Intégrale d une fonction continue par morceaux

(1)

L’année dernière, vous avez travaillé sur la notion d’intégrale. Nous allons ici redéfinir en toute rigueur ce que désigne l’intégrale d’une fonction continue par morceaux à l’aide d’une classe de fonctions particulières : les fonctions en escalier.

On pourra alors redémontrer les principales propriétés de l’intégrale et mener nos premiers calculs grâce au théorème fondamental de l’analyse.

1 Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux 2 1.1 Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux . . . 2 1.2 Des fonctions en escalier à l’intégrale d’une fonction continue par morceaux . 3 1.3 Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 4

2 Cas particulier des fonctions continues 5

2.1 Théorème fondamental de l’analyse . . . 5 2.2 Intégration par parties et changement de variable . . . 7

3 Prolongements de la notation int´egrale 8

3.1 Intégrale d’une fonction à valeurs complexes . . . 8 3.2 Intégrale d’une fonction définie sur un intervalle quelconque . . . 9

Pour aller plus loin

Ce chapitre est fondamental, car il donnera naissance à de nombreux problèmes mathématiques que ce soit dans l’étude de suites d’intégrales ou tout simplement l’étude d’intégrales à paramètre... d’autant plus, que cette notion d’intégrale pourra aussi être généralisée à tout intervalle deR.

(2)

1 D´ efinition de l’int´ egrale d’une fonction continue par morceaux 1.1 Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux

DéfinitionsSoitf une fonction définie sur un segment [a, b] à valeurs réelles.

• On dit quefest unefonction en escaliers’il existe unesubdivisions= (xi) du segment [a, b] v´erifiant : x0=a < x1< . . . < xn−1< xn=b

et telle quef soit constante sur chacun des intervalles ]xi, xi+1[ :

O

• On dit quefest unefonction continue par morceauxs’il existe unesubdivisions= (xi) du segment [a, b] v´erifiant : x0=a < x1< . . . < xn−1< xn=b

et telle quef soit continue sur chacun des intervalles ]xi, xi+1[ et prolongeable par continuit´e sur [xi, xi+1] :

O

Remarques

1. De telles subdivisions du segment [a, b] sont dˆıtesadapt´ees `af. D’ailleurs, on pourra toujours construire une subdivisionplus fineen ajoutant un nombre fini de points. Ainsi,

• sisettdésignent des subdivisions adaptées àfetg, alors la subdivisions∪test simultanément adaptée àf etg.

• l’aire des rectangles définis par une fonction en escalier ne dépend pas du nombre de points de la subdivision adaptée, et donc est indépendant de la subdivision elle-même.

2. Dans le cas particulier où on définit une subdivision (xi) vérifiant : ∀ i∈ J0, nK, xi =a+i(^b−a_n ), on dit qu’il s’agit d’une subdivision à pas constanth= ^b−a_n .

Notons E_[a,b] l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b], C_pm,[a,b] l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b], et consid´eronsλ∈R.

(i) Si de plusf, g∈ E_[a,b], alorsf+g∈ E_[a,b]etλf∈ E_[a,b].

(ii) Si de plusf, g∈ C_pm,[a,b], alorsf+g∈ C_pm,[a,b]etλf∈ C_pm,[a,b]. Propriété 1(opérations immédiates sur ces fonctions).

IEn considérant une subdivision adaptée simultanément àf etg, on vérifie que les fonctionsf+getλf sont encore de la même nature.

Soitf ∈ C_pm,[a,b]. Pour tout >0, il existe une subdivision (xi) du segment [a, b] et des fonctions en escalier (φ, ψ)∈(E_[a,b])² telles que :

φ≤f≤ψ, avecψ−φ≤

Autrement dit, on peut toujours approcher une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier de sorte que : Th´eor`eme 2(approximation d’une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier).

(3)

O

IEn considérant la subdivision(xi), on peut alors par le théorème de Heine obtenir un pas assez fin de sorte que la différence entre deux fonctions en escalierφetψ, judicieusement choisies, n’excède pasfixé.

