Cours de terminale S Intégrales et primitives

(1)

Cours de terminale S Intégrales et primitives

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2018-2019

A. OLLIVIER Cours de terminale S Intégrales et primitives

(2)

Introduction

Grande découverte cette année en Terminale, les primitives et les intégrales de fonctions ! Jusqu’à présent vous saviez calculer la dérivée d’une fonction, à présent vous allez devoir trouver saprimitive, c’est à dire faire le travail inverse.

(3)

Connaissant une fonctionf, on voudra déterminer une fonction F telle que la dérivée deF :F^′ soit égale àf. C’est à dire F^′=f.

(4)

Introduction

Existe t-il une primitive pour n’importe qu’elle fonction ?

(5)

Existe t-il une primitive pour n’importe qu’elle fonction ? Est-ce simple de les déterminer ?

(6)

Introduction

Existe t-il une primitive pour n’importe qu’elle fonction ? Est-ce simple de les déterminer ? A quoi cela peut-il servir ?

(7)

Existe t-il une primitive pour n’importe qu’elle fonction ? Est-ce simple de les déterminer ? A quoi cela peut-il servir ?

On répondra à toutes ces questions dans ce chapitre !

(8)

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]; la fonc- tionF définie sur[a;b]parF(x) =

Z x a

f(t)dt . . . . . . . . . . . .

Théorème

(9)

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]; la fonction F définie sur [a;b] par F(x) =

Z x a

f(t)dt est déri- vable sur[a;b]etF^′(x) =f(x)pour toutx de[a;b].

De plusF(a) =0.

Théorème

(10)

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]; la fonction F définie sur [a;b] par F(x) =

Z x a

f(t)dt est déri- vable sur[a;b]etF^′(x) =f(x)pour toutx de[a;b].

De plusF(a) =0.

Théorème

(11)

Pour toutx ∈[a;b]eth>0, . . . . . . . .

(12)

Démonstration dans le cas oùf est croissante Pour toutx ∈[a;b]eth>0,F(x) =

Z x a

f(t)dt et F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt.

(13)

Pour toutx ∈[a;b]eth>0,F(x) =

a

f(t)dt et F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt. OrF(x+h)−F(x) =

Z x+h a

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

(14)

Z x a

f(t)dt et F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

= Z x+h

a

f(t)dt+ Z a

x

f(t)dt= Z x+h

x

f(t)dt

AinsiF(x+h)−F(x)est . . . . . . . . . . . .

(15)

Pour toutx ∈[a;b]eth>0,F(x) =

a

f(t)dt et F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

= Z x+h

a

f(t)dt+ Z a

x

f(t)dt= Z x+h

x

f(t)dt

AinsiF(x+h)−F(x)estl’aire de la surface limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites verticales passant par les points d’abscissesx etx+h.

(16)

Z x a

f(t)dt et F(x+h) =

Z x+h a

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

= Z x+h

a

f(t)dt+ Z a

x

f(t)dt= Z x+h

x

f(t)dt

AinsiF(x+h)−F(x)est l’aire de la surface limitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites verticales passant par les points d’abscissesx etx+h.

(17)

(18)

On sait quef est croissante sur[a,b].

On a donc . . . . . . . . . . . .

(19)

On a donchf(x)≤F(x +h)−F(x)≤hf(x +h), ce qui entraîne quef(x)≤ F(x+h)−F(x)

h ≤f(x+h).

(20)

h ≤f(x+h).

Puisque la fonctionf est continue, lim

h→0f(x+h) =. . .

(21)

h ≤f(x+h).

h→0f(x+h) =f(x)

(22)

h ≤f(x+h).

h→0f(x+h) =f(x)donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . . . . . .

(23)

h ≤f(x+h).

hlim→0

F(x+h)−F(x)

h =f(x) ce qui signifie queF est dérivable enx etF^′(x) =f(x)pour toutx ∈[a;b].

(24)

h ≤f(x+h).

hlim→0

F(x+h)−F(x)

h =f(x) ce qui signifie queF est dérivable enx etF^′(x) =f(x)pour toutx ∈[a;b].

(25)

On dit qu’une fonctionF est une primitive de la fonctionf surIsi . . . . . . . .

"F est une primitive def surI" a le même sens que . . . . . . . .

(26)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI.

On dit qu’une fonctionF est une primitive de la fonctionf surI sila fonctionF est dérivable surI et a pour dérivée la fonctionf.

Définition

(27)

On dit qu’une fonctionF est une primitive de la fonctionf surI si la fonctionF est dérivable surI et a pour dérivée la fonctionf.

(28)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI.

Définition

"F est une primitive def surI" a le même sens que"f est la fonction dérivée deF surI".

(29)

"F est une primitive def surI" a le même sens que "f est la fonction dérivée deF surI".

(30)

Exemple

f(x) =2a pour primitive F(x) =. . . sur^R.

(31)

Exemple

f(x) =2a pour primitive F(x) = 2x sur^R. g(x) = 1

2√

x a pour primitive G(x) = . . . sur^R.

(32)

Exemple

f(x) =2a pour primitive F(x) = 2x sur^R. g(x) = 1

2√

x a pour primitive G(x) = √

x sur^R.

