A Primitive et intégrale d une fonction continue

AN II Ch III D´erivation et int´egration

Les fonctions envisag´ees dans ce chapitre sont d´efinies sur un intervalleIet `a valeurs dans un espace vectoriel norm´eE de dimension finie surK.

A Primitive et int´ egrale d’une fonction continue

1 Denitions

Denition :

^{Soitf ∈}C⁰(I, E). On appelle primitive de f surI toute fonctionF de IdansE d´erivable surI telle que∀x∈I, F⁰(x) =f(x).

Remarque :

Une primitive de fonction continue est donc automatiquement de classeC¹.

Remarque :

^Sif admet une primitiveF (on verra plus loin que c’est toujours le cas) les primitives def sont exactement les fonctions de la formeF+Cte.

Denition :

^{Soitf ∈}Cpm⁰ (I, E). On appelle primitive def surItoute fonctionF deIdansE continue surI, d´erivable et telle queF⁰(x) =f(x) en tout pointxdeI o`uf est continue.

Remarque :

Une primitive de fonction continue par morceaux est donc automatiquement de classe C⁰et C_pm¹ .

Remarque :

^Sif admet une primitiveF (on verra plus loin que c’est toujours le cas) les primitives def sont exactement les fonctions de la formeF+Cte.

Remarque :

^{Si F} est une primitive de f ∈ Cpm⁰ (I, E),DF et f co¨ıncident surI priv´e d’une partie qui peut ˆetre infinie, mais dont la trace sur tout segment est finie.

2 Lien avec l'integrale

Th´eor`eme fondamental : Soitf ∈Cpm⁰ (I, E) eta∈I. Il y a une primitive def et une seule surI, F, qui prend la valeur 0 ena. Elle est donn´ee par la formule∀x∈I, F(x) =

Z x a

f(t) dt.

Theoreme :

Pour une fonctionf de classeC⁰et C_pm¹ sur un intervalleI on a la formule

∀(a, b)∈I², f(b)−f(a) = Z b

a

Df(t) dt.

R´esultat ´evident avec ce qui pr´ec`ede, mais qui est faux sif est seulement suppos´eeC_pm¹ .

3 Calcul des integrales

a) Le th´eor`eme fondamental

Theoreme :

^{Soitf ∈}Cpm⁰ ([a, b], E) etF une primitive def surI. On a alors :

Z b a

f(t) dt=F(b)−F(a) =h

F(x)ix=b x=a

.

b₁) L’int´egration par parties : th´eorie

Theoreme :

^{SoientE, F etG}trois espaces vectoriels norm´es etB : E×F →Gbilin´eaire.

Soientf : I→Eet g : I→F des fonctions de classeC⁰ etC_pm¹ . On a la formule :

∀(a, b)∈I, Z b

a

B(Df(t), g(t)) dt=h

B(f(t), g(t))ib a

− Z b

a

B(f(t), Dg(t)) dt.

b2) L’int´egration par parties : pratique

La pratique se fait avec des fonctions de classeC¹ etE=F =G=Ret le produit ordinaire pour B.

On retrouve la formule classique : Z b

a

u⁰(t)v(t) dt= [uv]^b_a− Z b

a

u(t)v⁰(t) dt.

• On distinguera trois sortes de fonctions, selon le degr´e de simplification obtenue lors de la d´erivation : Les fonctions `a d´eriver imp´erativement : ln, Arc tan, Arc sin. . .

Celles qu’on pr´ef`ere d´eriver : les polynˆomes.

Les indiff´erentes : e^x, sinx, cosx, shx, chx.

Ex :

^{Z b}

a

t⁸lntdt, Z b

a

t⁸e^tdt, Z b

a

sinte^tdt.

En cas d’it´eration il est essentiel de continuer `a d´eriver ce qui a d´ej`a ´et´e d´eriv´e. Il n’est pas grave de retomber sur la mˆeme int´egrale pourvu que ce ne soit pas avec le coefficient 1.

• L’int´egration par parties a souvent pour but la mise en place d’une formule de r´ecurrence.

Ex :

^{Wallis ouZ 1}

0

tⁿsinπtdt.

• Dans ce cas il peut ˆetre n´ecessaire de multiplier les noms.

