Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚18 G´ eom´ etrie dans le plan
Exercice 157 (Famille libre de deux vecteurs du plan versus base du plan) Soient−u→1et −→u2deux vecteurs du plan. On dit que la famille de vecteurs (−→u1,−→u2) estlibresi
∀(λ1, λ2)∈R2 λ1.−→u1+λ2.−→u2=−→0 ⇒λ1=λ2= 0.
D´emontrer que les vecteurs−→u1 et−u→2 ne sont pas colin´eaires si et seulement si la famille (−→u1,−→u2) est libre.
Indication : On pourra montrer chacune des deux implications en raisonnant par contrapos´ee.
Exercice 158 (Identit´e du parall´elogramme)
1. Soient−→u1et −→u2 deux vecteurs du plan. D´emontrer que
||−u→1+−→u2||2+||−→u1− −→u2||2= 2||−→u1||2+ 2||−→u2||2. 2. On consid`ere un parall´elogrammeABCD.
(a) Exprimer le vecteur−→
AC en fonction des vecteurs−−→
AB et−−→AD.
(b) Exprimer le vecteur−−→
BD en fonction des vecteurs−−→
AB et−−→AD.
(c) Appliquer le r´esultat de la question 1. aux vecteurs−→u1:=−−→
ABet−u→2:=−−→
ADpour en d´eduire un ´enonc´e liant les longueurs des diagonales du parall´elogrammeABCD et les longueurs de ses cˆot´es.
Exercice 159 (Calcul de l’aire d’un polygone) Calculer l’aire du polygone gris´eABCDE ci-dessous.
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
bA
b
B
bC
b
D
bE
Exercice 160 (Point de concours des m´ediatrices des cˆot´es d’un triangle) SoitR:=
O;−→i ,−→j
un rep`ere orthonorm´e du plan. SoientA,B et C les points de coordonn´ees respectives (−4,3), (8,−3) et (4,9) dansR.
1. D´eterminer le point de concours Ω des m´ediatrices des cˆot´es du triangleABC.
2. Calculer les longueursAΩ,BΩ etCΩ. Qu’en d´eduire ?
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Exercice 161 (´Egalit´es de deux droites d´efinies par des repr´esentations param´etriques) SoitR:=
O;−→ i ,−→
j
un rep`ere du plan. SoientD1etD2les droites de repr´esentations param´etriques respectives
x = 2 − 3t1
y = 1 + t1
x = 5 + 6t2
y = − 2t2 dansR. D´emontrer que les droitesD1 etD2sont confondues.
Exercice 162 (Droites concourantes) SoitR:=
O;−→i ,−→j
un rep`ere orthonorm´e direct du plan.
• SoitDla droite d’´equation cart´esienne 3x−2y−2 = 0 dansR.
• Soient les pointsAetB de coordonn´ees respectives (1,4) et (−2,3) dansR.
• Pour toutα∈R, soit Dα la droite passant passant parC de coordonn´ees (6,2) dansRet dirig´ee par le vecteur−→u de coordonn´ees (1, α) dans la base (−→i ,−→j).
1. Donner une ´equation cart´esienne de la droite (AB).
2. Soitα∈R. Donner une ´equation cart´esienne de la droite Dα.
3. Soitα∈R. Donner une CNS surαpour que les droitesD, (AB) et Dα soient concourantes.
Exercice 163 (Projet´e orthogonal d’un point sur une droite) Soit R :=
O;−→i ,−→j
un rep`ere orthonorm´e direct du plan. Soient A, B et C les points de coordonn´ees respectives (−2,4), (0,−2) et (2,2) dansR.
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonalH du pointC sur la droite (AB).
2. Calculer la longueurHC. Quelle propri´et´e remarquable poss`ede cette longueur ?
Exercice 164 (Distance d’un point `a un plan et bissectrices)
Si D est une droite du plan et A est un point du plan alors on d´efinit la distance du point A `a la droite D comme ´etant le nombre not´ed(A,D) d´efini par
d(A,D) :=AH
o`u H est le projet´e orthogonal de A sur D. Dans la suite on fixe un rep`ere orthonorm´eR:=
O;−→i ,−→j du plan.
1. SoitDune droite d’´equation cart´esienneax+by+c= 0 dansR, o`u (a, b)∈R2\ {(0,0)}etc∈R. Soit Aun point du plan de coordonn´ees (xA, yA) dansR. Montrer que
d(A,D) = |axA+byA+c|
√a2+b2 .
2. SoientD1 etD2 les droites d’´equations cart´esiennes respectives 3x−4y+ 1 = 0 etx+y−2 = 0 dansR. (a) Repr´esenter graphiquement les droitesD1 etD2.
(b) Repr´esenter graphiquement l’ensembleB d´efini par
B:={ M ∈ P |d(M,D1) =d(M,D2)}. (c) D´emontrer queBest la r´eunion de deux droites.
3. D´emontrer que toute droite du plan admet une ´equation cart´esienne de la forme ax+by+c= 0
dansR, o`u (a, b)∈R2\ {(0,0)}est tel que√
a2+b2= 1 etc∈R. Une telle ´equation de droite est dite norm´ee.
4. SoientD1et D2 deux droites distinctes du plan. D´eterminer la nature g´eom´etrique de l’ensemble B:={ M ∈ P |d(M,D1) =d(M,D2)}.
Indication : On pourra introduire une ´equation norm´ee pour chacune des deux droites et on distinguera deux cas suivant que les droites D1 et D2 sont s´ecantes ou non.
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Exercice 165 (Tangentes `a un cercle passant par un point ext´erieur) SoitR:=
O;−→ i ,−→
j
un rep`ere orthonorm´e direct du plan. SoitC le cercle d’´equation cart´esienne :
x2−6x+y2−2y+ 5 = 0 dansR.
1. D´eterminer les ´el´ements caract´eristiques deC.
2. Soit le pointA de coordonn´ees (8,−4) dansR. D´eterminer les tangentes au cercleC passant parA.
Exercice 166 (Autour des ´equations de cercles) Soit R:=
O;−→i ,−→j
un rep`ere orthonorm´e direct du plan. Soit un r´eel α. On d´efinit Cα comme le lieu des pointsM du plan dont les coordonn´ees (x, y) dansRv´erifient l’´equation
x2+y2−x+ 4y+α= 0.
D´eterminer la nature deCα.
Exercice 167 (Intersection de deux cercles) Soit R :=
O;−→i ,−→j
un rep`ere orthonorm´e direct du plan. Soient C1 et C2 les deux cercles d’´equations cart´esiennes respectives
x2−8x−3 +y2−2y x2−20x+ 57 +y2+ 10y dansR.
1. D´eterminer les ´el´ements caract´eristiques deC1 etC2. 2. ´Etudier l’intersection des cerclesC1et C2.
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