(33)

. . . .

(34)

Toute fonction continuesur un intervalleI admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème

(35)

mitives sur cet intervalle.

Démonstration dans le cas oùI= [a;b].

Sif est positive, . . . . . . . .

(36)

Toute fonction continue sur un intervalleI admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème

Sif est positive,on a vu que la fonctionF définie par F(x) =

Z x a

f(t)dt est une primitive def puisqueF^′(x) =f(x).

(37)

Sif est positive, on a vu que la fonctionF définie par F(x) =

Z x a

Sinon, on admet quef a un mininummsur[a;b]et on défini une fonctiongsur[a;b], parg(x) =f(x)−m;

(38)

Théorème

Z x a

g est . . . . . . . . . . . .

(39)

Z x a

g estcontinue et positive sur[a;b], donc admet une primitiveG définie parG(x) =

Z x a

g(t)dt. Alors la fonctionF définie par F(x) =G(x) +mx est une primitive def sur[a;b].

(40)

Théorème

Z x a

g est continue et positive sur[a;b], donc admet une primitiveG définie parG(x) =

Z x a

g(t)dt. Alors la fonctionF définie par F(x) =G(x) +mx est une primitive def sur[a;b].

(41)

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur I, . . . .

. . . . . . . .

Théorème

(42)

Si la fonction F est une primitive de la fonction f sur I, alors la fonctionG définie surI parG(x) = F(x) +c où c est un nombre réel quelconque, est aussi une primitive def surI.

Théorème

(43)

Théorème

(44)

Théorème

Toutes les primitives def surIsont les fonctionsGdéfinies surIparG(x) =F(x) +c oùc est un nombre réel quelconque.

(45)

appartenant àIety0un réel donné quelconque ; . . . . . . . .

(46)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,x0un réel appartenant àI ety0 un réel donné quelconque ;alors il existe une fonctionF unique, primitive def surI, telle que F(x0) =y0.

Théorème

(47)

appartenant àI ety0 un réel donné quelconque ; alors il existe une fonctionF unique, primitive def surI, telle que F(x0) =y0.

(48)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,x0un réel appartenant àI ety0 un réel donné quelconque ; alors il existe une fonctionF unique, primitive def surI, telle que F(x0) =y0.

Théorème

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctionsF définies surIpar . . . . . . . .

(49)

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctionsF définies surIparF(x) =G(x) +c; la conditionF(x0) =y0 impliquec =y0−G(x0) etc est unique.

(50)

Théorème

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctionsF définies surIparF(x) =G(x) +c; la conditionF(x0) =y0 impliquec =y0−G(x0) etc est unique.

En particulier, siI= [a;b]et siF est la fonction définie sur[a;b]

parF(x) = Z x

a

f(t)dtalors . . . . . . . .

(51)

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctionsF définies surIparF(x) =G(x) +c; la conditionF(x₀) =y₀ impliquec =y₀−G(x₀) etc est unique.

parF(x) = Z x

a

f(t)dtalorsF est l’unique primitive def qui s’annule ena.

(52)

Théorème

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives de f sont les fonctionsF définies surIparF(x) =G(x) +c; la conditionF(x₀) =y₀ impliquec =y₀−G(x₀) etc est unique.

parF(x) = Z x

a

f(t)dtalorsF est l’unique primitive def qui s’annule ena.

(53)

Détermination des primitives d’une fonction

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

(54)

•siF est une primitive def surIet siGest une primitive deg surIalorsF +Gest une primitive def+gsurI.

(55)

•siF est une primitive def surIet siGest une primitive deg surIalorsF +Gest une primitive def+gsurI.

•siF est une primitive def surIet sik est un nombre réel quelconque alorskF est une primitive dekf surI.

(56)

Pour chacune des fonctionsf suivantes, la fonctionF est une primitive def sur l’intervalleIdonné :

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF

f(x) =a,a∈^R I =^R

(57)

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF f(x) =a,a∈^R I =^R F(x) =ax f(x) =xⁿ,n∈^N^∗ I =^R

(58)

f(x) =a,a∈^R I =^R F(x) =ax f(x) =xⁿ,n∈^N^∗ I =^R F(x) = 1

n+1xⁿ⁺¹ f(x) = 1

x² ]− ∞;0[ ou ]0: +∞[

(59)

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF f(x) =a,a∈^R I =^R F(x) =ax f(x) =xⁿ,n∈^N^∗ I =^R F(x) = 1

n+1xⁿ⁺¹ f(x) = 1

x² ]− ∞;0[ ou ]0: +∞[ F(x) =−1 x f(x) = 1

√x I=]0: +∞[

(60)

f(x) =a,a∈^R I =^R F(x) =ax f(x) =xⁿ,n∈^N^∗ I =^R F(x) = 1

n+1xⁿ⁺¹ f(x) = 1

x² ]− ∞;0[ ou ]0: +∞[ F(x) =−1 x f(x) = 1

√x I=]0: +∞[ F(x) =2√

x

(61)

f(x) =e^x I=^R

(62)

f(x) =e^x I=^R F(x) =e^x f(x) = 1

x I=]0: +∞[

(63)

f(x) =e^x I=^R F(x) =e^x f(x) = 1

x I=]0: +∞[ F(x) = lnx f(x) = cosx I=^R

(64)

f(x) =e^x I=^R F(x) =e^x f(x) = 1

x I=]0: +∞[ F(x) = lnx f(x) = cosx I=^R F(x) = sinx f(x) = sinx I=^R

(65)

f(x) =e^x I=^R F(x) =e^x f(x) = 1

x I=]0: +∞[ F(x) = lnx f(x) = cosx I=^R F(x) = sinx f(x) = sinx I=^R F(x) =−cosx

(66)

