Feuille d’exercices n˚1 G´eom´etrie dans le plan

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L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚1 G´ eom´ etrie dans le plan

Exercice 1 : Soit (−→ i ,−→

j) une base du plan. Pour touta∈R, on d´efinit les vecteurs −→u_a et −→v_a par :

−→

ua(a; 1−a) ; −→va(2 +a, a−3).

Déterminer l’ensemble des réels a∈Rtels que−u→a et−→va soient colinéaires.

j) une base du plan. On introduit 4 vecteurs du plan :

−

→e1(2,1) ; −→e2(−4,5) ; −→

f1(−8,17) ; −→

f2(−14,35).

1. Montrer queE = (−→e₁,−→e₂) etF = (−→ f₁,−→

f₂) sont deux bases du plan.

2. Soit−→u le vecteur de coordonn´ees (3,1) dans la base E.

(a) D´eterminer les coordonn´ees de−→u dans la base (−→ i ,−→

j).

(b) D´eterminer les coordonn´ees de−→u dans la baseF.

3. Soit−→v le vecteur de coordonn´ees (1,−2) dans la baseF.

(a) D´eterminer les coordonn´ees de−→v dans la base (−→ i ,−→

j).

(b) D´eterminer les coordonn´ees de−→v dans la baseE.

4. (a) Déterminer la matrice de passageP_E,F de la baseE à la baseF, puis la matrice de passageP_F,E de la baseF à la base E.

(b) Retrouver alors les résultats obtenus en 2.(b) et 3.(b) en appliquant le théorème de changement de base.

Exercice 3 : Soit (O;−→ i ,−→

j) un rep`ere du plan. On d´efinit le pointE et les vecteurs−→e1 et −→e2 du plan par : E(2,−1) ; −→e1(4,5) ; −→e2(5,6).

1. Montrer que (E;−→e₁,−→e₂) est un rep`ere du plan.

2. SoitM le point de coordonn´ees (−3,11) dans le rep`ere (O;−→ i ,−→

j). Calculer les coordonn´ees deM dans le rep`ere (E;−→e₁,−→e₂).

3. Soit N le point de coordonnées (2,3) dans le repère (E;−→e1,−→e2). Calculer les coordonnées de N dans le repère (O;−→

i ,−→ j).

4. On note Bla base (−→ i ,−→

j) du plan etE la base (−→e1,−→e2) du plan.

(a) Déterminer la matrice de passageP_B,E de la baseB à la baseE, puis la matrice de passageP_E,B de la baseE à la base B.

(b) Retrouver alors les résultats obtenus en 2. et 3. en appliquant le théorème de changement de repère.

j) une base orthonorm´ee du plan. Pour touta∈R, on d´efinit les vecteurs−u→_a et−→v_a par :

−→

ua(2a−1, a−2) ; −→va(3−a, a).

D´eterminer l’ensemble des r´eels a∈Rtels que−u→a et−→va soient orthogonaux.

j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

1. Soient AetB les points du plan d´efinis par :

A(−1,4) ; B(5,−2).

1

(2)

(a) Donner une repr´esentation param´etrique de la droite (AB).

(b) Donner une ´equation cart´esienne de la droite (AB).

2. SoitDla droite de repr´esentation param´etrique :

x = 5−t y = 2 + 3t . (a) D´eterminer deux pointsC etD du plan tels queD= (CD).

(b) Donner une ´equation cart´esienne de la droite D.

3. SoitDla droite d’´equation cart´esienne :

3x−4y+ 10 = 0.

(a) D´eterminer deux pointsE etF du plan tels queD= (EF).

(b) Donner une repr´esentation param´etrique de la droiteD.

j) un repère orthonormé du plan. SoientAetB les points du plan définis par : A(1,3) ; B(5,−3),

soitD1 la droite de repr´esentation param´etrique :

x = −4 + 3t y = 4 + 2t et soitD₂ la droite d’´equation cart´esienne :

5x−y+ 24 = 0.

1. (a) Les droites (AB) et D₁ sont-elles perpendiculaires, parallèles ? (b) En déduire le nombre d’éléments de l’intersection (AB)∩ D₁.

(c) D´eterminer (AB)∩ D1.

2. (a) Les droites (AB) et D2 sont-elles perpendiculaires, parallèles ? (b) En déduire le nombre d’éléments de l’intersection (AB)∩ D2.

(c) D´eterminer (AB)∩ D2.

3. (a) Les droitesD1et D2 sont-elles perpendiculaires, parallèles ? (b) En déduire le nombre d’éléments de l’intersectionD1∩ D2.

(c) D´eterminerD1∩ D2.

4. (a) Donner une équation cartésienne d’une droite D3 parallèle à (AB), distincte de (AB).

(b) Donner deux points distinctsCetDdu plan tels que la droite (CD) soit parall`ele `aD1, distincte de D1.

(c) Donner une représentation paramétrique d’une droiteD4 parallèle àD2, distincte deD2.

j) un repère orthonormé du plan. On considère la droiteDd’équation cartésienne x+ 3y−2 = 0

et pour touta∈Rla droiteDa d’´equation cart´esienne :

(2a−1)x−ay+ 10 = 0.

1. Déterminer l’ensemble des réelsatels queDet Da soient parallèles.

2. D´eterminer l’ensemble des r´eelsatels queDet Da soient perpendiculaires.

Exercice 8 : Soit ABC un triangle non aplati. On se propose de d´emontrer analytiquement que les trois m´edianes de ABC sont concourantes (i.e. se coupent en un point).

