G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire (cours de S. Parmentier): programme du CC1 2013

G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire (cours de S. Parmentier): programme du CC1 2013

Voici une liste des notions de cours au programme du CC1. Les multiples exemples de cours ne sont pas repris ici mais sont importants.

Des exemples de questions figurent dans le sujet du CC1 de 2012 et biensˆ ur dans les tds de J.

Germoni.

Les barycentres ne figurent pas au programme de ce CC1.

1. Espace affine usuel sur un corps commutatif K: il s’agit de l’ensemble K ⁿ des n− uplets d’´ el´ ements de K muni de l’application

K ⁿ × K ⁿ → K ⁿ

(A = (a 1 , . . . , a n ), B = (b 1 , . . . , b n )) 7→ − − →

AB = (b 1 − a 1 , . . . , b n − a n ) Cette application satisfait ` a la relation de Chasles: ∀A, B, C ∈ K ⁿ , −→

AC = − − → AB + − − →

BC.

2. Rep` ere de K <sup>n</sup> : R = (O, (~b 1 , . . . ,~b n )) o` u O ∈ K ⁿ (l’origine du rep` ere) et ( ~b i ) 1≤i≤n est une base de l’espace vectoriel K ⁿ .

3. Base affine: tout n + 1 uplets B = (P 0 , . . . , P n ), P i ∈ K ⁿ , tel que (P 0 , ( −−−→

P 0 P 1 , . . . , −−−→

P 0 P n )) soit un rep` ere de K ⁿ .

4. Coordonn´ ees d’un point dans le rep` ere R: tout point M ∈ K <sup>n</sup> s’´ ecrit d’une unique mani` ere sous la forme

M = O + −−→

OM = O +

n

X

i=1

x i ~b i .

Les scalaires x i ∈ K, i ∈ [1, n], sont appel´ es les coordonn´ ees de M dans le rep` ere R.

5. Changement de rep` eres: pour 2 rep` eres R = (O, ( ~b i )) et R ⁰ = (O ⁰ , ( ~b ⁰ _i )), la relation

−−→ OM = −−→

OO ⁰ + − −− → O ⁰ M s’´ ecrit

n

X

j=1

x j ~b j =

n

X

j =1

z j ~b j +

n

X

i=1

x ⁰ _i ~b ⁰ _i =

n

X

j=1

z j ~b j +

n

X

i=1

x ⁰ _i (

n

X

j=1

P ji ~b j )

o` u z 1 , . . . , z n sont les coordonn´ ees de O <sup>0</sup> dans le rep` ere R et P est la matrice de passage de ( ~b i ) ` a (~b ⁰ _i ). Matriciellement, on a

X = Z + P X ⁰ .

6. Sous-espaces affines: soit P ⊂ K ⁿ une partie non vide. On dit que P est un sous-espace affine de K ⁿ s’il existe A ∈ P et un sous-espace vectoriel W ⊂ K ⁿ tels que

P = {M, −−→

AM ∈ W }.

Le sous-espace W est appel´ e la direction de P et est not´ e − →

P . La dimension de P est par d´ ef.

dim K

−

→ P . Pour un sous-espace affine P on a: ∀B ∈ P, P = {M, −−→

BM ∈ − → P }.

7. Intersection: Si elle est non vide, l’intersection T

j∈J P j de toute famille (P j ) j∈J de sous-espaces affines de K ⁿ est un sous-espace affine de direction T

j∈J

− →

P j .

8. Crit` ere d’intersection de 2 sous-espaces affines: soient P, P ⁰ 2 sous-espaces affines, A ∈ P, A ⁰ ∈ P ⁰ .

P ∩ P ⁰ 6= ∅ ⇔ −−→

AA ⁰ ∈ − → P + − →

P ⁰ .

9. Sous-espaces affines suppl´ ementaires: 2 sous-espaces affines P, P ⁰ de K ⁿ sont dits suppl´ e- mentaires si

K ⁿ = − → P ⊕ − →

P ⁰ .

Par le crit` ere 8, P ∩ P ⁰ 6= ∅ et par le point 7, P ∩ P ⁰ est un sous-espace affine de direction

−

→ P ∩ − →

P ⁰ = { ~ 0}. D` es lors P ∩ P ⁰ est un singleton.

10. Enveloppe affine: soit une partie Q ⊂ K ⁿ . L’intersection de tous les sous-espaces affines de K ⁿ contenant Q est appel´ ee l’enveloppe affine de Q. Cette enveloppe est not´ ee hQi.

C’est le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace affine de K ⁿ contenant Q.

11. Enveloppe affine d’une famille finie {M j , j ∈ [0, m]} de points de K ⁿ : hM 0 , . . . , M m i = M 0 + V ec( −−−−→

M 0 M 1 , . . . , −−−−→

M 0 M m ).

12. Equation d’un sous-espace P dans un rep` ere R: soit (x i ) 1≤i≤n les cordonn´ ees d’un point M ∈ K <sup>n</sup> dans le rep` ere R = (O, (~b i ) _1≤i≤n ), d = dim P , A ∈ P et soit L : K ⁿ → K ^n−d une application lin´ eaire telle que Ker L = − →

P . On a M ∈ P ⇔ L( −−→

AM ) = (0, . . . , 0) ⇔ L( −−→

OM ) = L( −→

OA),

ce qui s’´ ecrit en coordonn´ ees sous la forme d’un syst` eme de n −d ´ equations lin´ eaires ind´ ependantes l 11 x 1 + . . . + l 1n x n = d 1

.. . .. . = .. . l n−d 1 x 1 + . . . + l n−d n x n = d n−d

Cas particulier: un hyperplan affine (d = n − 1) est donn´ e dans R par une seule ´ equation (qui est unique ` a un scalaire pr` es).

Pour P de dimension d ≤ n − 1, le syst` eme d’´ equations revient ` a r´ ealiser P comme intersection de n − d hyperplans affines. Lorsque d ≤ n − 2 ce syst` eme d’´ equations n’est pas unique.

13. Applications affines: une application f : K ⁿ → K ⁿ

est dite affine s’il existe un point M ∈ K ⁿ et une application lin´ eaire L : K ⁿ → K ⁿ

tels que

∀N ∈ K ⁿ , −−−−−−−→

f (M )f(N ) = L( −−→

M N) (?)

Si (?) est satisfaite pour M et tout N , elle est satisfaite pour tout (M, N ) ∈ K ⁿ × K ⁿ ; L est uniquement d´ etermin´ ee par f et est not´ ee − →

f .

14. Soient A ∈ K ⁿ , A ⁰ ∈ K ⁿ

et L : K ⁿ → K ⁿ

une application lin´ eaire. Il existe une unique application affine f : K ⁿ → K ⁿ

telle que f (A) = A ⁰ , − →

f = L. f est donn´ ee par

∀M ∈ K ⁿ , f (M) = A ⁰ + L( −−→

AM ).

15. Soient f : K ⁿ → K ⁿ

, f ⁰ : K ⁿ

→ K ⁿ

2 applications affines.

- f est injective (surjective) ssi − →

f est injective (surjective).

- f ⁰ ◦ f est affine et −−−→

f ⁰ ◦ f = − → f ⁰ ◦ − →

f .

