Révisions : Intégrales et primitives Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 4 :
Exercice 5 :
Exercice 6 :
Exercice 7 :
Exercice 8 :
Exercice 9 : Partie A
On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : = 2− 1 + 2 ln 1. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle ]0;+∞[.
2. Justifier qu’il existe un unique réel tel que = 0. 3. En déduire le signe de la fonction sur l’intervalle ]0;+∞[.
Partie B
On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par : = 2 −ln
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan, muni d’un repère orthogonal ; ⃗, ⃗.
1. [Compétence 1] Déterminer les limites de la fonction en 0 et en +∞.
2. On note ∆ la droite d’équation = 2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite ∆.
3. Justifier que ′ a le même signe que . 4. En déduire le tableau de variations de la fonction . 5. Tracer la courbe dans le repère ; ⃗, ⃗.
On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.
Partie C
Soit un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine du plan compris entre la courbe , la droite
∆ et les droites d’équations respectives = 1 et = . 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par :
= 2 ln !
"
2. (a) Notons # la fonction définie sur ]0;+∞[ par :
# =$ ln + %
Déterminer les réels $ et % pour que # soit une primitive de la fonction ↦'( ))² sur ]0;+∞[.
(b) En déduire l’expression de en fonction de .
3. Calculer la limite de l’aire du domaine quand tend vers +∞.
Exercice 10 : Soit
1 2 ) 2
( 3
2
+
−
= + x
x x x
f . Calculer =
10
) (x dx f
I .
Pour cela, on déterminera 3 constantes réelles a, b et c telles que,
∀ ∈ -0; 1., = $ + %
− + 1 + / + 1
Exercice 11 : 1) Calculer =
+1
02 1dt
t
I t en posant le changement de variable u =2t+1.
2) Calculer
+
=
1
0 1dt
t
J t en posant le changement de variable u=t+1.
3) Calculer
( )
−=
3 4
1
5 2
2
3 dx
x
K x en posant le changement de variable t=3x−2.
4) Calculer =
1
0
2e dx x
L x .
Exercice 12 :
Calculer les intégrales : =
e n
n t tdt
I
1
ln et =
( )
e n
n t t dt
J
1
ln 2 ( ∈ ℕ).
Exercice 13 :
On considère la fonction f définie sur ℝ par f
( )
x =ln(
x+ x2 +1)
.1) Justifier que est bien définie sur ℝ.
2) Montrer que f est dérivable sur ℝ et déterminer ′.
3) On considère les suites numériques
( )
un et( )
vn définies par :
+=
1
0
1 2
dx x u x
n
n et
( ) ( )
+ +=
1 +
0 2 2
2
1 1
dx x x
v x
n
n .
a) Déterminer u0 et u1.
b) Montrer que
( )
un est décroissante. En déduire qu’elle converge.c) Montrer que
1 0 1
, ≤ ≤ +
∈
∀n Ν un n .
En déduire que
( )
un est convergente et donner sa limite.d) Montrer que limvn =0. e) Montrer que
( ) ( )
nn v
n n u
n 1
1 2 1 , 1
+ + +
=
∈
∀ Ν .
En déduire la limite de la suite
(
nun)
puis un équivalent de un.Exercice 14 :On considère la fonction H définie sur IR∗+ par =
2
) (
x
x t
t dt x e
H 1) Justifier que H est bien définie sur IR∗+.
2) Montrer que H est dérivable sur IR∗+ et déterminer H'. 3) Soit x>1, montrer que : exln(x)≤H(x)≤ex2ln(x). 4) En déduire : lim H(x)
x→+∞ et
x x H
x
) lim (
+∞
→ .
Exercice 15 : Soit la fonction F définie sur IR∗+par =
x t dtt x e F
1
)
( .
1) Justifier que F est définie sur IR∗+, dérivable sur IR∗+ et déterminer F'. 2) Déterminer le sens de variation de F puis le signe de F sur IR∗+.
3) On considère la fonction g définie sur IR∗+ par g(x)=F(x)−ln(x). a) Étudier les variations de g, en déduire le signe de sur IR∗+.
b) En déduire lim ( )
0F x
x→ et lim F(x)
x→+∞ .
4) Montrer que : t e t
t
>
∈
∀ IR∗+, 2 . En déduire que : IR , 2
t
t te
e t∈ >
∀ ∗+ .
En déduire enfin le comportement de F en +∞.
Exercice 16 :
On note : ℝ → ℝ l’application de classe C2, définie, pour tout ∈ ℝ , par = − ln 1 + Calculer 4 !5" . À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable défini par 6 = 1 + .
