G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan : Exercices
Exercice 1
Changementderep`ereorthonormal
On munit le plan d’un rep`ere orthonormal directR= (O;#»ı ,#»). On noteAle point de coordonn´ees(2,−1) dans ce rep`ere etHl’ensemble des points de coordonn´ees(x, y)dansRtelles que :
x2−y2= 4x+ 2y−2
1. (a) D´emontrer que, pour touty∈R, il existe deux pointsMy etNy appartenant `a Hd’ordonn´eey.
(b) D´eterminer les coordonn´ees du milieu de[MyNy]. Que peut-on en d´eduire ? 2. Montrer queHest sym´etrique par rapport `aA.
3. On consid`ere le rep`ere R0 image de R par translation de vecteur # »
OA puis par rotation de centre A et d’angle −π4. On note #»ı0 et #» les vecteurs de coordonn´ees et(x0, y0)les coordonn´ees dans le rep`ereR0.
(a) Exprimer(x, y)en fonction de x0 et y0.
(b) En d´eduire l’´equation deHdans le rep`ereR0. Quelle est la nature deH?
Exercice 2
On munit le plan d’un rep`ere orthonormal(O;#»ı ,#»). SoitP la courbe d’´equation cart´esienne : x2+y2−2xy−Ä
6 +√ 2ä
x+Ä 6−√
2ä
y+ 9 +√ 2 = 0
1. En consid´erant le pointΩ(2,−1)et le rep`ere(Ω,#»ı0,#»0)o`u #»ı0et #»0sont les images de #»ı et #»0par rotation d’angle −π4, exprimer les formules de changement de rep`ere orthonormal.
2. Donner l’´equation deP dans le rep`ere (Ω;#»ı0,#»0).
3. En d´eduire queP est une parabole.
Exercice 3
Coordonn´eescart´esiennes etpolaires
On munit le plan d’un rep`ere orthonormal (O;#»ı ,#»). On donne les points suivants, d´efinis par leurs coor- donn´ees polaires :
A 1,π
4
B Å√
2,5π 4
ã
C 2,π
4
1. (a) Repr´esenter ces points et donner leurs coordonn´ees cart´esiennes.
(b) Justifier que ces points sont align´es sur une droite passant parO.
2. Donner les coordonn´ees polaires deA,B,C etO dans le rep`ere(A;#»ı ,#»).
Exercice 4
Calculsde oduitsscalaires On consid`ere un hexagone r´egulierABCDEF inscrit dans un cercle de rayon1et de centreO.
Calculer les produits scalaires suivants :
# » OA· # »
OB # »
OA·# »
OC # »
AB·# » DE
# » DC·# »
DF # »
OC· # »
DB # »
CA·# » CE
Exercice 5
Propri´et´esduproduitscalaire
Deux vecteurs #»u et #»v ont pour norme respectives4 et6. Leur produit scalaire est ´egal `a8. Calculer :
#»u·(#»u+#»v) 2#»u·(−4#»v) (#»u+#»v)·(#»u−#»v) (#»u+#»v)2 (#»u−#»v)2 (2#»u+ 3#»v)·(3#»u−2#»v)
Exercice 6
Soient #»u(2,1)et #»v(2−√
3,1 + 2√
3)deux vecteurs du plan. Calculer une mesure de l’angle(#»u ,#»v).
Exercice 7
Soient A,B etC trois points du plan etf l’application qui `a tout pointM du plan associe : f(M) = # »
AM·# » BC+# »
BM·# » CA+# »
CM ·# » AB
1. D´emontrer quef est la fonction nulle.
2. (Re)d´emontrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Exercice 8 – Th´ eor` emes de la m´ ediane
SoitABC un triangle etI le milieu deBC.
1. D´emontrer le th´eor`eme suivant (dit th´eor`eme d’Appolonius ou premier th´eor`eme de la m´ediane) :
AB2+AC2= 2AI2+BC2 2 2. D´emontrer le th´eor`eme suivant (dit second th´eor`eme de la m´ediane) :
# » AB·# »
AC=AI2−IB2
Exercice 9 – Puissance d’un point par rapport ` a un cercle
Soit un cercleC de rayonr, de centreO etM un point quelconque du plan. Soit enfin une droitedpassant parM et coupantC en deux pointsAetB.