- Si f est bijective (auquel cas n = n ⁰ ), f ⁻¹ est affine et −−→

f ⁻¹ = − → f ⁻¹ .

16. Soit une base affine (P 0 , P 1 , . . . , P n ) de K ⁿ et un n + 1− uplet arbitraire (P ₀ ⁰ , P ₁ ⁰ , . . . , P _n ⁰ ) de points de K ⁿ

.

Il existe une unique application affine f : A → A ⁰ telle que pour tout i, f(P i ) = P _i ⁰ . D´ emo: Ecrire le point P ∈ K ⁿ dans le rep` ere (P 0 , ( −−→

P 0 P i ) 1≤i≤n ): P = P 0 + P n i=1 x i

−−→ P 0 P i avec x i ∈ K.

Pour toute application affine f : K ⁿ → K ⁿ

on a f (P ) = f(P 0 ) + − →

f ( −−→

P 0 P ) = f (P 0 ) +

n

X

i=1

x i − → f ( −−→

P 0 P i ).

La condition pour tout i, f(P i ) = P _i ⁰ donne

f (P 0 ) = P ₀ ⁰ (1) et pour i 6= 0,

− −− →

P ₀ ⁰ P _i ⁰ = −−−−−−−→

f (P 0 )f (P i ) = − → f ( −−→

P 0 P i ) (2) (1) donne l’image d’un point. (2) donne − →

f car ( −−−→

P 0 P 1 , . . . , −−−→

P 0 P n ) est une base. D` es lors notre condition d´ etermine f (par 14) et f est donn´ ee par

f (P) = P ₀ ⁰ +

n

X

i=1

x i

− −− → P ₀ ⁰ P _i ⁰ .

Lorsque n = n ⁰ , f est une bijection affine ssi (P ₀ ⁰ , . . . , P _n ⁰ ) est une base affine de K ⁿ .

17. Applications affines et sous-espaces: soit f : K ⁿ → K ⁿ

affine, P ⊂ K ⁿ , P ⁰ ⊂ K ⁿ

, 2 sous- espaces affines.

- f (P ) est un sous-espace affine de K ⁿ

. Pour A ∈ P on a f (P ) = f (A) + − → f ( − →

P ).

- f ⁻¹ (P ⁰ ) est un sous-espace affine de K ⁿ . Pour A ∈ f ⁻¹ (P ⁰ ) on a f ⁻¹ (P ⁰ ) = A + − → f ⁻¹ ( − →

P ⁰ ).

18. Soit f : K ⁿ → K ⁿ

affine. L’image f(hQi) de l’enveloppe affine (cf 11) de la partie finie Q ⊂ K ⁿ est l’enveloppe affine hf (Q)i ⊂ K ⁿ

.

19. Projections affines: soit P un sous-espace affine de K ⁿ de direction − →

P et W ⊂ K ⁿ un sous- espace vectoriel tel que K ⁿ = − →

P ⊕ W.

Pour un point M ∈ K ⁿ d´ esignons par P M l’unique sous-espace affine de K ⁿ passant par M et tel que −→

P M = W. P et P M sont alors suppl´ ementaires (cf 9) et P ∩ P M est un singleton. Notons P ∩ P M = {p(M )}. L’application

p : K ⁿ → K ⁿ : M 7→ p(M)

est affine et est appel´ ee la projection affine sur P parall` element ` a la direction W. Pour un point O ∈ P on a, pour tout M ∈ K ⁿ ,

p(M) = O + pr− → P ( −−→

OM )

o` u −−→

OM = pr− → P ( −−→

OM ) + pr W ( −−→

OM ) est la d´ ecomposition de −−→

OM relative ` a la somme directe K ⁿ =

−

→ P ⊕ W.

On a p ◦ p = p. Toute application affine f telle que f ◦ f = f est appel´ ee un projecteur affine. Pour O ∈ f (K ⁿ ), c’est la projection affine sur O + Ker ( − →

f − id K

) parall` element ` a Ker − → f . 20. Sym´ etries affines: on reprend les notations du 19. L’application

s : K ⁿ → K ⁿ : M 7→ O + pr− → P ( −−→

OM) − pr W ( −−→

OM )

est appel´ ee la sym´ etrie affine de sous-espace P et de direction W. On a s◦ s = id. Toute application affine f telle que f ◦ f = id est appel´ ee une sym´ etrie affine. Toute sym´ etrie affine admet un point fixe O et est la sym´ etrie de sous-espace O + ker( − →

f − id K

) et de direction Ker( − →

f + id K

).

21. Groupes affines: par le point 15, l’ensemble GA n des bijections affines de K ⁿ est un groupe pour la composition des applications.

- L’application

GA n → GL n (K) : f 7→ − → f

est un morphisme de groupes surjectif dont le noyau est le sous-groupe (distingu´ e) des translations de K ⁿ .

- Soit O ∈ K ⁿ . L’ensemble G O des bijections affines g ∈ GA n fixant O (g(O) = O) est un sous-groupe de GA n .

- Toute bijection affine f ∈ GA n se d´ ecompose d’une mani` ere unique sous la forme f = τ ◦ g

o` u τ est une translation et g ∈ G O : τ est la translation de vecteur −−−−→

Of (O) et g(M ) = O + − → f ( −−→

OM ).

En d’autres termes: l’application

GA n → K ⁿ × GL n (K) : f 7→ ( −−−−→

Of (O), − → f ) est une bijection.

22. Bijections affines stabilisant une partie: soit une partie Q ⊂ K ⁿ . L’ensemble G Q des bijections affines f ∈ GA n telles que f (Q) = Q (i.e. telles que ∀q ∈ Q, f (q) ∈ Q et f ⁻¹ (q) ∈ Q) est un sous-groupe du groupe affine.

23. Le groupe du t´ etra` edre: soit T = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } l’ensemble des sommets d’un t´ etra` edre (non aplati) de R ³ et G T le sous-groupe de GA n stabilisant T. Toute f ∈ G T induit par restriction ` a T une bijection

f _|

: T → T.

Il existe donc une permutation σ ∈ S 4 telle que pour tout i ∈ [1, 4], f T (P i ) = P σ(i) .

L’application

φ : G T → S 4 : f 7→ σ est un morphisme de groupes.

φ est surjectif: en effet, (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) ´ etant une base affine de R ³ , par 16, pour toute σ ∈ S 4 , il existe une unique application affine f telle que f (P i ) = P σ(i) , i ∈ [1, 4]. Comme f envoie une base affine sur une base affine, elle est bijective, i.e. f ∈ G T .

φ est injectif: en effet si σ = σ ⁰ i.e. si f _|T = f _|T ⁰ , f et f ⁰ coincident sur la base affine (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 ) donc f = f ⁰ par 16.

Conclusion: G T est isomorphe ` a S 4 . En particulier, | G T |= 24.

G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire (cours de S. Parmentier): programme du CC2 2013

Voici une liste des notions de cours au programme du CC2. Il s’agit du chapitre intitul´ e barycentres et convexit´ e et du chapitre rappels sur les espaces euclidiens et groupe orthogonal. Les angles orient´ es et sph´ eriques, a fortiori la formule d’Euler, ne sont pas au programme du CC2.