1. Justifier que (A;−−→ AB,−→

AC) est un rep`ere du plan.

2

(3)

2. Donner une représentation paramétrique de la médianeM_Adu triangle ABC issue du sommetA.

3. Donner une représentation paramétrique de la médianeMB du triangleABC issue du sommetB. 4. Donner une représentation paramétrique de la médianeMC du triangleABC issue du sommetC.

5. Montrer queMA et MB se coupent un unique point, not´eG, dont on donnera les coordonn´ees.

6. Montrer queGappartient `aMC et conclure.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les pointsAet B définis par : A(2,−3) ; B(6,−5).

1. Montrer analytiquement que l’ensemble Mdes points M(x, y) tels que les longueurs AM et BM soient

´

egales est une droite. Comment est appel´ee cette droite ?

2. Déterminer l’ensemble des pointsM(x, y) du plan tels que le triangleABM soit isocèle rectangle enM. 3. Déterminer l’ensemble des pointsM(x, y) du plan tels que le triangleABM soit équilatéral.

1. Montrer que pour tout pointsA, B, C du plan, on a :

BC²=AB²+AC²−2×AB×AC×cos(\BAC).

On pourra commencer par remarquer queBC²=−−→ BC.−−→

BC et penser `a utiliser la relation de Chasles.

2. Déterminer des mesures des angles d’un triangleABC dont on connaˆıt les longueurs des trois côtés : BC=√

6 ; CA= 2 ; AB= 1 +√

3.

j) un repère orthonormé du plan. On considère les pointsA,B,C définis par : A(4,−3) ; B(10,−6) ; C(9,2).

1. Les pointsA, B etC sont-ils align´es ?

2. Comment est aussi appel´e le piedC⁰ de la hauteur du triangleABC issue du sommetC? 3. Calculer les coordonn´ees deC⁰.

4. Calculer la longueur de la hauteur du triangle ABC issue du sommet C et en d´eduire l’aire du triangle ABC.

j) un repère orthonormé du plan. Quelle distance devra au moins parcourir un homme habitant une maison assimilée au pointM(12,11) pour remplir son seau à la rivière assimilée à la droite passant par le pointA(4,2) dirigée par le vecteur−→u(−1,2) ?

j) un repère orthonormé du plan. Soit D la droite du plan de représentation paramétrique :

x = −1 + 4t

y = 2t .

Pour tout réela, on définitMacomme étant le point de coordonnées (a, a²) et on noteM_a⁰ le projeté orthogonal deMa surD.

1. Déterminer l’ensemble des réelsatels queMa=M_a⁰. 2. Soita∈R. Calculer les coordonnées deM_a⁰.

j) un repère orthonormé du plan. SoitAle point de coordonnées (2,4) et soitDla droite passant parOet dirigée par−→

i. On se propose de déterminer et de représenter graphiquement l’ensemble P défini par :

P ={M(x, y)|AM=d(M,D)}.

1. Faire une figure en pla¸cant le rep`ere (O;−→ i ,−→

j), le pointAet la droiteD.

3

(4)

2. SoitM(x, y) un point du plan. CalculerAM etd(M,D) en fonction dexety.

3. Déterminer une expressionf(x) enx, définie pour tout réelx, telle que pour tout pointM(x, y) du plan on ait :

M(x, y)∈ P ⇐⇒y=f(x).

4. En déduire quePest la courbe représentative d’une certaine fonction usuelle, que l’on précisera. Représenter alors soigneusement l’ensemble P sur la figure de la question 1.

j) un repère du plan. On considère la droite Dpassant par l’origineO et dirigée par le vecteur−→u(1,2). Soit−→v le vecteur de coordonnées (−3,1).

1. Montrer que les vecteurs−→u et −→v ne sont ni colin´eaires, ni orthogonaux.

2. Montrer que pour tout pointA(a1, a2) il existe un unique pointp(A) du plan v´erifiant :







p(A)∈ D et −−−−→

Ap(A)//−→v .

Le pointp(A) est appelé projeté deAsur la droiteDparallèlement à la direction de−→v.

3. SoitA(a₁, a₂) un point fix´e du plan. D´eterminer l’ensemble des pointsM(x, y) du plan tels quep(M) = p(A).

1. D´eterminer l’ensembleE1 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−2x+y²+ 4y−116 = 0.

2. D´eterminer l’ensembleE2 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²+ 6x+y²−2y+ 11 = 0.

3. D´eterminer l’ensembleE₃ des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−4x+y²−2y+ 5 = 0.

4. D´eterminer l’ensembleE4 des pointsM(x, y) du plan tels que : x²−4x+y²+y+5

4 = 0.

j) un rep`ere orthonorm´e du plan. SoitCle cercle de centre Ω(2,0) et de rayon√ 2.

Pour toutθ∈

−^π₂,^π₂

, on définitDθ comme étant la droite passant par l’origineO et dirigée par le vecteur

−→

u_θ(cos(θ),sin(θ)).

1. D´eterminer l’ensemble desθ∈

−^π₂,^π₂

tel que C ∩ D_θ=∅.

−^π₂,^π₂

tel que Card(C ∩ Dθ)=1. Dans ce cas donner, en la justifiant, une propriété d’orthogonalité remarquable.

−^π₂,^π₂

tel que Card(C ∩ Dθ)=2.

4