L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚16 G´ eom´ etrie dans l’espace
Exercice 253 : Soient A, B, C, D quatre points de l’espace.
1. Justifier qu’il existe un unique point M de l’espace tel que :
(∗) −−→
M A+ 2−−→
M B+ 3−−→
DA−3−−→ DC=−→
0 . Indication : On pourra d´emontrer que la relation(∗)est ´equivalente `a−−→
AM = 2 3
−→AB−−→
AC et appliquer un r´esultat du cours.
2. D´emontrer que si M est l’unique point de l’espace v´erifiant (∗), alors les vecteurs −−→
−−→ M A,
M B et−−→
M C sont coplanaires.
3. Les pointsA, B, C etM sont-ils situ´es sur un mˆeme plan ?
Exercice 254 : Soit B une base de l’espace et soient les vecteurs −→
u(5; 1; 0), −→
v (3; 1;−4) et
−
→w(7; 2;−6).
1. Les vecteurs −→ v et−→
w sont-ils colin´eaires ? 2. D´emontrer que les vecteurs−→
u, −→ v et−→
w sont coplanaires.
Exercice 255 : Soit R un rep`ere de l’espace et soient A(0; 1; 1), B(−2;−1;−1) ; C(−2; 2; 1) etD(−3; 1; 0).
1. Montrer que les pointsA, B et C ne sont pas align´es.
2. D´emontrer que les trois vecteurs −→
AB, −→
AC et−−→
AD sont coplanaires.
3. Le pointD appartient-il au plan (ABC) ?
Exercice 256 : Soit R un rep`ere de l’espace et soient A(2; 1; 1), B(−1;−1; 0), C(3; 2; 2), D(0;−1; 2) etE(4; 2; 4).
1. Montrer que les pointsA, B et C ne sont pas align´es.
2. V´erifier que les vecteurs−→
AB, −→
AC et −−→
DE sont coplanaires.
3. Que peut-on en d´eduire pour le plan (ABC) et la droite (DE) ?
Exercice 257 : Soit R = (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere de l’espace, soit Ω(1;−1; 2) et soient
−
→u(−1; 0; 1),−→
v(2; 2; 1), −→
w(0; 1; 1).
1. D´emontrer que R′ = (Ω;−→ u ,−→
v ,−→
w) est un rep`ere de l’espace.
2. Soient −→
t le vecteur de coordonn´ees (−2; 1; 3) dans (−→ i ,−→
j ,−→
k). D´eterminer les coor- donn´ees de −→
t dans la base (−→ u ,−→
v ,−→ w).
1
3. SoitA le point de coordonn´ees (1;−3; 5) dans R. Calculer les coordonn´ees de A dans le rep`ere R′.
Exercice 258 : Soient ABCDEF GH un cube d’arˆete 1, I le centre du carr´e ABCD, J le centre du carr´eEF GH, K le milieu de [BF] et L le milieu de [HD].
J
I L
K
bA b
B
b C
bD
bE b
F
bG
bH
bb
b b
On consid`ere le rep`ere de l’espace (D;−−→ DA,−−→
DC,−−→ DH).
1. Donner les coordonn´ees des sommets du cube.
2. Calculer les coordonn´ees de−−→ DE, −−→
DG et−−→ BH.
3. D´emontrer que la droite (BH) est orthogonale `a (DG) et `a (DE).
4. D´emontrer que les vecteurs −→ JL,−→
JK et−→
JI sont coplanaires. Que peut-on en d´eduire pour les points I, J, K et L?
5. D´emontrer que IKJLest un losange. Est-ce un carr´e ?
Exercice 259 : SoitRun rep`ere orthonorm´e du plan, soitD1la droite passant parA1(1;−2; 0) et dirig´ee par−→
u1(−3; 2; 4) et soitD2 la droite passant parA2(−5; 2; 8) et dirig´ee par−→
u2(2; 9;−3).
1. D´emontrer que les droites D1 et D2 sont s´ecantes.
2. Les droitesD1 et D2 sont-elles perpendiculaires ?
3. Donner une repr´esentation param´etrique du planP contenant les droites D1 etD2.
Exercice 260 : Soit R un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient A(1; 1;−1), B(0; 2; 4), C(3; 5;−2) et D(0; 1; 1).
1. D´emontrer que les points A, B etC ne sont pas align´es.
2. Donner une repr´esentation param´etrique du plan (ABC).
3. D´emontrer que les points A, B etD ne sont pas align´es.
4. Donner une ´equation cart´esienne du plan (ABD).
5. Montrer que l’intersection des deux plans (ABC) et (ABD) est une droite. Quelle est cette droite ?
6. Donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne de la droite inter- section de (ABC) et (ABD).
2
Exercice 261 : Soit R un rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitA(1;−4; 5) et soient −→
u(1; 2; 3) et−→
v(3; 2; 1).
1. D´emontrer que les vecteurs−→ u et −→
v ne sont pas colin´eaires.
2. Donner une ´equation cart´esienne du plan passant par A et engendr´e par les vecteurs −→ u et−→
v.
Exercice 262 : SoitRun rep`ere de l’espace. D´emontrer que les plans qui ont pour repr´esentations param´etriques
x = 1 +t1−t2 y = 2t1
z = 1−t1+ 2t2
et
x = 2 + 2t2 y = 4 + 2t1+ 2t2 z = 1 +t1−3t2 sont confondus.
Exercice 263 : Soit R un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Les droites D1 et D2 d’´equations cart´esiennes respectives
x+ 2y−5z+ 4 = 0
2x−y+ 3 = 0 et
x+y−2z+ 1 = 0 x−3y+ 2 = 0 sont-elles s´ecantes, parall`eles ou non coplanaires ?
Exercice 264 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoientP1 etP2 les plans d’´equations respectives x+ 2y−z+ 1 = 0 et −x+y+z= 0.
1. ´Etudier la position relative des plans P1 et P2.
2. SoitM(0; 0; 1). Calculer les distances de M `a chacun des plansP1 etP2.
Exercice 265 : Soit R = (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace et soit P le plan d’´equation cart´esienne 2x+y−2z+ 1 = 0.
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de O sur P. 2. Calculer la distance du pointO au plan P.
⋆ Exercice 266 : Soit R un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soit A(1; 1; 1) et soit P le plan d’´equation cart´esienne x−2y+ 3z + 4 = 0. Soit −→
ua,b le vecteur de coordonn´ees (1;a;b), o`u (a;b)∈R2. On note Da,b la droite passant par A et dirig´ee par −→
ua,b.
1. (a) D´eterminer les couples (a;b)∈R2 pour lesquels la droite Da,b rencontre le plan P. (b) Soit (a;b) ∈ R2 tel que la droite Da,b rencontre le plan P. D´eterminer le point Aa,b
commun `aDa,b et `a P (Aa,b est appel´eprojet´e de A sur le plan P parall`element `a la direction de −→
ua,b).
2. (a) D´eterminer le couple (α;β) ∈ R2 pour lequel la droite Dα,β est perpendiculaire au plan P.
(b) Que peut-on dire du point Aα,β?
(c) Calculer la longueur longueurAAα,β. V´erifier le r´esultat obtenu `a l’aide d’une formule du cours.
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