Bien sˆ ur, les notions importantes du premier r´ esum´ e sont suppos´ ees acquises. Les exemples de cours ne sont pas tous repris mais sont importants, idem pour les travaux dirig´ es.

On consid` ere l’espace affine R ⁿ . I.

24. Barycentres

Pour r + 1 points P 0 , P 1 , . . . , P r ∈ R ⁿ et des r´ eels a 0 , a 1 , . . . , a r ∈ R v´ erifiant

r

X

i=0

a i 6= 0,

l’application f : R ⁿ → R ⁿ d´ efinie par

P 7→

r

X

i=0

a i

−−→ P P i .

est une bijection.

Le barycentre des points pond´ er´ es (P i , a i ) _0≤i≤r est l’unique point S ∈ R ⁿ pour lequel f (S) = 0.

Pour tout point Q ∈ R ⁿ on a

S = Q + 1 P r

j=0 a j r

X

i=0

a i −−→

QP i .

Remarques et terminologie:

- l’expression explicite qui pr´ ec` ede ne d´ epend pas du point Q. En particulier on peut prendre Q = P 0 .

- dans le cours, j’utilise la notation S =

P 0 P 1 · · · P r

a 0 a 1 · · · a r

.

- pour tout a ∈ R \ {0} on a

P 0 P 1 · · · P r

a a 0 a a 1 · · · a a r

=

P 0 P 1 · · · P r

a 0 a 1 · · · a r

.

- le barycentre

P 0 P 1 · · · P r

1 1 · · · 1

est appel´ e l’ isobarycentre de (P i ) 0≤i≤r . En particulier A B

1 1

est le point milieu du segment [A, B].

25. Propri´ et´ e 1 (fondamentale): le barycentre est associatif, ce qui signifie:

pour toute partition

{0, 1, . . . , r} = I 0 ∪ I 1 ∪ · · · ∪ I q

v´ erifiant

∀k ∈ {0, . . . q}, X

i∈I

a i 6= 0

on a

P 0 P 1 · · · P r

a 0 a 1 · · · a r

=

S 0 S 1 · · · S q

P

i∈I

a i

P

i∈I

a i · · · P

i∈I

a i

o` u S k est le barycentre des points pond´ er´ es (P i , a i ) _i∈I

.

Bis repetita: l’associativit´ e du calcul barycentrique est importante. Elle est souvent utilis´ ee pour faire la preuve de propri´ et´ es d’incidence.

Par exemple l’assertion

- les 3 droites passant par les milieux des ar` etes oppos´ ees d’un t´ etra` edre de sommets A, B, C, D sont concourantes -

provient de

A B C D

1 1 1 1

=

A B

1 1

C D

1 1

2 2

!

=

A C

1 1

B D

1 1

2 2

!

=

A D

1 1

B C

1 1

2 2

!

26. Applications affines et barycentres.

Propri´ et´ e 2 (fondamentale): Les applications affines conservent les barycentres, ce qui signifie:

Toute application affine f : R ⁿ → R ⁿ

satisfait ` a f (

P 0 P 1 · · · P r

a 0 a 1 · · · a r

) =

f (P 0 ) f (P 1 ) · · · f (P r ) a 0 a 1 · · · a r

27. Bijections affines conservant une partie finie P = {P 0 , P 1 , . . . , P r } ⊂ R ⁿ Propri´ et´ e 3 (fondamentale):

- L’ensemble G P := {f ∈ GA n , f (P ) = P } des bijections affines qui conservent P est un sous-

groupe du groupe affine GA n .

- Pour toute f ∈ G P , f (

P 0 P 1 · · · P r

1 1 · · · 1

) =

P 0 P 1 · · · P r

1 1 · · · 1

.

Pour rappel: dire qu’une bijection affine f conserve une partie P , ce que l’on ´ ecrit f (P ) = P, signifie

∀p ∈ P, f (p) ∈ P et f ⁻¹ (p) ∈ P.

Ceci n’implique pas que les points de P sont des points fixes de f .

Par exemple, la rotation ρ du plan R ² de centre (0, 0) et d’angle ^2π ₃ conserve l’ensemble des sommets A = (1, 0), B = (− 1

2 ,

√ 3

2 ), C = (− 1 2 , −

√ 3 2 )

du triangle ´ equilat´ eral (cf les racines 3-i` emes de l’unit´ e dans C ' R ² ) sans fixer ceux-ci puisque ρ(A) = B, ρ(B) = C, ρ(C) = A.

La deuxi` eme assertion de la propri´ et´ e 3 est un exemple simple de th´ eor` eme de point fixe: si la bijection affine f conserve P i.e. si f permute les points de P , alors f fixe l’isobarycentre des points de P. C’est un cas particulier de la propri´ et´ e 2.

28. Exemple important de groupe conservant une partie finie: le groupe du t´ etra` edre (cf point 23 du resum´ e 1).

L’exemple du t´ etra` edre se g´ en´ eralise, avec la mˆ eme preuve, ` a toute dimension n ≥ 2:

Pour toute base affine (P 1 , . . . , P n+1 ) de R ⁿ le groupe G P des bijections affines qui conservent la partie P = {P 1 , . . . , P n+1 } est isomorphe au groupe des permutations S n+1 .

En particulier, le groupe des bijections affines du plan R ² qui conservent les sommets d’un triangle est isomorphe ` a S 3 .

Comme d´ ecrit dans le corrig´ e du CC1, la situation est tr` es diff´ erente pour les polygones du plan ` a n ≥ 4 sommets car ces sommets ne forment plus une base affine du plan. Par exemple, le groupe du carr´ e G C est d’ordre 8. En g´ en´ eral le groupe du polygone r´ egulier du plan ` a n ≥ 3 cˆ ot´ es, appel´ e le groupe di´ edral est d’ordre 2n. Observez que 2n =| S n |= n! ssi n = 3. Pour n ≥ 4, certaines permutations des sommets du polygone ne sont pas les restrictions ` a l’ensemble des sommets d’une bijection affine du plan.

29. Convexit´ e

Soient P 0 , P 1 ∈ R ⁿ . Le segment

[P 0 , P 1 ] =

P 0 P 1

1 − t t

, t ∈ [0, 1]

est l’ensemble des barycentres des points pond´ er´ es (P 0 , a) et (P 1 , b) avec a ≥ 0, b ≥ 0, a + b 6= 0.

Def: Une partie C ⊂ R ⁿ est dite convexe si

∀(P 0 , P 1 ) ∈ C ² , [P 0 , P 1 ] ⊂ C.

Propri´ et´ es:

- l’intersection C ∩ C ⁰ de parties convexes C et C ⁰ est convexe

- l’image f(C) d’une partie convexe C par une application affine f est convexe.

- l’image r´ eciproque f ⁻¹ (C ⁰ ) d’un convexe C ⁰ par une application affine f est convexe.

Toute application affine

f : R ⁿ → R : (x 1 , . . . , x n ) 7→ a 1 x 1 + · · · + a n x n + b

est appel´ ee un forme affine. En consid´ erant l’une de ses ´ equations dans le rep` ere canonique, tout hyperplan affine de R <sup>n</sup> s’´ ecrit f <sup>−1</sup> (0) pour une forme affine f non constante (unique ` a un multiple pr` es). Pour une telle forme affine

R ⁿ = f ⁻¹ (R >0 ) ∪ f ⁻¹ (0) ∪ f ⁻¹ (R <0 ) ( r´ eunion disjointe de convexes )

Les parties f ⁻¹ (R >0 ), resp. f ⁻¹ (R ≥0 ), sont appel´ ees demi - espaces ouverts, resp. ferm´ es. Idem pour < .

