I ) INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

INTEGRATION

I ) INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

1) Définitions :

Le plan est muni d’un repère orthogonal O; i,j tel que OI=i et OJ=j et OIKJ rectangle.

Définition 1 :

On appelle unité d’aire, l’aire du rectangle OIKJ.

Définition 2 :

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] et C la courbe représentative de f dans le repère O; i,j . On appelle intégrale de f sur [a;b] le réel noté

∫

a b

fxd x représentant l’aire , en unité d’aire, du domaine D délimité par C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x= b.

2) Propriétés immédiates

Pour toute fonction continue et positive sur [a;c] et b ∈ [a;c]

l

∫

a b

fxd x est un réel positif ou nul.

l x s'appelle une variable muette car :

∫

a b

fxd x =

∫

a b

fud u =

∫

a b

ftd t …...

l

∫

a a

fxd x = 0

l

∫

a b

fxd x +

∫

b c

fxd x =

∫

a c

fxd x ( relation de Chasles)

Exemples :

II) PRIMITIVES 1) Définitions :

Définition :

Soient f et F deux fonctions définies sur I.

F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et pour tout x de I F ‘(x) = f (x) Exemples :

Si f admet une primitive F sur I alors :

- elle en admet une infinité et l'ensemble des primitives de f sont les fonctions G définies sur I par G(x) = F(x) + c où c est un réel quelconque.

- pour tout couple ( x₀ ; y₀) avec x₀ ∈I et y₀ ∈ℝ , il existe une unique primitive G de f sur I telle que G( x₀ ) = y₀

Exemples :

Démonstrations :

1) Si G = F + c alors G' = F' = f donc G est aussi une primitive de f

réciproquement : si F et G sont deux primitives de f alors F' = G' donc (F-G)' = 0 donc F-G est constante 2) G( x₀ ) = y₀ donc Fx₀c=y₀ donc c=y₀– Fx₀ donc c est unique.

2) Calculs de primitives

Propriété 1 :

Si f continue sur I alors f admet une infinité de primitives sur I.

PRIMITIVES USUELLES c désigne un réel quelconque

f(x) I F(x)

k (une constante) ℝ k x + c

x ℝ 1

2x²c

x² ℝ 1

3x³c

xⁿ où n ∈ℕ* ℝ 1

n1x^n1 1

x ] 0 ; + ∞[ lnxc

– 1

x² ] 0 ; + ∞[ ou ] -∞ ; 0 [ 1

xc 1





e ^x ℝ e^x

Propriété 2 :

Soient f et g deux fonctions admettant F et G comme primitives sur I alors : l F + G est une primitive de f + g

l k.F est une primite de k.f si k un réel

Propriété 3 :

Si u est une fonction dérivable sur I alors

fonction conditions primitives

u' . u 1

2u² + c u '

u² u(x) ≠0 sur I –1

uc

u ' e^u e^uc

Exemples :

Th (admis)

Si f est une fonction continue et positive sur [a;b] alors la fonction A définie sur [a;b] par A(x) =

∫

a x

fxd x est dérivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b], A'x=fx A est donc une primitive de f sur [a;b]

Remarque A(a) = 0 Exemple :

III) CALCUL D'UNE INTEGRALE Propriété :

Si f est continue sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x = F(b) - F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [a;b].

Démo : Soit F une primitive quelconque de f alors F(x) = A(x) + k donc F(b) - F(a) = A(b) + k - A(a) - k = A(b) – A(a) = A(b) – 0 =

∫

a b

fxd x ATTENTION :

∫

a b

fxd x ne représente une aire que si f  0 sur [a;b]

Exemples :

Dans tout ce paragraphe f et g sont des fonctions continues sur [a;b]

Linéarité :

l

∫

a b

fxgxd x =

∫

a b

fxd x +

∫

a b

gxd x l pour tout réel k ,

∫

a b

kfxd x = k

∫

a b

fxd x

Démo : si F et G sont des primitives de f et g alors F+G est une primitive de f + g donc

∫

a b

fxgxd x = (F+G)(b)-(F+G)(a) = F(b) + G(b) – F(a) – G(a) = F(b)-F(a)+G(b)-G(a) =

∫

a b

fxd x +

∫

a b

gxd x

kF est une primitive de kf donc

∫

a b

kfxd x = kF(b)-kF(a) = k(F(b)-F(a)) = k

∫

a b

fxd x Realation de Chasles :

Pour tous les réels c,d et e de [a;b] :

∫

c d

fxd x +

∫

d e

fxd x =

∫

c e

fxd x

Démo : si F est une primitive de f alors

∫

c d

fxd x +

∫

d e

fxd x = F(d)-F(c) + F(e)-F(d) = F(e) – F(c) =

∫

c e

fxd x Positivité :

Si a  b et f continue et positive sur [a;b] alors

∫

a b

fxd x  0

Démo : f 0 donc F est croissante donc a  b implique que F(a)  F(b) donc F(b) – F(a) 0 . Remarque : Si f continue et positive et a b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a  b alors

∫

a b

fxd x  0 Si f continue et négative et a b alors

∫

a b

fxd x  0 Propriété :(conservation de l’ordre)

Si a  b , f et g continues sur [a;b] et f  g sur [a;b], alors

∫

a b

fxd x 

∫

a b

gxd x

b b b

Propriété :

Si a  b , f et g continues et positives sur [a;b] telles f  g sur [a;b], alors l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par les deux courbes représentatives de f et g et les droites d’équations x = a et x = b

est

∫

a b

gx−fxd x

Définition 4 :

Soit une fonction continue et positive sur [a;b] , on appelle valeur moyenne de f sur [a;b]

le réel  = 1 b – a

∫

a b

fxd x

 représente la hauteur rectangle de largeur b – a qui a la même aire que l'aire du domaine sous la courbe représentative de f entre a et b

Exemples :