Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚10
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace (partie 1)
Exercice 89 (Points align´es) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace. Soient les points A(2,1,4) ; B(−1,1,2) ; C(5, λ,6)
o`uλest un param`etre r´eel. Donner une CNS surλpour que les pointsA, B etC soient align´es.
Exercice 90 (Base de l’espace) SoitB= (−→
i ,−→ j ,−→
k) une base orthonorm´ee directe de l’espace. Soient les vecteurs
−
→u(λ,1,1) ; −→
v(1, λ,0) ; w(1,0, λ) o`uλest un param`etre r´eel. Donner une CNS surλpour que la famille (−→
u ,−→ v ,−→
w) soit une base de l’espace.
Exercice 91 (Droites orthogonales, droites perpendiculaires) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace. Soient les points A(1,1,1) ; B(3,4,0) ; C(5,7,−1) ; D(3,7,−5).
1. Les pointsA, B,C, Dsont-il coplanaires ?
2. Les droites (AB) et (CD) sont-elles orthogonales ?
3. Que peut-on d´eduire des r´eponses apport´ees aux questions 1 et 2 ?
Exercice 92 (Intersection de deux plans s´ecants) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace.
1. Soient les points A(2,0,−1),B(0,1,2),C(−1,3,4). Justifier que le plan (ABC) est bien d´efini et donner une ´equation cart´esienne de ce plan.
2. Justifier que
x = −2 + t1 − t2
y = 3 + t1
z = 7 − t1 + 2t2
est une repr´esentation param´etrique de plan, de param`etrest1, t2∈Ret donner une ´equation cart´esienne du planP d´efini par cette repr´esentation param´etrique.
3. Donner un vecteur normal−→
n1`a (ABC) et un vecteur normal−→
n2`a P. En d´eduire que les plans (ABC) et P sont s´ecants.
4. Donner une repr´esentation param´etrique de la droiteD= (ABC) ∩ P.
Exercice 93 (D’une repr´esentation param´etrique de droite `a une ´equation cart´esienne) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace. SoitDla droite de repr´esentation param´etrique :
x = −2 + t
y = 1 − 2t
z = 3 + t
de param`etret∈R. Donner une ´equation cart´esienne de la droiteD.
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Exercice 94 (Plan m´ediateur d’un segment) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient les pointsA(1,2,−1) et B(−1,3,5).
1. D´eterminer le lieuP1des pointsM du plan tels queAM =BM. On pr´ecisera la nature deP1.
2. SoitI le milieu du segment [AB]. D´eterminer une ´equation cart´esienne du planP2 passant parI et dont
−−→
AB est un vecteur normal.
3. Montrer queP1=P2.
Exercice 95 (Perpendiculaire commune `a deux droites non parall`eles) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e direct de l’espace.
1. Soient D1 et D2 deux droites non parall`eles. D´emontrer qu’il existe une unique droiteD telle queDest perpendiculaire aux droites D1 etD2.
2. Si D1 etD2 sont deux droites parall`eles, existe-t-il une unique droiteDperpendiculaire aux droitesD1et D2?
3. SoitD1la droite passant par l’origineO et dirig´ee par le vecteur−→
u1(1,1,1). SoitD2la droite passant par le pointA(1,2,1) et dirig´ee par le vecteur−→
u2(1,−3,2).
(a) Justifier que les droitesD1 etD2ne sont pas parall`eles.
(b) D´eterminer la perpendiculaire communeDaux deux droitesD1 etD2.
Exercice 96 (Projet´e orthogonal d’un point sur un plan) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitP le plan d’´equation cart´esienne :
x−2y+ 3z= 0.
Soit le pointA(2,7,11).
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonalH du pointAsur le planP. 2. Calculer la longueurAH `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent.
3. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide d’une formule du cours.
Exercice 97 (Intersection de trois plans) SoitR= (O;−→
i ,−→ j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.
Pour tout (a, b)∈R2, on d´efinit : (a) le planP1 d’´equation cart´esienne
x+y−az= 0 ; (b) le plan P2 d’´equation cart´esienne
x+by−z= 0 ; (c) le planP3d’´equation cart´esienne
x+by−az= 0.
Soit (a, b)∈R2.
1. Justifier≪sans calcul≫ que les plansP1,P2et P3 ont un point commun.
2. Discuter la nature de l’intersectionP1 ∩ P2 ∩ P3des trois plansP1,P2 etP3, suivant la valeur de (a, b).
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