Remarques

1. En prenant= 1/n, n∈N^∗, on peut construire une suite (φn) de fonctions en escalier qui tend uniform´ement versf.

On parle encore de ladensité des fonctions en escalier dans l’espace des fonctions continues par morceaux, au sens où toute fonction continue par morceaux sur un segment peut ainsi être vue comme la limite d’une suite de fonctions en escalier.

2. C’est cette dernière propriété fondamentale qui nous permettra de définir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux à l’aide des intégrales des fonctions en escalier situées de part et d’autre de la fonction.

1.2 Des fonctions en escalier ` a l’int´ egrale d’une fonction continue par morceaux

DéfinitionSoitφune fonction en escalier sur [a, b] et (xi) une subdivision adaptée. On appelleintégrale de la fonction en escalierφ la somme des aires algébriques des rectangles définis parφ, c’est à dire :

I_[a,b](φ) =

n−1

X

i=0

(xi+1−xi)φi, avecφila valeur deφsur ]xi, xi+1[ S’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on pourra noter simplementI(φ).

Soientφ, ψdeux fonctions en escalier sur [a, b]. Alors, on peut vérifier que : (i) l’intégrale est linéaire : ∀λ∈R,I(λφ+ψ) =λI(φ) +I(ψ)

(ii) l’int´egrale est croissante : φ≤ψ⇒I(φ)≤I(ψ)

(iii) l’intégrale en valeur absolue peut être majorée :|I(φ)| ≤I(|φ|)

(iv) l’intégrale vérifie la relation de Chasles : ∀c ∈]a, b[,I_[a,c](φ) +I_[c,b](φ) =I_[a,b](φ) Corollaire 3(propriétés immédiates).

IEn prenant à chaque fois une subdivision adaptée aux fonctions en escalier considérées, on revient à la définition de l’intégrale comme la somme des aires algébriques des rectangles définies par ces fonctions en escalier.

Soitf une fonction continue par morceaux sur [a, b] à valeurs réelles. On définit les ensembles : I−(f) ={I(φ), φ∈ E_[a,b], φ≤f}etI+(f) ={I(ψ), ψ∈ E_[a,b], ψ≥f}

O

Alors,I−(f) etI+(f) possèdent respectivement une borne supérieure et une borne inférieure vérifiant : supI−(f) = infI+(f)

Théorème 4(existence de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux).

IL’existence des bornes supérieure et borne inférieure est donnée par les axiomes deR. Reste à montrer l’égalité entre ces bornes : une inégalité est évidente, puis on raisonnera par l’absurde jusqu’à obtenir≤/2...

(4)

DéfinitionSoitf une fonction continue par morceaux sur [a, b] à valeurs réelles. On appelleintégrale def sur le segment[a, b] le nombre réel défini par :

Z b a

f= supI−(f) = infI+(f)

o`uI−(f) etI+(f) d´esignent les ensemblesI−(f) ={I(φ), φ∈ E_[a,b], φ≤f}etI+(f) ={I(ψ), ψ∈ E_[a,b], ψ≥f}.

Remarques

1. Cette intégrale pourra aussi être notéeR

[a,b]f, mais la plupart du temps, on pr´ef`erera une notation plus symbolique : Z b

a

f(t)dt, o`utd´esigne une variable muette

2. De la mˆeme fa¸con que pour les fonctions en escalier, on peut remarquer que l’int´egraleRb

af(t)dtreprésente l’aire algébrique du domainedéfinie par la courbe associée :

O

Et en particulier, sif d´esigne une fonction constante de valeurλ, alors :

Z b a

f(t)dt=I(f) =λ(b−a)

3. Par convention, on pose : Z a

b

f(t)dt=− Z b

a

f(t)dtde sorte qu’on a imm´ediatement Z a

a

f(t)dt= 0.

Soitf une fonction continue par morceaux sur [a, b] `a valeurs r´eelles. Alors : (i) ∀(φ, ψ)∈(E_[a,b])², φ≤f≤ψ⇒I(φ)≤Rb

af(t)dt≤I(ψ)

(ii) il existe (φn) et (ψn) des suites de fonctions en escalier sur [a, b] telles que∀n∈N, φn≤f≤ψnavec : I(φn) −→

n→+∞

Z b a

f(t)dtetI(ψn) −→

n→+∞

Z b a

f(t)dt Corollaire 5(cons´equences de la d´efinition).

