Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚8
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire dans le plan (partie 1)
Exercice 70 (Conjecture d’un rep`ere adapt´e avec Maple et changement de rep`ere)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct. SoitE l’ensemble des pointsM(x, y) du plan tels que : (⋆) x2+y2−2xy+ (2−√
2)x−(2 +√
2)y+ 3√
2 + 1 = 0.
1. Repr´esenter graphiquement l’ensemble E en utilisant Maple, puis conjecturer la nature de E ainsi qu’un rep`ere orthonorm´e directR′ adapt´e `a l’´etude.
2. ´Ecrire l’´equation (⋆) dans le rep`ereR′ puis d´emontrer la conjecture faite sur la nature deE.
3. Proposer un m´ethode de construction deE`a partir de la courbe repr´esentative d’une fonction usuelle dans le rep`ereR.
Exercice 71 (´Equation polaire d’un cercle passant par l’origine)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct. SoitC l’ensemble des points M(r;θ) du plan tels que : r= 2√
2 cos θ−π
4 .
D´eterminer la nature deCainsi que ses ´el´ements caract´eristiques.
Exercice 72 (´Equation polaire d’une droite ne passant par l’origine)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct. SoitDl’ensemble des pointsM(r;θ) du plan tels que :
r= −7
2 cos(θ)−sin(θ). D´eterminer la nature deDainsi que des ´el´ements caract´eristiques.
Exercice 73 (Barycentre)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct.
1. Soitn∈N≥2, soientnpoints du planA1, A2, . . . , An et soientnr´eelsλ1, λ2, . . . , λn tels que
n
X
k=1
λk =λ1+λ2+. . .+λn 6= 0.
(a) D´emontrer qu’il existe un unique pointGtel que : λ1−−→
GA1+λ2−−→
GA2+. . .+λn−−→
GAn=−→0.
Le pointGest appel´e barycentre de la famille de points(A1, A2, . . . , An)affect´ee des poids(λ1, λ2, . . . , λn).
(b) Montrer qu’un pointGdu plan est le barycentre de la famille de points (A1, A2, . . . , An) affect´ee des poids (λ1, λ2, . . . , λn) si et seulement si pour tout point M du plan :
λ1−−−→M A1+λ2−−−→M A2+. . .+λn−−−→M An=
n
X
k=1
λk
! −−→M G.
2. Soient A1, A2 deux points distincts du plan. Caract´eriser le barycentreGde la famille de points (A1, A2) affect´ee des poids (1,1).
3. Soient A1, A2, A3 trois points du plan non align´es. Caract´eriser le barycentre G de la famille de points (A1, A2, A3) affect´ee des poids (1,1,1).
1
Exercice 74 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz) Soient−→u et −→v deux vecteurs non nuls.
1. Soitλ∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner suivant les puissances deλle produit scalaire (−→u +λ−→v).(−→u +λ−→v).
2. En d´eduire les propri´et´es suivantes.
(a) |−→u .−→v| ≤ ||−→u|| ||−→v|| (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)
(b) |−→u .−→v|=||−→u|| ||−→v|| ⇔ −→u //−→v (Cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz)
Exercice 75 (Lieux g´eom´etriques et nombres complexes)
Un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→u ,−→v) ´etant fix´e, on identifie le plan et l’ensembleCdes nombres complexes.
1. D´eterminer le lieuE1 des pointsM du plan d’affixez∈Ctels que :
|(4−i)z−3i|= 10.
2. D´eterminer le lieuE2 des pointsM du plan d’affixez∈Ctels que : Im
z−1 z−2i
= 0.
Exercice 76 (CNS pour qu’un triangle soit ´equilat´eral)
Un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→u ,−→v) ´etant fix´e, on identifie le plan et l’ensemble Cdes nombres complexes.
Soient z1, z2, z3 trois nombres complexes et soient M1(z1), M2(z2), M3(z3) les points du plan d’affixes corres- pondantes.
Montrer que le triangleM1M2M3est ´equilat´eral si et seulement si : z21+z22+z23=z1z2+z1z3+z2z3.
Exercice 77 (Alignement de trois points)
Un rep`ere orthonorm´eR= (O;−→u ,−→v) ´etant fix´e, on identifie le plan et l’ensemble Cdes nombres complexes.
D´eterminer l’ensemble des nombres complexesz tels que les pointsM(z), M(z2), M(z4) soient align´es.
Exercice 78 (Calcul de l’aire d’un polygone) Calculer l’aire du polygone gris´eABCDE ci-dessous.
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
bA
bB
bC
b
D
b
E
2
