L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2 G´ eom´ etrie dans le plan
Dans les exercices suivants, le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e(O;−→ i ,−→
j).
Exercice 20 :Soit le pointA −3
5
et soient les vecteurs−→u1
9
−3
et−u→2
−5 2
. 1. Justifier que (−→u1,−→u2) est une base du plan.
2. Soit −→v le vecteur de coordonn´ees −2
1
dans la base (−→ i ,−→
j). Calculer les coordonn´ees de−→v dans la base (−→u1,−u→2).
3. Soit −→w le vecteur de coordonn´ees 3
−4
dans la base (−u→1,−u→2). Calculer les coordonn´ees de−→w dans la base (→−
i ,−→ j).
4. SoitM le point de coordonn´ees 1
−5
dans le rep`ere (O;−→ i ,−→
j). Calculer les coordonn´ees deM dans le rep`ere (A;−→u1,−→u2).
5. SoitN le point de coordonn´ees −1
1
dans le rep`ere (A;−u→1,−u→2). Calculer les coordonn´ees deN dans le rep`ere (O;−→
i ,−→ j).
Exercice 21 :Soient les vecteurs−w→1
2 3
et−w→2
−2
−1
. Calculer les produits scalaires de :−w→1 et−w→2,−w→1et
−−w→2,−−w→1et −−w→2, 3−w→1− −w→2et 2−w→1+ 5−w→2.
Exercice 22 :Dans les cas suivants, ´etudier, en fonction du r´eelk, la colin´earit´e et l’orthogonalit´e des vecteurs
−
→u et−→v.
a) −→u 1
k
et−→v −2
3
b) −→u k
2
et −→v k
−2
c) −→u k
−2
et−→v
k−1 3
d) −→u 1
2k+ 1
et−→v 4
k
Exercice 23 :Soient trois pointsA 1
2
,B 2
3
,C 3
0
. 1. Justifier que le triangleABC n’est pas plat.
2. Calculer la valeur de cos(\BAC).
3. En d´eduire l’aire du triangleABC.
Exercice 24
1. Donner une mesure des angles (−→u\1,−→u2) lorsque les vecteurs−→u1et −→u2 sont a) −→u1
√ 3 2
et −→u2
1 3√ 3
b) −u→1 √1
2
et−→u2 √
2−2
√2 + 2
1
2. Donner les mesures des angles du triangle de sommetsA −1
0
,B
1 2
√3 2
, C
1 2
−
√3 2
.
Exercice 25 :Soient trois pointsA −3
−1
,B 4
1
etC −2
3
et soit le vecteur−→w 1
2
. 1. Donner une ´equation cart´esienne de la droite Dpassant parAet B.
2. Donner une ´equation cart´esienne de la droite D0 passant parC et dirig´ee par−→w. 3. D´eterminerD ∩ D0.
4. Donner une ´equation cart´esienne de la droite passant parB et de vecteur normal−→w.
Exercice 26 :Soient quatre pointsA 5
−2
,B 2
−1
,C 1
3
,D 2
2
.
1. Donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne de la droite (AB).
2. Donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne de la droite (CD).
3. D´eterminer (AB)∩(CD).
4. D´eterminer une ´equation de la m´ediatrice du segment [AB].
5. Donner une ´equation de la hauteur issue deCdans le triangleABC.
F Exercice 27 :Soit le pointA −3
4
et soit ∆ la droite d’´equation cart´esiennex+y−2 = 0. `A chaqueθ∈R, on associe la droiteDθpassant par le point Aet dirig´ee par le vecteur−→uθ
cos(θ) sin(θ)
. 1. D´eterminer les valeurs deθ pour lesquellesDθ//∆.
2. D´eterminer les valeurs deθ pour lesquellesDθ ⊥ ∆.
F Exercice 28 :Soit le point A 2
2
et soient D et D0 les droites d’´equations respectives 2x−y−1 = 0 et 2y−1 = 0. D´eterminer :
1. les coordonn´ees du projet´e orthogonal deAsurD;
2. une ´equation cart´esienne de la droite sym´etrique deDpar rapport `a A; 3. une ´equation cart´esienne de la droite sym´etrique deD0 par rapport `a D.
Exercice 29 :Calculer la distance du pointA`a la droite Ddans chacun des cas suivants.
1. A 2
−1
et Da pour ´equation cart´esienne 3x+ 4y+ 5 = 0.
2. A 0
0
et Dpasse parB 5
3
et est dirig´ee par−→u 1
2
. 3. A
1
−1
et Dpasse parC −1
1
et admet−→n 2
3
comme vecteur normal.
Exercice 30
1. D´eterminer le centre et le rayon du cercle d’´equation cart´esienne :x2+y2+ 4x−3y+ 6 = 0.
2. Soient les pointsA −1
3
etB 2
5
. Donner une ´equation du cercle de diam`etre [AB].
2