Fonctions composées : on suppose queu est une fonction dérivable sur un intervalleJ, dérivable et strictement positive sur un intervalleK.

f(x) = cos(ax +b),a6=0 I=^R

(67)

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF f(x) = cos(ax +b),a6=0 I=^R F(x) = 1

asin(ax+b) f(x) = sin(ax+b),a6=0 I=^R

(68)

f(x) = cos(ax +b),a6=0 I=^R F(x) = 1

asin(ax+b) f(x) = sin(ax+b),a6=0 I=^R F(x) =−1

acos(ax+b) f =u^′×uⁿ,n∈^N^∗ I=J

(69)

acos(ax+b) f =u^′×uⁿ,n∈^N^∗ I=J F(x) = 1

n+1uⁿ⁺¹ f = u^′

√u I=K

(70)

f(x) = cos(ax +b),a6=0 I=^R F(x) = 1

n+1uⁿ⁺¹ f = u^′

√u I=K F(x) =2√

u

f =u^′e^u I=J F(x) =

(71)

n+1uⁿ⁺¹ f = u^′

√u I=K F(x) =2√

u

f =u^′e^u I=J F(x) =e^u

f = u^′

u I=K

(72)

f(x) = cos(ax +b),a6=0 I=^R F(x) = 1

n+1uⁿ⁺¹ f = u^′

√u I=K F(x) =2√

u

f =u^′e^u I=J F(x) =e^u

f = u^′

u I=K F(x) = lnu

(73)

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]etF une primitive def sur[a;b].

Alors . . . . . . . .

Propriété

(74)

Alors l’intégrale de a à b de la fonction f est égale au nombreF(b)−F(a).

Propriété

(75)

On note :

. . . . Propriété

(76)

On note :

Z b a

f(x)dx =F(b)−F(a) Propriété

(77)

. . . . . . . .

(78)

Démonstration

On sait quef admet des primitives sur[a;b], par exemple la fonctionGdéfinie parG(x) =

Z x a

f(t)dt.

(79)

Z x a

f(t)dt.

. . . . . . . .

(80)

Démonstration

Z x a

f(t)dt.

G(b) = Z b

a

f(t)dt etG(a) =0 donc on a bien G(b)−G(a) =

Z b a

f(t)dt.

(81)

Z x a

f(t)dt.

G(b) = Z b

a

Z b a

f(t)dt.

. . . . . . . .

(82)

Démonstration

Z x a

f(t)dt.

G(b) = Z b

a

Z b a

f(t)dt.

Il reste à démontrer que l’intégrale def ne dépend pas du choix de la primitive :

(83)

Z x a

f(t)dt.

G(b) = Z b

a

Z b a

f(t)dt.

. . . . . . . .

(84)

Démonstration

Z x a

f(t)dt.

G(b) = Z b

a

Z b a

f(t)dt.

siF une primitive quelconque def, alorsF(x) =G(x) +c et on vérifie alors queF(b)−F(a) =G(b)−G(a).

(85)

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels quelconques deIetF une primitive def surI.

. . . . . . . .

Définition

(86)

On généralise la notion d’intégrale :

On appelle intégrale entreaàbde la fonctionf le nombre F(b)−F(a).

Définition

(87)

On note :

. . . . Définition

(88)

On généralise la notion d’intégrale :

On note :

Z b a

f(x)dx =F(b)−F(a) Définition

(89)

On note :

Z b a

f(x)dx =F(b)−F(a) Définition

(90)

Exemple

Pourx >0,

Z x 1

1

tdt = lnx −ln1= lnx

(91)

[F(x)]^b_a=

(92)

Notation

[F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

(93)

[F(x)]^b_a=F(b)−F(a)

Conséquence

On peut donc réécrire la définition de cette façon : Z b

a

f(x)dx = [F(x)]^b_a =F(b)−F(a)

(94)

Exemple

Z 1 0

x²dx =

(95)

Exemple

Z 1 0

x²dx = x³

3 1

0

=

(96)

Exemple

Z 1 0

x²dx = x³

3 1

0

= 1³ 3 −0³

3 =

(97)

Exemple

Z 1 0

x²dx = x³

3 1

0

= 1³ 3 −0³

3 = 1 3

(98)

Remarque

Toutes les propriétés vues sur les intégrales (dans un chapitre précédent : linéarité, relation de Chasles, inégalités, bornes) peuvent se démontrer avec la définition vue plus haut.