Ex :

^{Z n}

0

1− t

n ⁿ

t^s−1dtou Z 1

0

tⁿ(1−t)ⁿdt.

• Le d´ecoupage de la fonction `a int´egrer en u⁰ etv peut n´ecessiter des artifices.

Ex :

^{Z 2}

1

ln(t) dt= Z 2

1

1·ltdt ou Z ^π₄

0

dt cos⁵t =

Z ^π₄

0

1

sin³ttan³t dt cos²t.

• Le choix deu⁰ ne d´efinit celui devqu’`a une constante pr`es.

Ex :

^{Z π}

0

sint t dt.

c1) Le changement de variable : th´eorie

Theoreme :

^{Si f ∈}C⁰(I, E) et siϕest de classeC¹ surJ `a valeurs dansI, on a la formule :

∀(α, β)∈J, Z β

α

f ◦ϕ(t)ϕ⁰(t) dt= Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(u) du.

Theoreme :

Encore vrai si f ∈Cpm⁰ (I, E) mais avecϕstrictement monotone.

c2) Le changement de variable : pratique Il y a en pratique deux situations tr`es diff´erentes :

Soit on a affaire `a Z β

α

g(t) dtet on voitqueg(t) s’´ecritf ϕ(t)

ϕ⁰(t). On applique alors la formule en pensantu=ϕ(t) doncϕ⁰(t) dt= duet quandt varie de α`a β uvarie de ϕ(α) `a ϕ(β). Il reste `a calculer

Z ϕ(β) ϕ(α)

f(u) du.

Ex :

^{Z t3}

t⁸+t⁴+ 1dt, Z lnt

t dt.

Remarque :

^{Voir queg(t) s’´ecritf ϕ(t)sans leϕ0}(t) ne sert `a rien, sauf siϕ<sup>0</sup> s’´ecrit `a l’aide de ϕ(cas de e^xet de tan).

Soit on saitque le calcule s’arrange en posantϕ(t) =u. Il faut alors disposer de ϕ⁻¹.

Ex :

^{Z 4}

3

dt (t−1)²

rt+ 1 t−1 + ³

rt+ 1 t−1

·

Remarque :

Des changements classiques sont les changements affines qui permettent d’exploiter une p´eriodicit´e ou une parit´e (ou plus g´en´eralement une sym´etrie).

Si f est T-p´eriodique, Z a+T

a

f(t) dtne d´epend pas dea Si f est paire,

Z a

−a

f(t) dt= 2 Z a

0

f(t) dt (et g´en´eralisation aux sym´etries axiales.) Si f est impaire,

Z a

−a

f(t) dt= 0 (et g´en´eralisation aux sym´etries point.)

Ex :

^{Z 2π}

0

dt

1 + sin²t =π√ 2,

Z 2 1/2

lnt

1 +t²dt= 0 et Z ^π₃

π 6

ln(tanx) dx= 0.

d) Les sommes de Riemann

Il s’agit d’une m´ethode rare, `a n’utiliser que sur indication.

Theoreme :

^{Si f ∈} Cpm⁰ ([a, b], E), la suite (u_n)_n∈

N^∗ ∈ E^N d´efinie par u_n = b−a n

n−1

X

k=0

f

a+kb−a n

tend vers la limite Z b

a

f(t) dt.

Ex :

^{I(z) =Z 2π}

0

dt

z−e^it avec|z| 6= 1. Le calcul direct est possible en passant en tant

2 mais casse-pieds. On peut ´ecrireI(z) = lim

n→∞

2π n

n−1

X

k=0

1 z−e^2ikπn

o`u on reconnaˆıt lim

n→∞

2π n

nzⁿ⁻¹

zⁿ−1 sur sa d´ecomposition en ´el´ements simples. On obtient ainsiI(z) =





 2π

z si|z|>1 0 si|z|<1 e) Le d´eveloppement en s´erie de fonctions

Theoreme :

^{Si la s´erie Xf}n de fonctions continues sur [a, b] converge normalement sur [a, b] on a la continuit´e de la somme et la formule

Z b a

∞

X

n=0

fn(t)

! dt=

∞

X

n=0

Z b a

fn(t) dt.