ILe premier point est immédiat par définition de l’intégrale. Pour le second, il suffit d’appliquer la caractérisation séquentielle de la borne supérieure et de la borne inférieure.

RemarqueCette dernière propriété nous permettra en outre de voir l’intégrale d’une fonction continue par morceaux comme la limite d’une suite d’intégrales de fonctions en escalier.

1.3 Propri´ et´ es de l’int´ egrale d’une fonction continue par morceaux

Soientf, gdeux fonctions continues par morceaux sur [a, b] `a valeurs r´eelles etλ∈R. Alors : Zb

a

(λf+g)(t)dt=λ Z b

a

f(t)dt+ Zb

a

g(t)dt Propriété 6(linéarité de l’intégrale).

IOn fera intervenir la caractérisation séquentielle de la borne supérieure et inférieure obtenue dans le corollaire.

Soientf, gdeux fonctions continues par morceaux sur [a, b] `a valeurs r´eelles telles quef≤g. Alors : Z b

a

f(t)dt≤ Z b

a

g(t)dt Propriété 7(croissance de l’intégrale).

RemarqueOn en d´eduit imm´ediatement : f≥0⇒Rb

af(t)dt≥0 ou encoref≤0⇒Rb

af(t)dt≤0.

(5)

Soitf une fonction continue par morceaux sur [a, b] `a valeurs r´eelles. Alors poura≤b, on a :

| Z b

a

f(t)dt| ≤ Zb

a

|f(t)|dt Propri´et´e 8(majoration de la valeur absolue).

IOn utilise la propriété précédente à partir de l’encadrement : −|f| ≤f≤ |f|.

Soitf une fonction continue par morceaux sur [a, b] `a valeurs r´eelles. Alors pour toutc∈Df tel quea < c < b: Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt Propri´et´e 9(relation de Chasles).

RemarqueAvec la convention Za

b

f(t) dt= − Z b

a

f(t) dt, on peut naturellement prolonger cette relation de Chasles `a tout r´eel c∈Df et on pourra retenir :

∀c∈Df, Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt

Exemple 1 On d´efinit pour toutn∈N^∗,Sn=

n

X

k=1

√1 k. 1. Justifier que pour toutk∈N^∗, 1

√k+ 1≤ Z k+1

k

√1

tdt≤ 1

√ k. 2. En d´eduire que pour toutn∈N^∗,

Z n+1 1

√1

tdt≤Sn, puis montrer que la s´erie (Sn) est divergente.

2 Cas particulier des fonctions continues

Si les fonctions constantes peuvent être vues comme des fonctions en escalier particulières, les fonctions continues peuvent aussi être vues comme des fonctions continues par morceaux particulières, comme des fonctions continues en un seul morceau. Ainsi, on pourra retenir que toutes les propriétés énoncées (linéarité, croissance, majoration de la valeur absolue et relation de Chasles) s’appliqueront sans difficulté aux fonctions continues à valeurs réelles.

2.1 Th´ eor` eme fondamental de l’analyse

D´efinitionSoitfune fonction continue sur un intervalleI. On appelleprimitivedef surItoute fonctionFde classeC¹surItelle que : F⁰=f

Soitf une fonction continue sur un intervalleI. Sous réserve d’existence, toutes les primitives def sont égales à une constante près.

Propriété 10(immédiate).

INotonsF, Gdeux primitives quelconques, il suffit de montrer que la diff´erenceF−Gest constante...

Soientfune fonction continue sur un intervalleIeta∈I. Alors,f admet une unique primitiveFaqui s’annule enad´efinie par : Fa(x) =

Z x a

f(t)dt On dit aussi queFadésigne uneintégrale dépendant de sa borne supérieure.

Propriété 11(existence et unicité de la primitive d’une fonction continue satisfaisant une condition initiale).

IOn procède par existence-unicité. Pour l’existence, on se ramène à l’étude du taux d’accroissement en un pointx0∈Iet on vérifie queF_a⁰(x0) =f(x0).

