Test n°3 : Intégrales et primitives

Nom :

Classe : T ES Test n°3

Intégrales et Primitives

le 29/03/2017

Note :

… / …

Avis de l’élève Avis du professeur

Méthodes évaluées Oui Non Oui Non

Connaissance du cours Application des méthodes

Cours : Compléter :

1. Soit une fonction ……… et ……… sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation graphique dans le repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de entre a et b ………

………

………

On la note : ………

2. Si, pour tout réel de [a ; b] on a : = alors : = ………

3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : ………

4. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par est dérivable sur [a ; b] et : ∀ ∈ [a ; b], ………

Dans ce cas, on dit que … est une primitive de …

De plus, toutes les fonctions définies par = ………… (avec … ∈ R) sont des primitives de … 5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :

Primitive

= = …………

= (avec ≠ -1) = …………

= = …………

= = …………

= = …………

= = …………

b) Soit une fonction dérivable sur I. Une primitive de ……… est . Exercice 1 : est la fonction définie sur R par =

1) Démontre que la fonction définie sur R par = – + est une primitive de . 2) Détermine la primitive de qui s'annule pour = 0.

Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.

a) = b) = 1 – c) = + d) = 5+ Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :

En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de = – Rb

a f(x) dx

F(x) =Rx

a f(t) dt x

x f(x) k

f

f

f

G G(x)

f(x) F(x)

f(x) k F(x)

f(x)

x

f(x) _x¹₂ F(x)

f(x) _x¹ F(x)

f(x)

e

f(x) p¹

x F(x)

u e^u

f f(x)

G f x

F F(x) 2x ¹₂ f

2¡x+ 4x²¡6

x^{2 4}₃

x

+ 2e

e

2x^{3 4}

x

1 2x² p2

a(x) b(x) c(x) x d(x) (8¡12x)

e

f(x) _(x+1)¹ ₂ 2x+ 1 n

Correction du Test n°3

Cours : Compléter :

1. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] et c sa représentation graphique dans le repère orthogonal (O ; I , J). On appelle intégrale de entre a et b l'aire du domaine situé entre la courbe c, l'axe des abscisses et les droites d'équations = a et = b. On la note : .

2. Si, pour tout réel de [a ; b] on a : = alors : =

3. Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c on a : + =

4. Soit une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par est dérivable sur [a ; b] et : ∀ ∈ [a ; b], = .

Dans ce cas, on dit que est une primitive de .

De plus, toutes les fonctions définies par = (avec ∈ R) sont des primitives de . 5. a) Compléter le tableau des primitives ci-dessous :

Primitive

= =

= (avec ≠ -1) =

= =

= =

= =

= =

b) Soit une fonction dérivable sur I. Une primitive de est . Exercice 1 : est la fonction définie sur R par =

1) Démontre que la fonction définie sur R par = – + est une primitive de .

∀ ∈ R, = – + = = Donc est une primitive de .

2) Détermine la primitive de qui s'annule pour = 0.

étant une autre primitive de , il existe un réel tel que : = = – + s'annule en 0 donc : = 0

– + = 0

= 0 = - 2

Finalement, la seule primitive de qui s'annule pour = 0 est définie par : = – +

Exercice 2 : Détermine une primitive de chacune des fonctions suivantes.

a) = Donc : = × =

b) = 1 – = 1 – × Donc : =

c) = + = × + × Donc : = × + × = –

d) = 5+ = 5 – = 5 – avec : =

Donc : = – = – f

f

x f(x) k Rb

a f(x) dx

f F(x) =Rx

a f(t) dt x

G G(x)

f(x) F(x)

f(x) k F(x)

f(x)

x

f(x) _x¹2 F(x)

f(x) _x¹ F(x)

f(x)

e

f(x) p¹

x F(x)

u e^u

f f(x) 2¡x+ 4x²¡6

e

F F(x) 2x ¹₂x^{2 4}₃

x

+ 2e

G f x

a(x) 2x³ b(x) _x⁴ c(x) p²

x 1 2x²

d(x) (8¡12x)

e

x x Rb

af(x) dx k(b¡a)

Rb

a f(x) dx Rc

b f(x) dx Rc

a f(x) dx F⁰(x) f(x)

F f

F(x) +k k f

kx xⁿ⁺¹

n+1 -1

x ln(x) n

e

x u⁰e^u

x F⁰(x) 2 ¹₂£2x ⁴₃£3x²+ 2£(-3)e^-3x 2¡x+ 4x²¡6

e

F f

k

G f G(x) F(x) +k

G G(0)

k

f x

G(x)

A(x) 2 ^x4 4

x⁴ 2

4 _x¹ B(x) x¡4ln(x) 2 p¹

x 1 2

1

x² C(x) 2 2p

x ¹₂ ^-1_x 4p x _2x¹

2(6x¡4)

e

e

e

e

2x ¹₂x^{2 4}₃

x

+ 2e

+ k

1 2

4

2£0 0² 3

0

+ 2e

+ k 2 + k

2x ¹₂x^{2 4}₃

x

+ 2e

¡ 2

Exercice 3 : A l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu :

En déduire une primitive sur ]0 ; +∞[ de = –

= – = – = × –

A l'aide du logiciel, on sait que la dérivée de est . On en déduit que est une primitive de .

Ainsi : = × –

f(x) ¹

(x+1)² 2x+ 1

f(x) _(x+1)¹ 2 2x+ 1 _x2+2x+1¹ 2x+ 1 ¹_{2 x}2+2x+1² 2x+ 1 2

x²+2x+1 x¡1

x+1 2 x²+2x+1 x¡1

x+1

F(x) ¹₂ ^x_x+1^¡1 x²+x