Def.

(1) On dit que la partie P ⊂ R ⁿ est un poly` edre convexe s’il existe des formes affines non constantes f j : R ⁿ → R, j ∈ [1, d], telles que P soit l’intersection finie

P = \

1≤j≤d

f _j ⁻¹ (R ≥0 ) des demi-espaces ferm´ es associ´ es aux f j .

(2) On appelle fronti` ere ou bord du poly` edre convexe P l’ensemble des x ∈ P pour lesquels il existe j ∈ [1, d], f j (x) = 0. On appelle int´ erieur de P , l’ensemble des x ∈ P pour lesquels f j (x) > 0 pour tout j ∈ [1, d]. Notons ∂P le bord et Int(P ) l’int´ erieur de P. On a

P = Int(P) [

∂P.

(3) On dit que P ⊂ R ⁿ est un polytope si P est un poly` edre convexe born´ e et d’int´ erieur non vide.

Pour n = 2 un polytope est appel´ e un polygone.

Exemples/contre-exemples:

- Tout demi espace ferm´ e de R ⁿ est un poly` edre convexe non born´ e d’int´ erieur non vide.

- Toute droite affine D du plan est un poly` edre convexe non born´ e d’int´ erieur vide. En effet, si D = f ⁻¹ (0), on a

D = f ⁻¹ (R _≥0 ) \

(−f) ⁻¹ (R _≥0 ).

- Tout segment ferm´ e [P 0 , P 1 ] du plan est un poly` edre convexe born´ e d’int´ erieur vide.

- Tout t´ etra` edre T plein non aplati de R ³ , tout cube plein de R ³ ,... sont des polytopes.

- (voir point 30) L’enveloppe convexe [P 0 , . . . , P n ] d’une base affine (P 0 , . . . , P n ) de R ⁿ est un polytope.

30. Enveloppe (ou clˆ oture) convexe d’une partie finie P ⊂ R ⁿ .

Def: On appelle enveloppe convexe de P la plus petite partie convexe (pour l’inclusion) de R ⁿ contenant P. C’est l’intersection des parties convexes de R ⁿ contenant P .

Par analogie au segment [P 0 , P 1 ], je noterai [P] l’enveloppe convexe de la partie P .

Proposition: soit P = {P 0 , P 1 , . . . , P r }. On a [P ] = P 0 P 1 · · · P r

a 0 a 1 · · · a r

, a i ≥ 0,

r

X

i=0

a i 6= 0

i.e. l’enveloppe convexe de P est l’ensemble des barycentres des points pond´ er´ es (P i , a i ) 0≤i≤r ` a poids a i positifs.

Remarque: la preuve de cet ´ enonc´ e tr` es utile utilise une r´ ecurrence sur le nombre r ≥ 2 de points de P.

31. Image affine d’une enveloppe convexe.

Comme corollaire imm´ ediat de la conservation des barycentres (propri´ et´ e 2 du point 26) on a la Propri´ et´ e 4: soit P ⊂ R ⁿ une partie finie et f : R ⁿ → R ⁿ

une application affine. Alors, f ([P]) = [f(P )].

En mots: l’image par f de l’enveloppe convexe de {P 0 , . . . , P r } est l’enveloppe convexe des points images {f (P 0 ), . . . , f(P r )}.

Exemple: soient A, B, C, D les quatre sommets d’un t´ etra` edre.

L’enveloppe convexe [A, B, C, D] est le t´ etra` edre plein. Par le corollaire, toute bijection affine f conservant l’ensemble des sommets {A, B, C, D} conserve aussi le t´ etra` edre plein [A, B, C, D].

Toute bijection affine conservant l’ensemble des sommets d’un cube, conserve le cube plein. Par la propri´ et´ e 3 cette bijection fixe le centre du cube (car c’est l’isobarycentre de ses sommets).

II.

32. Polynˆ omes de Bernstein B k,n (t) =

n k

t ^k (1 − t) ^n−k , 0 ≤ k ≤ n, t ∈ [0, 1]

Partition de l’unit´ e: P n

k=0 B k,n (t) = 1

Relation de r´ ecurrence: B k,n (t) = (1 − t)B k,n−1 (t) + tB k−1,n−1 (t) avec la convention B l,m (t) = 0 pour l < 0 et pour l > m.

33. Courbe de B´ ezier sur les points de contrˆ oles P 0 , . . . , P n du plan d’origine O:

M (t) = O +

n

X

k=0

B k,n (t) −−→

OP k

i.e.

M(t) =

P 0 . . . P n

B 0,n (t) . . . B n,n (t)

Proposition:

P 0 . . . P n+1

B 0,n+1 (t) . . . B n+1,n+1 (t)

=

P 0 . . . P n

B 0,n (t) . . . B n,n (t)

P 1 . . . P n+1

B 0,n (t) . . . B n,n (t)

1 − t t

!

34. Algorithme de Casteljau: cet algorithme, bas´ e sur la proposition du point 33, d´ etermine, pour

t ∈ [0, 1], le point M (t) de la courbe de B´ ezier par un calcul de barycentres successifs:

Initialiser M j,0 = P j et poser, ` a l’´ etape l ∈ [1, n], M j,l =

M j,l−1 M j +1,l−1

1 − t t

, j ∈ [0, n − l].

On a alors M 0,n (t) = M (t).

III.

Pour ce qui suit, des rappels (plus complets que ceux du cours sur les questions euclidiennes vectorielles) et les preuves de cours figurent au chapitre 2 du poly que je vous ai transmis. J’omets les rappels ici.

(E, h , i) d´ esigne un espace euclidien de dimension n ≥ 1, i.e. un espace vectoriel r´ eel de dimension n muni d’un produit scalaire E × E → R : (u, v) 7→ hu, vi. La distance euclidienne est donn´ ee par

d(u, v) = p

hu − v, u − vi.

35. Groupe orthogonal Il s’agit du groupe

O(E) = {f ∈ End(E), ∀u, v ∈ E, hf (u), f (v)i = hu, vi}.

Soit O ^± (E) = {f ∈ O(E), det(f ) = ±1}. O ⁺ (E) < O(E) est un sous-groupe distingu´ e, O ⁻ (E) n’est pas un sous-groupe de O(E) et

O(E) = O ⁺ (E) [

O ⁻ (E).

Le groupe O(E) est ´ egal au groupe Isom(E) des isom´ etries lin´ eaires (i.e. des endomorphismes de E qui conservent la distance d).

36. Groupe orthogonal et r´ eflexions

Pour rappel, on appelle sym´ etrie (lin´ eaire) tout endomorphisme s ∈ End(E) tel que s ² = id. s

´

etant annul´ e par le polynˆ ome scind´ e simple X ² − 1 sur R, s est diagonalisable de spectre Spec(s) ⊂ {+1, −1} et on a

E = Ker(s − id) ⊕ Ker(s + id).