(6)

Remarques

1. Il faudra donc traiter ces intégrales dépendant de leur borne supérieure comme des fonctions à part entière telles que : F_a⁰ =f etFa(a) = 0

2. Cela nous donne en fait un moyen assez simple de d´efinir une primitive : au lieu de nommerFune primitive def, on peut aussi consid´ererF(x) =Rx

af(t)dtla primitive def qui s’annule ena.

Soitf une fonction continue et de signe constant sur [a, b]. Alors : Z b

a

f(t)dt= 0⇔ f est nulle sur [a, b]

Théorème 12(intégrale nulle d’une fonction continue de signe constant).

IOn proc`ede par double-implication. Pour le sens direct, on pourra introduireFa et ´etudier sa monotonie sur[a, b].

Soitf une fonction continue sur [a, b]. Alors, Z b

a

f(t)dt=F(b)−F(a) = [F(t)]^b_a, avecF une primitive quelconque def Th´eor`eme 13(fondamental de l’analyse).

ISiF est une primitive quelconque, elle est de la formeFa+Cet le r´esultat est imm´ediat.

Remarque Le théorème fondamental de l’analyse est très utile... à condition de pouvoir se ramener à des primitives connues.

Généralement, on retrouve les primitives des fonctions usuelles en ”remontant” le tableau des dérivées :

On considèref définie parf(x) =... alorsfest dérivable surI=... et pour toutx∈I,f⁰(x) =...

x^α(x >0, α6=−1) ]0,+∞[ αx^α−1

e^x(x∈R) R e^x

ln|x|(x∈R) R^∗

1 x

sin(x) (x∈R) R cos(x)

cos(x) (x∈R) R −sin(x)

tan(x) (x∈R− {^π₂+kπ}) R− {^π₂ +kπ} 1

cos²(x) = 1 + tan²(x)

cotan(x) (x∈R− {kπ}) R− {kπ} − 1

sin²(x)=−(1 + cotan²(x))

sh(x) (x∈R) R ch(x)

ch(x) (x∈R) R sh(x)

th(x) (x∈R) R 1

ch²(x)= 1−th²(x) argsh(x) = ln(x+√

x²+ 1) (x∈R) R 1

√ x²+ 1 argch(x) = ln(x+√

x²−1) (x≥1) ]1,+∞[ 1

√ x²−1 argth(x) =¹₂ln(^1+x_1−x) (−1< x <1) ]−1,1[ 1

1−x²

arcsin(x) (−1≤x≤1) ]−1,1[ 1

√ 1−x²

arccos(x) (−1≤x≤1) ]−1,1[ − 1

√1−x²

arctan(x) (x∈R) R 1

1 +x²

(7)

Et pour déterminer d’autres primitives, on essaiera alors de reconnaˆıtre la dérivée d’une fonction composée usuelle :

sif est de la forme... alorsf⁰sera de la forme...

u^α(α6=−1) αu⁰u^α−1

e^u u⁰e^u

ln|u| u⁰

√ u

u u⁰

2√ u

1/u −u⁰/u²

cos(u) −u⁰sin(u)

sin(u) u⁰cos(u)

argsh(u) u⁰

√ u²+ 1

argch(u) u⁰

√ u²−1

argth(u) u⁰

1−u²

arcsin(u) u⁰

√1−u²

arccos(u) − u⁰

√1−u²

arctan(u) u⁰

1 +u²

Exemple 2 D´eterminer les primitives de : sin(x) cos²(x), 1

xln(x) et cos²(x).

Dans le cas particulier des fonctions rationnelles, on essaiera d’abord de transformer l’expression donnée en éléments simples. Par exemple, si on considère la fonction rationnelleF à coefficients réels avec un polynôme du second degré à discriminant négatif :

F(x) = P(x)

(ax²+bx+c)(dx+e)²(f x+g) ⇒F(x) =Q(x) + α1x+β1

ax²+bx+c+ β2

(dx+e)² + β3

dx+e+ β4

f x+g oùQ(x) désigne le quotient dans la division euclidienne deP(x) par son dénominateur.