Ex :

^{Z 1}

0

tlnt

t−1dt= π² 6 −1.

Remarque :

Il est plus rapide ici d’´ecrire tlnt t−1 =

n−1

X

k=0

−t^k+1lnt+tⁿ⁺¹lnt

t−1 et de justifier par une majo- ration simple lim

n→∞

Z 1 0

tⁿ⁺¹lnt t−1 dt= 0.

On disposera plus tard d’un th´eor`eme puissant pour int´egrer terme `a terme une s´erie de fonctions.

f ) L’utilisation d’un param`etre

Ici pour m´emoire, d´etaill´e plus loin dans le chapitre VI.

4 Etude d'une integrale produit

Il s’agit d’un type d’exercice ultra-classique. On n’envisagera que des exemples.

• Cas^hhpond´er´e ⁱⁱ: il s’agit plus ou moins de Z b

a

f(t)gn(t) dt Z b

a

g_n(t) dt

o`u la suite de fonction (g_n)_n∈

N se^hhconcentreⁱⁱ au voisinage d’un pointx0. La limite est alorsf(x0) sif est continue enx0.

Ex :

^{Z 1}

0

f(t)tⁿdto`uf est continue en 1. La limite est trivialement nulle, mais sif(1)6= 0 on a l’´equivalent f(1)

n en ´ecrivant : (n+ 1)

Z 1 0

f(t)tⁿdt−f(1) = (n+ 1) Z 1−α

0

(f(t)−f(1))tⁿdt+ (n+ 1) Z 1

1−α

(f(t)−f(1))tⁿdt.

• Cas p´eriodique : si f est C⁰_pm sur [a, b] et g continue et p´eriodique, lim

n→+∞

Z b a

f(t)g(nt) dt =µ(g) Z b

a

f(t) dt o`u µ(g) est la valeur moyenne deg sur un intervalle de longueur p´eriode.

Remarque :

Dans les deux cas une id´ee possible est de montrer d’abord le r´esultat si f est de classeC¹ par int´egration par parties puis d’utiliser le th´eor`eme de Stone-Weierstraß pour approcher^hhuniform´ementⁱⁱ f par des fonctions polynˆomes (donc ´evidemmentC¹).

B ´ Etude globale des fonctions de classe

C¹

1 L'inegalite des accroissements nis

Theoreme :

^{Soitf ∈}C⁰([a, b], E)∩Cpm¹ (]a, b[, E) (aveca < b). On suppose (ce n’est pas automatique) qu’il existeM ∈Rtels quekDf(x)k6M en tout pointxo`u Df(x) existe. Alors :

kf(b)−f(a)k6M(b−a).

2 Ses corollaires classiques

Corollaire :

^{Si f estC0et C1}pm sur un intervalleI il y a ´equivalence entre les deux affirmations : f estk-lipschitzienne surI.

∀xtel queDf(x) existe,kDf(x)k6k.

Corollaire :

Une fonction f est constante sur un intervalle si et seulement si elle est C⁰ et C_pm¹ et que Df(x) = 0 en tout pointxo`uDf(x) existe.

Corollaire :

^{Soitf de classeC0}sur [a, b] etC¹ sur ]a, b]. Sif⁰ a une limite `ena<sup>+</sup>, alorsf est d´erivable (`a droite ´evidemment !) enaet f⁰(a) =`. Mˆeme chose enb⁻ ou enc∈]a, b[.

Generalisation :

^Soitf continue sur un intervalleI `a valeurs dansE etn∈N^∗. On suppose quef est de classe Cⁿ sur I\ {c}. On suppose en outre quef⁰, f⁰⁰, f⁰⁰⁰, . . . , f⁽ⁿ⁾ ont toutesdes limites en c. Alors f est de classeCⁿ surI.

Remarque :

^{Il ne fauthhsauteriiaucune ´}etape (penser `ax7→ |x|).

C Formules de Taylor

1 Reste integral

Theoreme :

^Soitn∈N, etf ∈Cⁿ([a, b], E)∩Cpmⁿ⁺¹([a, b], E). On a :

f(b) =

n

X

k=0

(b−a)^k

k! f^(k)(a) + Z b

a

(b−t)ⁿ

n! Dⁿ⁺¹f(t) dt.