1. En notantA0 le point diam`etralement oppos´e `aAdans le cercleC, d´emontrer que # » M A·# »
M B=# » M A·# »
M A0. 2. D´emontrer queM A# »·# »
M A0=M O2−OA2et en d´eduire queM A# »·M B# »=M O2−r2.
Exercice 10
Soit un cercle Cde diam`etre[AB]et de centreO. SoitC∈ C se projettant orthogonalement enH sur[AB].
Une droitedpassant parA coupe(CH)enN etC enM. 1. D´emontrer que # »
AM·# » AN = # »
AB·# » AH.
2. En d´eduire queAM# »·AN# »=AC2.
Exercice 11
Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal. D´eterminer la distance du pointA(1,4) `a la droite de repr´esen- tation polaireθ= 2π3 (π).
Exercice 12
Calculsded´eterminant
Soit ABC un triangle ´equilat´eral direct de cˆot´e 4 et I, J et K les points tels que BIC,CJ A, AKB sont trois triangles isoc`eles rectangle enI,J etK.
Calculer les d´eterminants suivants :
Det(# » AB,# »
AC) Det(# »
AC,# »
AJ) Det(# »
AC,# »
BJ) Det(# »
AK,# » AI)
Exercice 13
Dans le plan orient´e, deux vecteurs #»uet #»v ont pour norme respectives2et3et(#»u ,#»v) =−π6 (2π). Calculer : Det(#»u ,#»u−#»v) Det(4#»u ,−3#»v) Det(#»u+#»v ,#»u+#»v) Det(#»u−2#»v ,2#»u+#»v)
Exercice 14
Soit un triangle ABC. D´eterminer le pointD tel que l’aire deABD est ´egale `a 35 de l’aire de ABC, l’aire deBCD est ´egale `a 15 de l’aire deABC.
Exercice 15
Soit un rectangle ABCD. Iet J d´esignent les milieux de[AB]et [BC].
1. D´emontrer que(IC)et (J D)sont perpendiculaires si et seulement siABCD est un carr´e.
2. On suppose queABCDest un carr´e direct de cˆot´ea. Calculer etDet(IC,# » J D)# » en fonction deaet interpr´eter le r´esultat.
Exercice 16
Lignesdeniveau
On munit le plan P d’un rep`ere cart´esien orthonormal. SoitA(2,1),B(2,4) et #»u(−1,3).
1. (a) D´eterminer l’ensemble des pointsM(x, y)tels que #»u·# » AM= 0.
(b) D´eterminer l’ensemble des pointsM tels que #»u· # » AM= 3.
2. D´eterminer l’ensemble des pointsM tels que #»u·AM# »+ 2#»u·BM# »= 0.
3. D´eterminer l’ensemble des pointsM tels queAM# »·BM# »= 0.
4. (a) D´eterminer l’ensemble des pointsM tels queDet(AM ,# » #»u) = 3.
(b) D´eterminer l’ensemble des pointsM tels queDet(# »
AM ,#»u) = Det(# » BM ,#»u).
Exercice 17
r´esentationsparam´etriques uationcart´esiennesdedroites
On munit le plan P d’un rep`ere cart´esien orthonormal et on consid`ere la droitedde repr´esentation param´e-
trique : ß
x= 3−t
y=−1 + 2t t∈R 1. D´eterminer une ´equation cart´esienne ded.
2. D´eterminer une ´equation ded0 parall`ele `adpassant par le point de coordonn´ees(1,1).
3. Soitm∈R. On consid`ere la famille de droites∆md’´equations cart´esiennes : mx+ (m−1)y+ 2 = 0
(a) Pour quelle valeur dem,∆m est-elle parall`ele `a d? (b) Pour quelle valeur dem,∆m est-elle perpendiculaire `ad?
Exercice 18 – Droite d’Euler
On munit le plan P d’un rep`ere cart´esien orthonormal et on consid`ere les pointsA,B et C de coordonn´ees respectives(1,1), (3,7)et(−1,3).
1. (a) D´eterminer une ´equation cart´esienne de chacune des trois m´edianes du triangleABC.
(b) V´erifier que Gisobarycentre de A,B etC est l’intersection de ses m´edianes.