Exemple 3 Calculer les int´egrales suivantes : Z 1

0

1 t²−5t+ 6dt ,

Z1 0

1 t²−t+ 1 dt ,

Z 1 0

1

(t²−t+ 1)(t+ 1)dt

2.2 Int´ egration par parties et changement de variable

Soientf, gdeux fonctions de classeC¹sur [a, b]. Alors, on a la formule : Zb

a

f⁰(t)g(t)dt= [f(t)g(t)]^b_a− Zb

a

f(t)g⁰(t)dt Propriété 14(formule d’intégration par parties).

IIl suffit d’intégrer la dérivée du produitf g sur[a, b]...

Exemple 4 Calculer les int´egrales suivantes : Z x

1

ln(t)dt , Z x

0

arctan(t)dt , Z x

0

sin(t)e^−tdt

Soientfune fonction continue sur [a, b] etφune application bijective qu’on suppose de classeC¹. Alors, lechangement de variable t=φ(u) nous donne :

Z b a

f(t)dt= Z φ⁻¹(b)

φ⁻¹(a)

f◦φ(u).φ⁰(u)du Propri´et´e 15(formule de changement de variable).

ISiF d´esigne une primitive def sur[a, b], alors on aF◦φune primitive qui nous permettra d’aller chercher la seconde int´egrale.

(8)

Exemple 5 Calculer les int´egrales suivantes :

Z 1 0

p1−t²dt , Z 2

1

e

√ tdt

Soitf une fonction continue surR.

(i) Si de plusf est p´eriodique de p´eriodeT, alors pour tousa, b∈R: Zb

a

f(t)dt= Zb+T

a+T

f(t)dt , Za+T

a

f(t)dt= Z b+T

b

f(t)dt

(ii) Si de plusf est une fonction paire, alors pour touta∈R, Z a

−a

f(t)dt= 2 Z a

0

f(t)dt

(iii) Si de plusf est une fonction impaire, alors pour touta∈R, Z a

−a

f(t)dt= 0 Corollaire 16(périodicité et parité).

IOn posera `a chaque fois le bon changement de variable...

Lorsqu’on cherche à mettre en place un changement de variable, il n’y a pas en général de méthodes pour définir celui-ci. Cependant, dans certains cas, si la fonction possède certaines caractéristiques, il y a des réflexes à adopter.

Par exemple, si on souhaite calculerRb

af(cos(t),sin(t))dt, on pourra suivre lesr`egles de Bioche:

• si l’int´egrandef(cos(t),sin(t))dtest invariable quand on changeten−t, on poseu= cos(t) ;

• si l’int´egrandef(cos(t),sin(t))dtest invariable quand on changetenπ−t, on poseu= sin(t) ;

• si l’int´egrandef(cos(t),sin(t))dtest invariable quand on changetenπ+t, on poseu= tan(t) .

Et dans le pire des cas, on pourra toujours se ramener à l’expression des fonctions trigonométriques en fonction de latangente de l’angle moitié, c’est à dire en posantu= tan(₂^t), on a :

(i) cos(t) =1−u²

1 +u² (ii) sin(t) = 2u

1 +u² (iii) tan(t) = 2u 1−u²

Exemple 6 Calculer l’int´egrale Z ^π

4 0

1

cos²(t)(1 + tan(t)) dt.

3 Prolongements de la notation int´ egrale 3.1 Int´ egrale d’une fonction ` a valeurs complexes

Pour finir, on peut aussi définir l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle à valeurs complexes, et ceci en se ramenant aux fonctions partie réelle et imaginaire.

DéfinitionSi on notef: [a, b]−→Cqu’on suppose continue, alors on définit l’intégrale defsur [a, b] par : Z b

a

f(t)dt= Zb

a

Re(f)(t)dt+i Z b

a

Im(f)(t)dt et ainsi, on pourra retenir que :

Re(

Zb a

f(t)dt) = Zb

a

Re(f)(t)dt et Im(

Z b a

f(t)dt) = Zb

a

Im(f)(t)dt

Soitf une fonction continue sur [a, b] `a valeurs complexes. Alors, on a encore : Z b

a

f(t)dt=F(b)−F(a) = [F(t)]^b_a, avecF une primitive quelconque def Th´eor`eme 17(fondamental de l’analyse).