Prop. s ∈ O(E) ⇔ Ker(s − id) ^⊥ = Ker(s + id).

Def. On appelle r´ eflexion toute sym´ etrie orthogonale pour laquelle dim(Ker(s − id)) = dimE − 1.

Th´ eor` eme: Les r´ eflexions engendrent le groupe orthogonal O(E). Plus pr´ ecis´ ement, quel que soit f ∈ O(E) il existe p r´ eflexions s 1 , . . . , s p avec p ≤ dim(E) telles que

f = s 1 ◦ s 2 ◦ · · · ◦ s p . 37. Somme directe adapt´ ee ` a un endomorphisme orthogonal

Th´ eor` eme: soit f ∈ O(E). Il existe une d´ ecomposition en somme directe

E = M

1≤i≤r

W i

avec

∀i, f (W i ) ⊂ W i , dim W i ≤ 2 et ∀i 6= j, W i ⊥ W j .

Etapes de la preuve: (i) commencer par montrer que pour f ∈ End(E) il existe un sous-espace W ⊂ E non nul de dimension au plus 2 tel que f (W) ⊂ W.

(ii) observer ensuite que pour f ∈ O(E), f (W ) ⊂ W implique f (W ^⊥ ) ⊂ W ^⊥ .

(iii) Le th´ eor` eme r´ esulte d’une r´ ecurrence: c’est vrai pour n = 1. Supposer l’assertion vraie pour tout espace euclidien de dimension ≤ n et soit E de dimension n + 1. Pour f ∈ O(E), choisir un sous-espace W ⊂ E non nul de dimension au plus 2 tel que f(W ) ⊂ W et appliquer l’hypoth` ese de r´ ecurrence ` a l’endomorphisme f _|

W⊥

∈ O(W ^⊥ ).

38. Forme normale matricielle

Pour rappel: f ∈ O(E ) ⇔ la matrice A de f dans toute base orthonorm´ ee de E satisfait ` a

t AA = 1 n = A ^t A.

Th´ eor` eme: soit f ∈ O(E). Il existe une base orthonorm´ ee de E telle que la matrice A de f dans cette base s’´ ecrit

A =



















1 p

0 · · · · · · 0 0 −1 p

. . . . . . .. . .. . . . . R(θ 1 ) . . . .. . .. . . . . . . . . . . 0 0 · · · · · · 0 R(θ r )



















o` u p + + p − + 2r = dimE = n et R(θ i ) =

cos(θ i ) −sin(θ i ) sin(θ i ) cos(θ i )

.

Cette forme matricielle r´ esulte du th´ eor` eme du point 37 et des observations suivantes:

(1) toute valeur propre r´ eelle d’un endomorphisme orthogonal est soit +1 soit −1.

(2) en dimension 2, O ⁺ (E) est constitu´ e des rotations, de matrice R(θ) dans une base orthonorm´ ee et O ⁻ (E) est constitu´ e des r´ eflexions de matrice

1 0 0 −1

dans une base orthonorm´ ee constitu´ ee de vecteurs propres.

39. Isom´ etries affines.

Pour P, Q ∈ R ⁿ , notons d(P, Q) = q

h − − → P Q, − − →

P Qi la distance euclidienne.

Def: Une application affine f : R ⁿ → R ⁿ est appel´ ee une isom´ etrie (affine) si quels que soient P, Q ∈ R ⁿ , d(f (P ), f (Q)) = d(P, Q).

Prop. Une application affine f : R ⁿ → R ⁿ est une isom´ etrie (affine) ssi − →

f ∈ O(R ⁿ ).

Th´ eor` eme. L’ensemble Is n des isom´ etries affines de R ⁿ est un sous-groupe du groupe affine GA n . Pour O ∈ R ⁿ , l’application

Is n → R ⁿ × O(R ⁿ ) : f 7→ ( −−−−→

Of (O), − →

f )

est une bijection.

Remarque: il s’agit de la restriction aux isom´ etries de la bijection du point 21 du r´ esum´ e 1. Comme pour le point 21, cette bijection n’est pas un isomorphisme de groupes de Is n sur le produit des groupes (R ⁿ , +) et (O(R ⁿ ), ◦).

On pose

Is ^± _n = {f ∈ Is n , det( − →

f ) = ±1}.

Is ⁺ _n est un sous-groupe distingu´ e de Is n appel´ e le groupe des d´ eplacements. Is ⁻ _n n’est pas un sous-groupe de Is n . Is ⁻ _n est appel´ e l’ensemble des anti-d´ eplacements. On a

Is n = Is ⁺ _n [

Is ⁻ _n .

G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire (cours de S. Parmentier): programme du CC3 2013

Voici un r´ esum´ e des notions importantes pr´ esent´ ees depuis le CC2. Je n’ai pas suivi l’ordre de pr´ esentation du cours. En particulier, les angles orient´ es ne sont pas repris dans ce r´ esum´ e et ne figurent pas au programme du CC3.

Le CC3 porte sur l’ensemble du cours.

J’attire votre attention sur les ´ equations de sous-espaces, le calcul d’incidence, i.e. des points d’intersection de sous-espaces, les applications affines, en particulier les homoth´ eties, les projec- tions, les sym´ etries, les isom´ etries affines notamment les r´ eflexions et les rotations, les isom´ etries transformant une configuration en une autre configuration du mˆ eme type (par exemple, une paire de droites sur une paire de droites, un cube sur un cube, ....); le chapitre sur les barycentres et la convexit´ e est fondamental. Parmi les notions n’ayant pas encore fait l’objet d’un contrˆ ole, ne vous pr´ esentez pas au CC3 sans avoir r´ evis´ e la fonction de volume euclidien et le calcul du volume de polytopes, les notions d’ angles g´ eom´ etriques et sph´ eriques, la formule d’Euler (sans d´ emo), la r´ eduction des coniques.

La note N du cours sera calcul´ ee comme suit: N = CC1/20 + M ax(CC2, CC3)/40 + CC3/40.

40. Fonction de volume euclidien.

Def. On appelle fonction de volume euclidien de dimension n ≤ N dans R ^N toute application vol n : (R ^N ) ⁿ → R

invariante par dilatation:

∀c ∈ R, vol n (a 1 , . . . , ca i , . . . , a n ) =| c | vol n (a 1 , . . . , a i , . . . , a n ), invariante par cisaillement:

∀c ∈ R, i 6= j, vol n (a 1 , . . . , a i + ca j , . . . , a j , . . . , a n ) = vol n (a 1 , . . . , a i , . . . , a j , . . . , a n ), invariante par isom´ etrie lin´ eaire:

∀Q ∈ O(R ^N ), vol n (Qa 1 , . . . , Qa n ) = vol n (a 1 , . . . , a n ), normalis´ ee:

vol n (e 1 , . . . , e n ) = 1 o` u e 1 , . . . , e n sont les n premiers ´ el´ ements de la base canonique.

Lemme: toute fonction de n− volume est nulle sur une famille li´ ee et vaut le produit des normes des vecteurs sur une famille orthogonale.

41. Matrice de Gram

Soit (a l ) _1≤l≤n n ´ el´ ements de R ^N . On note ( | ) le produit scalaire standard de R ^N . Def. On appelle matrice de Gram de (a l ) _1≤l≤n la matrice n × n sym´ etrique suivante:

G(a 1 , . . . , a n ) = (a i | a j )

1≤i,j≤n .