2. (a) D´eterminer une ´equation cart´esienne de chacune des trois m´ediatrices du triangleABC.
(b) V´erifier que ces trois m´ediatrices sont concourantes en un point not´eO.
3. (a) D´eterminer une ´equation cart´esienne de chacune des trois hauteurs du triangleABC.
(b) V´erifier que ces trois m´ediatrices sont concourantes en un point not´eH.
4. D´emontrer que les pointsG,O et H sont align´es.
Exercice 19
Distanced’unpoint `aunedroite
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere le pointA(2,2)et la droite de repr´esentation
param´etrique : ß
x= 2t+ 1
y=t−2 t∈R 1. Donner une ´equation cart´esienne de d.
2. En d´eduire d(A, d).
Exercice 20
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct, on consid`ere les droites d´efinies par :
d1 :
ß x=√ 3t
y=t t∈R et d2 :x= 0 1. Repr´esenterd1 etd2.
2. D´emontrer que le pointA(1,√
3) est ´equidistant de ces deux droites et en d´eduire l’´equation polaire de (OA).
Exercice 21
´ Equation cart´esiennedecercle
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct, pr´eciser la nature de l’ensemble des points M de coor- donn´ees (x, y)v´erifiant :
x2+ 4x+y2−6y= 8 x2+ 2x+y2+ 3 = 0 2x2+x+ 2y2−y= 8
Exercice 22 – Cercle circonscrit ` a un triangle
On munit le plan P d’un rep`ere cart´esien orthonormal et on consid`ere les pointsA,B et C de coordonn´ees respectives(1,3), (5,1)et(−1,−1).
1. D´eterminer une ´equation cart´esienne du cercle circonscrit au triangleABC.
2. Pr´eciser son centre et son rayon.
Exercice 23
R´esoudre et int´erpr´eter graphiquement le syst`eme suivant : ß x2+y2−6x+ 2y= 10
2x+ 3y= 1
Exercice 24
Intersectioncercleetdroite
On munit le plan P d’un rep`ere cart´esien orthonormal (O;#»ı ,#») et on consid`ere les points A et B de coordonn´ees respectives (1,4)et(3,2).
1. Donner l’´equation cart´esienne du cercleC de centreAet de rayon 3.
2. (a) On noteI l’intersection de(AB)et Cla plus proche de B. D´eterminer les coordonn´ees deI.
(b) Donner une ´equation cart´esienne de la tangente `a Cpassant parI.
3. (a) Donner des ´equations cart´esiennes des tangentes `aC passant parO.
(b) En donner ´egalement des ´equations polaires.
Exercice 25
Similitudesduplan
On munit le plan P d’un rep`ere orthonormal direct (O;#»u ,#»v)et de sa structure complexe associ´ee. Aet B sont deux points d’affixes12et9i.sest la similitude directe d’´ecriture complexe :
z0=−3 4iz+ 9i
1. Donner les ´el´ements caract´eristiques des.Ωd´esignera le centre des.
2. D´eterminers(A)ets(O).
3. (a) D´emontrer queΩest un point commun aux cerclesC1et C2de diam`etres[OA]et[OB].
(b) D´emontrer queΩest le pied de la hauteur issue deOdans le triangleOABet queΩA×ΩB = ΩO2.
Exercice 26
On munit le planP d’un rep`ere orthonormal direct(O;#»u ,#»v)et de sa structure complexe associ´ee.ABCD est un carr´e de centreOtel que(# »
OA,# »
OB) =π2 (2π).P est un point de[BC]distinct deB,Qest l’intersection de(AP)et (CD)et la perpendiculaire∆ `a(AP)passant parAcoupe(BC)enR et(CD)enS.
1. r d´esigne la rotation de centreAet d’angle π2. Quelle est l’image parrde(BC)? deR? deP? 2. Quelle est la nature des trianglesRAQ etP AS?
3. (a) On noteN et M les milieux de[P S]et [QR] etsest la similitude directe de centreA, d’angle π4 et de rapport √
2. D´eterminers(R)et s(P).
(b) Quel est le lieu g´eom´etrique deN quandP d´ecrit]BC]? En d´eduire queM,B,N etDsont align´es.