ISiF est une primitive quelconque def, alors ses parties réelle et imaginaire définissent des primitives deRe(f)etIm(f), ce qui nous permettra de prouver l’égalité.

(9)

Exemple 7 Calculer l’int´egrale : Z π

0

e^tcos(2t)dt.

Remarques

1. Cette dernière méthode est très pratique : elle nous évite en effet de mener deux intégrations par parties. On retiendra qu’elle repose sur le théorème fondamental de l’analyse, car on connaˆıt ici une primitive det7−→e^λt, λ∈C^∗.

2. L’intégrale d’une fonction à valeurs complexes est encore linéaire et on pourra ainsi prolonger certaines propriétés de l’intégrale

`

a l’exception de la croissance de l’int´egrale :

Soitf une fonction continue sur [a, b] `a valeurs complexes. Alors pour toutc∈Df : Z c

a

f(t)dt+ Z b

c

f(t)dt= Z b

a

f(t)dt Propri´et´e 18(relation de Chasles).

IIl suffit de revenir à la définition d’une fonction à valeurs complexes, le reste découle des propriétés de l’intégrale d’une fonction

`

a valeurs r´eelles.

Soitf une fonction continue sur [a, b] `a valeurs complexes. Alors poura≤b, on a :

| Z b

a

f(t)dt| ≤ Zb

a

|f(t)|dt Propri´et´e 19(majoration du module).

ISi l’int´egrale est nulle, c’est imm´ediat. Sinon, on poseRb

af(t)dt=re^iθ et on travaille avecRb

aRe(e^−iθf(t))dt...

Soientf, gdeux fonctions de classeC¹sur [a, b] `a valeurs complexes. Alors, on a encore la formule : Zb

a

f⁰(t)g(t)dt= [f(t)g(t)]^b_a− Zb

a

f(t)g⁰(t)dt Propriété 20(formule d’intégration par parties).

IOn vérifie que la formule de dérivation du produitf g est encore valable pour les fonctions à valeurs complexes avant d’intégrer.

3.2 Int´ egrale d’une fonction d´ efinie sur un intervalle quelconque

Nous avons ainsi étudié les principales propriétés de l’intégrale d’une fonctionf: [a, b]−→K, oùK=RouC. Il est d’ailleurs possible de généraliser cette notion d’intégrale sur un intervalle quelconque : on parlera alors d’intégrales généraliséesouintégrales im- propres.

DéfinitionSoientIun intervalle deRetf une fonction continue par morceaux surIà valeurs dansK. Sous réserve d’existence, on appelle intégrale généralisée def surIl’intégrale :

Z

I

f(t)dt En particulier, siI= [a, b[ avecb∈R, alors on dit que :

• l’intégrale généralisée defestconvergentesi lim

x→b,x<b

Z x a

f(t)dtest finie, et on notera encore Z b

a

f(t)dtcette limite.

• sinon, on dit que l’intégrale généralisée defestdivergente.

De la même fa¸con, on peut adapter la définition et définir une intégrale convergente (ou divergente) lorsqueI=]a, b] ou ]a, b[.

RemarqueOn fera attention car certaines intégrales généralisées peuvent présenter de fausses singularités. C’est le cas notam- ment des fonctions prolongeables par continuité... car une fois prolongée, on a simplement l’intégrale d’une fonction continue qu’on peut théoriquement calculer à l’aide du théorème fondamental de l’analyse.

Par définition, vérifier si une intégrale est convergente revient donc à calculer une intégrale ”à cran fini”, c’est à dire qu’on se ramène sur un segment, avant d’en déterminer la limite éventuelle.

Exemple 8 Montrer que ces int´egrales sont convergentes : Z1

0

sin(t) t dt ,

Z1 0

ln(t)dtet Z+∞

0

e^−tdt

(10)

Soitα∈R. On consid`ere la fonctionf:t7−→ 1 t^α. Alors, (i) l’int´egrale

Z +∞

1

f(t)dtest convergente si et seulement siα >1.

(ii) l’int´egrale Z 1

0

f(t)dtest convergente si et seulement siα <1.

Propriété 21(les fonctions de référencet7−→ 1 t^α).

