DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Conjugu´ e harmonique et axe radical
Comme dans tout probl`eme de g´eom´etrie, on n’h´esitera pas `a appuyer ses raisonnements par de jolis dessins.
Partie A – Conjugu´ e harmonique
On se place dans le plan euclidien usuelP muni d’un rep`ere orthonormal direct, que l’on assimilera `aC. SoitCun cercle,P un point `a l’ext´erieur (de l’enveloppe convexe) de ce cercle,Dune droite passant parP, et coupantCenE etF distincts. L’unique pointI du segment [EF] qui v´erifie la relation IEIF =P EP F est appel´e conjugu´e harmonique du point P par rapport `aD.
A.1 Montrer queP est le barycentre de la famille ((E, P F),(F,−P E)) et que son conjugu´e harmoniqueI est le barycentre de la famille ((E, P F),(F, P E)).
Dans la suite, on suppose queCest le cercle de centreOet de rayon 1 et queP a pour affixep, o`up∈]1,+∞[.
On supposeE d’affixeeiα et F d’affixeeiβ, avec 0 < α < β < π. On rappelle que P, E et F sont align´es sur une droiteD. On appelleAle point d’affixe 1 et B le point d’affixe−1.
A.2D´eterminer les coordonn´ees du conjugu´e harmonique deP par rapport `a la droite (AB).
A.3
a Montrer que P EP F = sin(α)sin(β).
bMontrer que sizI est l’affixe deI, conjugu´e harmonique deP par rapport `aD, alors Re(zI) =cos(α+β2 )
cos(α−β2 ). cEcrire sin(β´ )−sin(α) sous forme d’un produit de cosinus et de sinus.
dA l’aide du complexe` Z= eiβeiα−e−piα, montrer que sin(β−α)−2psin
β−α 2
cosα+β
2
= 0.
eMontrer que Re(zI) = 1/p.
Le lieu des conjugu´es harmoniques du pointP(pour le cercleC) est donc une partie de la droiteD0d’´equation x= 1/p. Cette droiteD0 est appel´eepolaire deP, etP est appel´e pˆole deD0 par rapport `aC.
A.4 Montrer que si M1 et M2 sont les deux points d’intersection deD0 et C, alors (P M1) et (P M2) sont tangentes au cercleC.
Indication : on pourra montrer que le triangleP OM1 est rectangle enM1.
Partie B – Axe radical
On se donne deux cerclesC1 etC2 de centres respectifs (distincts)O1et O2, de rayons respectifs R1 etR2. SoitI le milieu du segment [O1O2].
SoitRl’ensemble{M ∈ P, M O21−R21=M O22−R22}.
B.1Montrer queM O12−M O22=λ−−−→
O1O2·−−→
IM, o`u λest un r´eel `a d´eterminer.
B.2 Montrer que R est une droite qui passe par le point H d´efini par −→
IH = µ−−−→
O1O2 (o`u µ est un r´eel `a d´eterminer) dont on donnera un vecteur normal non nul.
Rest appel´eaxe radical deC1 et deC2.
B.3D´eterminer l’axe radical de deux cercles se coupant en deux points distinctsA1 etA2.
B.4Montrer que si C1 et C2 sont tangents, le point de contact appartient `a l’axe radical des deux cercles, puis que cet axe est la tangente commune.
Partie C – Centre radical
On consid`ere trois cerclesC1,C2 etC3, de centres respectifsO1,O2,O3non align´es, de rayons respectifsR1, R2,R3.
Pour i, j∈ {1,2,3},i6=j, on noteRi,j l’axe radical des cercles Ci et Cj.
C.1Montrer queR1,2,R2,3 etR1,3sont concourants en un point Aque l’on appelleracentre radical deC1, C2et C3.
On suppose queA1 et A2 sont deux points deC1et C2tels que les tangentes en ces deux points se coupent sur l’axe radicalR1,2 en un pointL. On suppose ´egalement queC3 est tangent `aC1 enA1et passe par A2.
C.2Montrer queLest le centre radical des trois cercles.
C.3Montrer queC3est ´egalement tangent `a C2 enA2.
C.4D´eterminer le pˆole de la droite (A1A2) par rapport au cercleC3.
C.5Faire cette construction en prenant deux cerclesC1 etC2 qui se coupent en deux points distincts.
