x+ 1)³(x−2)dx.

Exercice 11 Soitn∈N. Calculer Z

xⁿe^−xdx.