L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚2
Nombres complexes et trigonom´ etrie
Exercice 18 : Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants.
z1= 2−i
3−4i z2= (1 +i)8 z3=
1 +i 1−2i
2
Exercice 19 : D´emontrer que l’ensemble M des points du plan d’affixez tels que : z3 est imaginaire pur
est la r´eunion de trois droites. On donnera une ´equation cart´esienne de chacune de ces droites et on les repr´esentera graphiquement.
Exercice 20 : R´esoudre l’´equation (E) d´efinie par :
(E) : iz−(2 +i)z=−3 + 5i d’inconnuez∈C.
Exercice 21 : D´emontrer que pour toutz∈C:
z2=z2 ⇐⇒
z est r´eel ou
z est imaginaire pur .
Exercice 22 : Soitn∈N∗. D´emontrer une propri´et´e remarquable du nombreZ d´efini par : Z =
1 + 2i 3 + 4i
n
−
1−2i 3−4i
n
.
Exercice 23 : Montrer que l’ensemble des pointsM d’affixez tels que :
|z−3|=|z−i|
est une droite. On donnera une ´equation cart´esienne de cette droite et on l’interpr´etera g´eom´etriquement.
Exercice 24
1. Soitx∈R. Exprimer cos2(x) en fonction de cos(2x).
2. En d´eduire la valeur de cosπ 8
.
Exercice 25 : Donner une primitive surRde la fonctionf d´efinie par : f:R→R, x7→sin2(x) cos2(x) en utilisant les formules de duplication, sans faire appel aux formules d’Euler.
1
Exercice 26
1. D´eterminer l’ensembleE desθ∈Rtels que le nombre complexe Zθ= e2iθ−e−2iθ
eiθ+e−iθ soit bien d´efini.
2. Simplifier l’´ecriture deZθ, pour toutθ∈ E.
Exercice 27
1. (a) Soitx∈R. Lin´eariser sin4(x).
(b) Donner une primitive de la fonctionx7→sin4(x) surR. 2. (a) Soitx∈R. Lin´eariser cos5(x).
(b) Donner une primitive de la fonctionx7→cos5(x) surR. 3. (a) Soitx∈R. Lin´eariser cos6(x).
(b) Donner une primitive de la fonctionx7→cos6(x) surR.
F Exercice 28
1. Calculer la forme alg´ebrique et une forme trigonom´etrique de : z= eiπ3
eiπ4 et en d´eduire les valeurs de cosπ
12
et sinπ 12
.
2. Soitx∈R. D´emontrer que :
cos(3x) = 4 cos3(x)−3 cos(x).
3. SoitP le polynˆome d´efini par :
P = 4X3−3X−
√2 2 . (a) Montrer que cosπ
12
est racine deP. (b) En d´eduire les autres racines deP.
Exercice 29 : D´eterminer une forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants.
z1=−5 z2= 2i z3=−7
2i z4=−2 + 2i z5= 3i−3√ 3
Exercice 30 : D´eterminer une forme exponentielle de chacun des nombres complexes suivants.
z1= 5i−5√ 3
4i+ 4 z2= (1 +i√
3)7 z3=(1 +i)2 (1−i)3
F Exercice 31 : Soitθ∈R. On introduit le nombre complexe Zθ= 1 +eiθ. D´eterminer une forme exponentielle deZθ.
Indication : On pourra commencer par repr´esenter le point du plan d’affixeeiθ, puis le point du plan d’affixeZθ
sur une figure, pour conjecturer un argument θ0 deZθ.
2
F Exercice 32 : Soitθ∈R\ {2kπ : k∈Z} et soitn∈N. 1. Calculer la somme
S=
n
X
k=0
eikθ.
2. En d´eduire les valeurs des sommes : S1=
n
X
k=0
cos(kθ) et S2=
n
X
k=0
sin(kθ).
F Exercice 33
1. Soitn∈Net soitx∈R. Calculer la somme S1=
n
X
k=0
Cnkcos(kx).
2. Soitn∈N, soit x∈]0,2π[ et soity∈R. Calculer la somme S2=
n
X
k=0
cos(kx+y).
Exercice 34 : Soita∈R. R´esoudre l’´equation (E) d´efinie par : (E) : z2+a2= 0 d’inconnuez∈C.
Indication : On pourra utiliser judicieusement quei2=−1et penser `a une identit´e remarquable.
Exercice 35 : R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : z2=z+ 1 (E2) : z2=z−1 (E3) : z2+ 2z+ 5 = 0 (E4) : z4−1 = 0
Exercice 36
1. R´esoudre dansCl’´equation (E) d´efinie par :
(E) : z2−3√
3z+ 9 = 0.
2. Donner une forme exponentielle de chacune des solutions de (E).
Exercice 37 : SoitP le polynˆome d´efini par :
P =X3−X2−2X−12.
1. Montrer que 3 est racine deP.
2. En d´eduire l’ensemble des solutions complexes de l’´equationP(z) = 0.
Exercice 38
1. D´eterminer l’ensemble des couples (z1, z2)∈C2 tels que :
z1+z2= 31 et z1z2= 240.
2. D´eterminer l’ensemble des couples (z1, z2)∈C2 tels que :
z1+z2=−1 et z1z2= 1.
3
Exercice 39 R´esoudre les trois ´equations suivantes d’inconnuex∈R. (E1) : sin(4x) =
√3
2 (E2) : sin(x) = sin(2x) (E3) : sin(7x) = cos(5x)
Exercice 40 R´esoudre les trois ´equations suivantes d’inconnuex∈R. (E1) : cos(x) + sin(x) = 1 (E2) : 4 cos(x) + 4√
3 sin(x) = 9 (E3) : √
2 cos(x)−√
6 sin(x) = 2
Exercice 41
1. R´esoudre sur Rl’in´equation (I1) d´efinie par :
(I1) : cos(x)≥1 2. 2. R´esoudre sur [0,2π[ l’in´equation (I2) d´efinie par :
(I2) : cos(x)≥sin(x).
Exercice 42
1. Soient pet qdeux nombres r´eels. D´emontrer les identit´es suivantes.
cos(p) cos(q) = 1
2(cos(p−q) + cos(p+q)) sin(p) sin(q) =1
2(cos(p−q)−cos(p+q)) sin(p) cos(q) =1
2(sin(p−q) + sin(p+q)) 2. R´esoudre de deux mani`eres l’´equation (E) d´efinie par :
(E) : cos(2x) + cos(8x) = 0 d’inconnue x∈R.
3. R´esoudre de deux mani`eres l’´equation (E) d´efinie par :
(E) : cos(3x) = cos(11x) d’inconnue x∈R.
4. D´eterminer une primitive de la fonctionf d´efinie surRpar : f:R→R; x7→sin(3x) cos(7x).
4