Deux utilisations parmi d’autres de cette formule :

Le d´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction dont on sait majorer les d´eriv´ees successives.

L’expression directe et simple de lan^i`eme primitive valant 0 en un pointad’une fonction f.

2 Taylor-Lagrange

Theoreme :

^Soitn∈N, etf ∈Cⁿ([a, b], E)∩Cpmⁿ⁺¹([a, b], E). SoitM tel quekD^k+1f(x)k6M en tout pointxo`uD<sup>k+1</sup>f(x) existe (cette fois les hypoth`eses faites surf garantissent l’existence deM). Alors :

f(b)−

n

X

k=0

(b−a)^k k! f^(k)(a)

6 (b−a)ⁿ⁺¹ (n+ 1)! M.

3 Taylor-Young

Theoreme :

^{Soitn ∈}N, a∈ Ret f une fonction de classe Cⁿ sur un voisinage de a`a valeurs dans un espace vectoriel norm´eE de dimension finie. Alorsf admet au voisinage deaun d´eveloppement limit´e par rapport `a x−a:

f(a+h) =

n

X

k=0

h^k

k!f^(k)(a) +o(hⁿ).

Ceci permet l’int´egration et la d´erivation des d´eveloppements limit´es pour une fonction de classe suffisante, mais on prendra garde que la seule existence du d´eveloppement limit´e ne garantit nullement la classe.

Ex :

^{f(x) =}





 x^psin

1 x^p

six6= 0

0 sinon

admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordrep−1 en 0 f(x) =

0o(x^p−1) , mais n’est mˆeme pas de classeC¹ et sa d´eriv´ee, non continue en 0, n’y admet aucun d´eveloppement limit´e.

4 Retour sur les idees de Sup

L’id´ee d’appliquer le th´eor`eme de Rolle une ou plusieurs fois `a une fonction ad´equate est une id´ee qui reste int´eressante et f´econde, mais elle est `a r´eserver aux fonctions `a valeurs dansR.

Ex :

Taylor-Lagrange.

Ex :

Majoration de l’´ecart entre une fonctionf et un polynˆome qui l’interpole.

Ex :

^{Soitf ∈}C²([a, b],R) telle que f⁰⁰⁰ existe sur ]a, b[. Montrer que :

∃c∈]a, b[ tel quef(b)−f(a)−f⁰(a) +f⁰(b)

2 (b−a) =−(b−a)³ 12 f⁰⁰⁰(c).

D S´ eries de fonctions de classe

C^k

1 Integration

Vu en A 3 e)

2 Derivation

Vu en AN I-C IV-A 3&4

3 L'exponentielle

On commence par tout oublier sur l’exponentielle !

Denition :

^{On pose∀z∈}C, exp(z) =

∞

X

n=0

zⁿ n!·

Propriete :

^{exp(z1+z2) = exp(z1) exp(z2),} exp(0) = 1 et exp(z) = exp(z).

On en d´eduit que exp(z)6= 0 et que six∈R, |exp(ix)|= 1.

Propriete :

^∀x∈R, exp(x) = e^x. On notera donc ´eventuellement e^z au lieu de exp(z) pourz∈C.

Theoreme :

^{Si u}est une fonction de classe C¹ sur I `a valeurs dans C, la fonctionv : t7→e^u(t) est de classeC¹ surI et∀t∈I, v⁰(t) =u⁰(t) e^u(t).

Theoreme :

L’application : (C,+) →(C^∗,×) z 7→ e^z

est un morphisme surjectif.

Theoreme :

L’applicationϕ: (R,+) →(U,×) θ 7→ e^iθ

est un morphisme surjectif.

Denition :

^{On d´efinitπ}comme le r´eel positif tel que Kerϕ= 2πZ.

Theoreme :

L’application : ]−π, π[ →U\ {−1}

θ 7→ e^iθ

est une bijection bicontinue. Sa r´eciproque est la fonc- tion Arg d´efinie par Arg(x+iy) = 2 Arc tan y

1 +x

Denition :

^{On pose∀x∈}R, cosx= e^ix+ e^−ix

2 et sin x= e^ix−e^−ix 2i ·