IUne fois la singularité identifiée, on se ramène ”à cran fini”, puis on précisera la limite de l’intégrale en fonction deα.

DéfinitionSoientIun intervalle deRetfune fonction continue par morceaux surIà valeurs dansK. On dit quefestintégrablesurI si l’intégrale de|f|surIest convergente, c’est à dire :

Z

I

|f(t)|dt <+∞

RemarqueOn v´erifie par exemple que les fonctionsf:t7−→ 1

t^α sont int´egrables sur [1,+∞[ si et seulement siα >1, et sur ]0,1] si et seulement siα <1.

SoientIun intervalle deRetf une fonction continue par morceaux surIà valeurs dansK. (i) SiK=Ret sifest intégrable surI, alors l’intégrale def est convergente surI.

(ii) SiK=Cet sifest int´egrable surI, alors l’int´egrale def est convergente surI.

c’est `a dire qu’on pourra retenir :

Z

I

|f(t)|dt <+∞ ⇒ Z

I

f(t)dtexiste Théorème 22(condition suffisante pour qu’une intégrale soit convergente).

IOn se place dans le cas oùI= [a, b[. Dans le cas réel, on introduitf⁺etf⁻les parties positives et négatives def afin d’utiliser le théorème de la limite monotone sur un intervalle de la forme[a, b[. Dans le cas complexe, on procèdera de la même fa¸con avec cette fois-ciRe(f)etIm(f).

RemarqueLa convergence absolue d’une intégraledésigne unecondition suffisantepour que l’intégrale soit convergente, mais la réciproque est fausse. Il existe en effet des intégrales convergentes, sans pour autant que l’intégrale converge absolument... on a en particulier l’exemple de l’intégrale de Dirichlet:

Z +∞

0

sin(t)

t dt <+∞mais Z+∞

0

|sin(t)

t |dtest divergente

SoientIun intervalle deRetf:I−→K, g:I−→R+deux fonctions continues par morceaux surItelles que :

|f| ≤g Si de plus,gest int´egrable surI, alorsfest aussi int´egrable surI.

Propriété 23(comparaison à une fonction intégrable).

IOn se place dans le cas oùI= [a, b[. Comme pour la preuve précédente, il suffit d’invoquer le théorème de la limite monotone.

Soientf: [a, b[−→K, g: [a, b[−→R^∗+deux fonctions continues par morceaux sur [a, b[ telles que :

|f|=o

b(g) (ou bien|f|=O

b(g)) Si de plus,gest int´egrable sur [a, b[, alorsf est aussi int´egrable sur [a, b[.

Corollaire 24(comparaison à une fonction intégrable à l’aide des relationsoouO).

IOn traduit la notationoouO, afin d’obtenir une inégalité sur un intervalle de la forme[b−α, b[. On conclut alors par la propriété précédente et la relation de Chasles.

(11)

Exemple 9 Pour toutn∈N^∗, on posefn(t) =tsin(t)e^−nt.

1. Soitn∈N^∗, montrer que la fonctionfnest int´egrable sur [0,+∞[.

2. On poseIn= Z+∞

0

fn(t)dt. CalculerIn.

Soientf: [a, b[−→K, g: [a, b[−→R^∗+deux fonctions continues par morceaux sur [a, b[ telles que :

|f| ∼

b g Alors, on a :

(i) sigest int´egrable sur [a, b[, alorsfest aussi int´egrable sur [a, b[.

(ii) si Z b

a

g(t)dtest divergente, alorsf n’est pas int´egrable et Zb

a

|f(t)|dtest aussi divergente.

Corollaire 25(comparaison à une fonction intégrable à l’aide de la relation∼).

IOn traduit la notation∼pour se ramener à une inégalité sur un intervalle de la forme [b−α, b[. On utilisera alors chacune des inégalités en fonction de la nature deg.

Exemple 10 Soitn∈N, on d´efinit les deux int´egrales : In=

Z+∞

0

1

(1 +t²)(1 +tⁿ)dt , Jn= Z+∞

0

tⁿ

(1 +t²)(1 +tⁿ)dt 1. Prouver l’existence de ces deux int´egrales.

2. Calculer alors les valeurs deInetJn.