Si A d´ esigne la matrice de type N × n des composantes de a 1 , . . . , a n dans la base canonique (plus g´ en´ eralement dans une base orthonorm´ ee) de R ^N , on a

G(a 1 , . . . , a n ) = ^t A A.

Propri´ et´ e: on suppose (a l ) 1≤l≤n libre. G(a 1 , . . . , a n ) est alors une matrice d´ efinie positive, en particulier son d´ eterminant est un r´ eel strictement positif.

42. La fonction de volume euclidien est unique.

Th´ eor` eme: Il existe une unique fonction de volume euclidien de dimension n ≤ N , elle est donn´ ee par

vol n (a 1 , . . . , a n ) = p

det(G(a 1 , . . . , a n )).

Remarque: ce r´ esultat est important. La preuve (un peu technique) omise en cours ne vous sera pas demand´ ee.

Le cas n = N : lorsque n = N , on a vol N (a 1 , . . . , a N ) = p

det( ^t A A) = √

det ^t A detA =| detA | . Bis repetita: le d´ eterminant est en valeur absolue une mesure de volume.

43. Parall´ elotopes et leur volume.

Soit (P 0 , . . . , P N ), un N + 1− uplet de points de l’espace affine R ^N . Def. On appelle parall´ elotope port´ e par (P l ) 0≤l≤N la partie

Q(P 0 , . . . , P N ) := {P 0 + X

1≤i≤N

λ i

−−→ P 0 P i , 0 ≤ λ i ≤ 1}.

On appelle volume du parall´ elotope Q(P 0 , . . . , P N ) le volume euclidien de ( −−→

P 0 P l ) _1≤l≤N , i.e.

vol Q(P 0 , . . . , P N ) = vol N ( −−−→

P 0 P 1 , . . . , −−−→

P 0 P N ).

Application affine et volume: pour tout parall´ elotope Q et toute application affine f : R ^N → R ^N , on a

vol f (Q) =| det ~ f | vol Q.

44. Disgression, ` a titre informatif, sur la notion g´ en´ erale de ’mesure’ ou ’volume’.

Par le point 43. on sait associer ` a tout parall´ elotope Q un r´ eel vol(Q) appel´ e son volume (son aire lorsque Q est un parall´ elogramme du plan). La question est de savoir comment d´ efinir une notion d’aire pour une partie plus g´ en´ erale P du plan, une notion de volume pour une partie de l’espace, etc.. Il s’agit donc de savoir comment mesurer certaines parties de R ^N ou plus g´ en´ eralement certaines parties d’un ensemble X. Cette th´ eorie de la mesure est formalis´ ee comme suit:

On se donne un ensemble X et on note P (X) l’ensemble de ses parties.

Les parties de X ` a mesurer sont alors vues comme ´ el´ ements d’une collection A ⊂ P (X) satisfaisant aux conditions naturelles suivantes

(i) ∅ ∈ A,

(ii) A est stable par passage au compl´ ementaire: si M ∈ A alors X \ M ∈ A,

(iii) A est stable par passage ` a la r´ eunion d´ enombrable: si {M i } i∈I est une famille d´ enombrable de A alors S

i∈I M i ∈ A.

Def. On appelle mesure sur A toute application

µ : A → R + ∪ {∞}

qui est additive au sens suivant: pour toute famille d´ enombrable {M i } i∈I ⊂ A de parties deux ` a deux disjointes (i 6= j ⇒ M i ∩ M j = ∅),

µ( [

i∈I

M i ) = X

i∈I

µ(M i ).

Il est facile de voir que toute mesure est additive au sens commun:

∀(M, N ) ∈ A ² , µ(M ∪ N ) = µ(M ) + µ(N ) − µ(M ∩ N )

en particulier si M ∩ N est de mesure nulle (par exemple si M et N sont deux polygones du plan juxtapos´ es suivant une arˆ ete commune), on a bien

µ(M ∪ N ) = µ(M ) + µ(N ) (?) Le r´ esultat principal sur R ^N s’´ enonce alors comme suit:

Il existe une unique mesure µ sur une collection A ⊂ P (R ^N ) (contenant ouverts, ferm´ es et r´ eunions d´ enombrables de ceux-ci) telle que pour tout parall´ elotope droit Q = [a 1 , b 1 ] × . . . × [a N , b N ] on ait

µ(Q) = vol N (Q) = (b 1 − a 1 ) · · · (b N − a N ).

Cette mesure appel´ ee mesure de Lebesgue se transforme comme vol N par transformation affine, i.e.

∀M ∈ A et toute application affine f : R ^N → R ^N on a µ(f (M )) =| det − →

f | µ(M ) Il s’ensuit que pour tout parall´ elotope Q ⊂ R ^N , on a

µ(Q) = vol N (Q).

Pour la suite, j’´ ecrirai vol(M ) au lieu de µ(M ).

45. Le volume d’un t´ etra` edre.

J’utilise ici l’additivit´ e du volume (formule (?) du point 44).

Soit T le t´ etra` edre de sommets P 0 , P 1 , P 2 , P 3 et Q le parall´ elotope Q(P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ).

Prendre l’homoth´ etie h de rapport 2 et de centre P 0 . Alors

vol(h(T )) = vol(Q) + 3vol(T ) − vol(T ), vol(h(T )) = 2 ³ vol(T) i.e.

6 vol(T ) = vol(Q).

La formule du d´ eterminant pour vol(Q) donne

vol(Q) = base(Q) × hauteur(Q), d` es lors

vol(T ) = 1

3 × base(Q)

2 × hauteur(Q)

= 1

3 × base(T ) × hauteur(T ) 46. Le volume d’une pyramide.

Soit P 1 , P 2 , . . . , P n les sommets d’un polygone du plan P d’´ equation z = 0 dans R ³ , P 0 ∈ R ³ \ P et soit Π la pyramide [P 0 , P 1 , . . . , P n ].

Pour obtenir le volume de Π on peut proc´ eder comme suit: notons H le projet´ e orthogonal de P 0

sur le plan de base P et supposons ici que H est distinct des sommets du polygone. D´ ecomposons Π en n t´ etra` edres pleins en prenant les enveloppes convexes T 1 = [P 0 , H, P 1 , P 2 ], . . . , T n−1 = [P 0 , H, P _n−1 , P n ], T n = [P 0 , H, P n , P 1 ]. On a

Π = [

1≤j≤n

T j .

Les faces des t´ etra` edres ´ etant de volume nul on a vol(Π) = X

1≤i≤n

vol(T i )

= 1

3 × X

1≤i≤n

(base(T i ) × hauteur(T i ))

= 1

3 × X

1≤i≤n

base(T i ) × hauteur(Π)

= 1

3 × base(Π) × hauteur(Π)

.

Remarque g´ en´ erale: pour calculer le volume d’un solide, r´ eunion de poly` edres convexes, on peut proc´ eder par d´ ecoupage (comme pour la pyramide Π) en se ramenant ` a des polytopes de volume d´ ej` a calcul´ e (par exemple des t´ etra` edres).

47. Angles g´ eom´ etriques.

Soit E un espace vectoriel euclidien de produit scalaire ( | ). Par l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz

∀u, v ∈ E, | (u | v) |≤|| u || || v ||

il existe un unique r´ eel θ ∈ [0, π] tel que

cos θ = (u | v)

|| u || || v || .

Le r´ eel θ est appel´ e l’angle non orient´ e de vecteurs u et v ou encore l’angle g´ eom´ etrique de vecteurs

u et v.

Soit hui et hvi deux droites vectorielles de E port´ ees par u et v. Notons α l’angle non orient´ e de vecteur u, v et β l’angle non orient´ e de vecteurs u, −v. On appelle angle non orient´ e de droites hui et hvi le r´ eel

min (α, β) ∈ [0, π/2].

Soit H un hyperplan vectoriel de E et D = hui une droite vectorielle. Soit v ∈ E tel que H ^⊥ = hvi et α l’angle non orient´ e de droites hvi et D. L’angle non orient´ e entre H et D est le r´ eel β d´ efini par

β = π/2 − α ∈ [0, π/2].

48. Triangles et angles sph´ eriques.

Soit

S ² = {x ∈ R ³ , || x ||= 1}

la sph` ere unit´ e de R ³ centr´ ee en O = (0, 0, 0).

On appelle grand cercle de S ² l’intersection de tout plan Π passant par O avec S ² . Un grand cercle est donc le cercle de rayon 1 trac´ e sur un plan Π passant par O.

Deux grands cercles distincts se coupent en deux points antipodaux A et −A.

Par toute paire de points A, B ∈ S ² tels que B 6= ±A passe un unique grand cercle, intersection du plan affine hO, A, Bi avec S ² .

On appelle triangle sph´ erique de sommets A, B, C ∈ S ² la partie de S ² d´ elimit´ ee par trois arcs de grands cercles joignant A, B; B, C ; C, A.

Soient A, B, C les sommets d’un triangle sph´ erique, Π = h −→

OAi ^⊥ le plan ´ equatorial oppos´ e ` a A et B ⁰ , C ⁰ les projet´ es orthogonaux de B et C sur l’´ equateur Π.

L’angle sph´ erique α au point A est par d´ efinition l’angle non orient´ e de vecteurs −−→

OB ⁰ et −−→

OC ⁰ , i.e.

c’est l’unique r´ eel α ∈ [0, π] tel que

cos α = ( −−→

OB ⁰ | −−→

OC ⁰ )

|| −−→

OB ⁰ || || −−→

OC ⁰ || .

Remarque: la d´ efinition qui pr´ ec` ede diff` ere dans sa formulation de celle faite en cours (parce que celle du cours demanderait une figure). Il s’agit toutefois du mˆ eme angle. Pour le voir, faites une figure.

49. Formule de Girard.

Soit un triangle sph´ erique T de sommets A, B, C et d’angles sph´ eriques α, β, γ Th´ eor` eme: On a

Aire (T ) = α + β + γ − π.

En particulier, si l’aire de T est non nulle, on a

α + β + γ > π.

50. Formule d’Euler.

Soit P un polytope de R ³ (i.e. un poly` edre convexe born´ e d’int´ erieur non vide) constitu´ e de S

sommets, A arˆ etes et F faces.

Th´ eor` eme: On a

F − A + S = 2.

La preuve proc` ede comme suit:

(i) Tout polygone ` a l cˆ ot´ es [P 1 , P 2 , . . . , P l ] se d´ ecompose en l − 2 triangles [P 1 , P 2 , P 3 ], [P 1 , P 3 , P 4 ], . . . , [P 1 , P l−1 , P l ].

D` es lors toute face de P est r´ eunion de triangles pleins.

(ii) Choisir l’origine O du rep` ere canonique ` a l’int´ erieur de P et consid´ erer l’application p : R ³ \ {O} → S ² ⊂ R ³ : (x, y, z) 7→ 1

p x ² + y ² + z ² (x, y, z).

La restriction de p au bord ∂P de P (pour rappel, le bord est la r´ eunion des faces) est alors une bijection de ∂P sur S ² , chaque triangle des faces de P ´ etant envoy´ e sur un triangle sph´ erique de S ² .

(iii) Par le (ii), la sph` ere S ² apparait comme r´ eunion de triangles sph´ eriques images des triangles des faces de P. On obtient la formule d’Euler en sommant les angles sph´ eriques aux sommets de 2 fa¸ cons diff´ erentes:

(1) pour chaque sommet, la somme des angles vaut 2π. La somme totale est donc ´ egale ` a 2πS.

(2) pour chaque triangle T d’une face, par Girard, la somme des 3 angles est ´ egale ` a Aire(T ) + π.

Une face f ` a s sommets ´ etant constitu´ ee (par (i)) de s − 2 triangles, cette face f contribue Aire(f ) + (s − 2)π.

On a donc

2πS = X

faces f

(aire(f) + (# sommets de f − 2)π)

= aire (S ² ) + π(2A) − 2πF

= 2π(2 + A − F ).

51. Polytopes r´ eguliers.

Proposition. Soit a, s ∈ N \ {0} et P un polytope de R ³ , S le nombre de ses sommets, A le nombre de ses arˆ etes, et F le nombre de ses faces. Supposons que P soit tel que

(1) chaque sommet de P porte a arˆ etes (2) chaque face de P a s sommets.

Alors (a, s, A, F, S) peut prendre les 5 valeurs

(3, 3, 6, 4, 4), (3, 4, 12, 6, 8), (3, 5, 30, 12, 20), (4, 3, 12, 8, 6), (5, 3, 30, 20, 12).

Def. On dit qu’un polytope P ⊂ R ³ est r´ egulier de type (a, s) si

(R1) toutes ses faces sont des polygones r´ eguliers ` a s sommets isom´ etriques (i.e. identiques ` a

isom´ etrie pr` es).

(R2) chaque sommet appartient ` a a faces, i.e. porte a arˆ etes.

Par la proposition qui pr´ ec` ede il y a au plus cinq types de polytopes r´ eguliers dans R <sup>3</sup> . Th´ eor` eme. Il y a exactement cinq types de polytopes r´ eguliers dans R ³ .

Il s’agit, dans l’ordre de la proposition, du t´ etra` edre, de l’hexa` edre (le cube), du dod´ eca` edre (dont le bord est constitu´ e de 12 pentagones r´ eguliers identiques), de l’octa` edre (de bord form´ e de 8 triangles ´ equilat´ eraux identiques) et de l’icosa` edre (dont le bord est un assemblage de 20 triangles

´

equilat´ eraux identiques).

Remarque: en cours, nous nous sommes limit´ es ` a indiquer une construction de ces polytopes par pliage ` a l’aide d’un patron.

52. Les coniques du plan.

On se place dans le plan affine R ² rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e (O,~i,~j). Tout point M du plan s’´ ecrit donc M = O + x~i + y ~j pour d’uniques x, y ∈ R.

On appelle conique le lieu g´ eom´ etrique des points du plan dont les coordonn´ ees (x, y) satisfont ` a une ´ equation de la forme

ax ² + 2bxy + cy ² + 2l 1 x + 2l 2 y + d = 0

o` u a, b, c, d, l 1 , l 2 ∈ R sont tels que (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Notons C ce lieu. C est donc l’ensemble des points du plan dont l’affixe annule un polynˆ ome de degr´ e 2 en deux variables.

Si l’on pose

A =

a b b c

∈ S 2 (R), L = (l 1 l 2 ) ∈ M 1,2 (R), X = x

y

, l’´ equation de C s’´ ecrit

t XAX + 2LX + d = 0.

53. R´ eduction des coniques.

Afin d’´ etablir une classification des coniques et de disposer d’une m´ ethode pratique de repr´ e - sentation de celles-ci, on cherche ` a effectuer un changement de rep` ere orthonorm´ e

(O,~i,~j) 7→ (O ⁰ ,~i ⁰ ,~j ⁰ )

pour simplifier au mieux l’´ equation (si possible faire disparaitre le terme lin´ eaire 2LX et ´ ecrire la partie quadratique ^t XAX sous forme de somme de carr´ es).

I. On suppose A inversible, i.e. b ² − ac 6= 0.

On commence par ´ eliminer le terme lin´ eaire par un changement d’origine:

R = (O,~i,~j) 7→ R ⁰ = (O ⁰ ,~i,~j).

Notons X 0 l’affixe de O ⁰ dans le rep` ere R et X <sup>0</sup> = X − X 0 l’affixe de M dans le rep` ere R ⁰ . L’´ equation de C dans le rep` ere R ⁰ s’´ ecrit

t X ⁰ AX ⁰ + 2 ^t X ⁰ (AX 0 + ^t L) + ^t X 0 AX 0 + 2LX 0 + d = 0.

Le terme lin´ eaire s’annule ssi O ⁰ est le point d’affixe

X 0 = −A ^{−1 t} L

et dans ce cas l’´ equation de C dans le rep` ere R ⁰ prend la forme

t X ⁰ AX ⁰ + δ 0 = 0.

A ´ etant sym´ etrique r´ eelle, elle est ` a spectre r´ eel {λ 1 , λ 2 } et diagonalisable dans une base or- thonorm´ ee ( ~i <sup>0</sup> ,~j <sup>0</sup> ). Soit P ∈ O 2 (R) la matrice de passage de ( ~i,~j ) ` a ( ~i ⁰ ,~j ⁰ ) et X ⁰⁰ = ^t P X ⁰ l’affixe de M dans le rep` ere R ⁰⁰ = (O ⁰ ,~i ⁰ ,~j ⁰ ). L’´ equation de C dans R ⁰⁰ s’´ ecrit

t X ⁰⁰

λ 1 0 0 λ 2

X ⁰⁰ + δ 0 = 0, i.e.

λ 1 x ^{00 2} + λ 2 y ^{00 2} + δ 0 = 0.

A ´ etant inversible, λ 1 6= 0 et λ 2 6= 0. Une discussion des signes relatifs des valeurs propres et de δ 0

(qui peut ˆ etre nul) conduit aux types suivants (` a permutation de x <sup>00</sup> et y <sup>00</sup> pr` es):

- C = ∅

- C est le singleton {O ⁰ }.

- C est une ellipse d’´ equation type ^x _α

+ ^y _β

= 1 - C est une hyperbole d’´ equation type ^x _α

− ^y _β

= 1

- C est la r´ eunion de deux droites vectorielles d’´ equations y ⁰⁰ = ± q

| ^λ _λ

2

|x ⁰⁰ . (Il s’agit d’un cˆ one du plan.)

II. On suppose A 6= 0 de rang 1, i.e. b ² − ac = 0.

L’une des valeurs propres de A est alors nulle, disons λ 1 = 0 et notons λ 2 = λ 6= 0.

Il est ici pr´ ef´ erable de commencer par le passage aux vecteurs propres de A et de discuter ensuite l’annulation ´ eventuelle des termes lin´ eaires par changement d’origine.

Soit donc R ⁰ = (O,~i ⁰ ,~j ⁰ ) un rep` ere orthonorm´ e propre de A, P la matrice de passage de ( ~i,~j) ` a ( ~i ⁰ ,~j ⁰ ) et X ⁰ = ^t P X l’affixe du point M dans R ⁰ . L’´ equation de C s’´ ecrit alors

t X ⁰

0 0 0 λ

X ⁰ + 2LP X ⁰ + d = 0.

On effectue ensuite le changement R ⁰ 7→ R ⁰⁰ = (O ⁰ ,~i ⁰ ,~j ⁰ ) en cherchant O ⁰ de mani` ere ` a simplifier au mieux la partie lin´ eaire de l’´ equation de C dans R ⁰⁰ .

La discussion selon les signes relatifs et la valeur des coefficients de la matrice LP conduit aux types suivants:

- l’´ equation de C est de la forme y ^{00 2} = δ, i.e. C = ∅ pour δ < 0, C est la droite y ⁰⁰ = 0 pour δ = 0, C est la r´ eunion des 2 droites parall` eles y ⁰⁰ = ± √

δ pour δ > 0.

- l’´ equation de C est de la forme y ^{00 2} = 2px et il s’agit d’une parabole.

54. Quadriques.

On se place dans l’espace affine R ³ rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e R = (O,~i,~j, ~ k). On appelle quadrique de R <sup>3</sup> le lieu g´ eom´ etrique des points dont les coordonn´ ees (x, y, z) satisfont ` a une ´ equation de la forme

( x y z ) A



 x y z



 + 2L



 x y z



 + d = 0

o` u A ∈ S 3 (R) est une matrice sym´ etrique r´ eelle non nulle, L ∈ M 1,3 (R) et d ∈ R. Une quadrique Q est donc le lieu des points dont les coordonn´ ees dans un rep` ere R annulent un polynˆ ome de degr´ e 2 en trois variables.

Comme pour les coniques du plan, la classification des quadriques se fait par r´ eduction ` a des

´

equations types ` a l’aide de changements de rep` eres affines orthonorm´ es. On distingue les situations suivant le rang de la matrice A 6= 0. En cours je n’ai fait qu’esquisser le cas de rang 3, i.e.

det(A) 6= 0.

En proc´ edant comme au point 53 I. un changement d’origine et ensuite le passage aux vecteurs propres conduit ` a une ´ equation r´ eduite de la quadrique Q de la forme

( x ⁰⁰ y ⁰⁰ z ⁰⁰ )





λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3







 x ⁰⁰ y ⁰⁰ z ⁰⁰



 + δ 0 = 0

que l’on discute suivant la valeur de δ 0 et les signes relatifs des valeurs propres (ici non nulles) de A pour obtenir (` a permutation des coordonn´ ees pr` es) les ´ equations types

x ^{00 2} a ² + y ^{00 2}

b ² + z ⁰⁰ c ² = ⁰ o` u ∈ {+1, −1} et ⁰ ∈ {+1, 0, −1}.

- = +1, ⁰ = 0: Q = {O ⁰ }.

- = −1, ⁰ = 0: Q est un cˆ one.

- = +1, ⁰ = +1:Q est un ellipsoide.

- = −1, ⁰ = +1: Q est un hyperboloide ` a une nappe.

- = +1, ⁰ = −1: Q = ∅.

- = −1, ⁰ = −1: Q est un hyperboloide ` a 2 nappes.