L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚7 G´ eom´ etrie dans l’espace
Exercice 87 : Soient (−→ i ,−→
j ,−→
k) une base de l’espace.
1. Les vecteurs−u→1
1 2 1
et−u→2
3 0
−2
sont-ils colin´eaires ?
2. Les vecteurs−→v1
√2 2
−√ 2
et−→v2
−1
−√ 2 1
sont-ils colin´eaires ?
3. D´eterminer l’ensemble des r´eelsatels que les vecteurs−→v1
4 a
−1
et−→v2
−a
−1
1 2
soient colin´eaires.
F Exercice 88 : Soit (−→ i ,−→
j ,−→
k) une base orthonorm´ee de l’espace.
1. Pour tous−u→1
a1
b1
c1
et−→u2
a2
b2
c2
vecteurs de l’espace, on note−→u1∧ −→u2 le vecteur d´efini par :
−
→u1∧ −→u2
b1 b2
c1 c2
c1 c2
a1 a2
a1 a2 b1 b2
.
Le vecteur −→u1∧ −→u2 est appel´e produit vectoriel de−u→1 par−u→2.
(a) On suppose que−u→1et −→u2 sont non nuls. Montrer l’´equivalence suivante :
−
→u1et −→u2 sont colin´eaires ⇐⇒ −→u1∧ −→u2=−→ 0. (b) D´emontrer que :
−
→u1∧ −→u2 ⊥ −→u1 et −→u1∧ −u→2 ⊥ −→u2.
2. Soient −→u
1 2 1
et−→v
2 1 2
.
(a) D´emontrer que les vecteurs−→u et−→v ne sont pas colin´eaires, en appliquant le r´esultat 1.(a).
(b) Donner un vecteur−→w orthogonal `a−→u et −→v, en appliquant le r´esultat 1.(b).
Exercice 89 : Soit (−→ i ,−→
j ,−→
k) une base de l’espace.
1. Soient −→u1
1 0 1
,−→u2
2
−1 0
,−u→3
1 1 1
.
(a) Montrer que les vecteurs−u→1,−→u2,−→u3ne sont pas coplanaires.
(b) Que peut-on en d´eduire ?
1
2. Soient −→v1
1 2
−3
,−→v2
1 1 2
, −→v3
4 6
−2
.
(a) Montrer que les vecteurs−→v1,−→v2,−→v3 sont coplanaires.
(b) Exprimer un des vecteurs−→v1,−→v2,−→v3 comme combinaison lin´eaire des deux autres.
Exercice 90 : SoitE= (−→e1,−→e2,−→e3) une base de l’espace. Soient−→ f1
1
−1 1
,−→ f2
1 0 1
,−→ f3
1 2 0
.
1. Montrer queF = (−→ f1,−→
f2,−→
f3) est une base de l’espace.
2. Soit −→u un vecteur de l’espace, soient
x1
x2
x3
ses coordonn´ees dans E et soient
y1
y2
y3
ses coordonn´ees dansF.
(a) Exprimerx1, x2, x3 en fonction dey1, y2, y3. (b) Donner une matricePE,F telle que :
x1 x2 x3
=PE,F
y1 y2 y3
et donner une interpr´etation des colonnes de PE,F. (c) Exprimery1, y2, y3 en fonction dex1, x2, x3.
(d) Quelles sont les coordonn´ees de−→e1,−→e2,−→e3 dans la baseF? (e) Donner une matricePF,E telle que :
y1 y2 y3
=PF,E
x1 x2 x3
et donner une interpr´etation des colonnes de PF,E. (f) Sans effectuer aucun calcul, montrer que :
PE,FPF,E
x1
x2
x3
=
x1
x2
x3
puis que
PE,F PF,E =I3. (g) Que peut-on d´eduire de la question pr´ec´edente ?
Exercice 91 : Soit (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.
1. Soient les vecteurs −→u(1,−1,1) et−→v(2,1,0) Montrer que les vecteurs−→u et−→v ne sont pas colin´eaires.
2. Soient les pointsA(1,1,1), B(1,3,1),C(2,1,−1). Montrer que les pointsA, B, C ne sont pas align´es.
3. SoitP1le plan d’´equation cart´esienne :
x+y+z+ 2 = 0,
soitP2le plan passant par le pointD(6,1,1) et engendr´e par−→u et−→v, soitP3le plan (ABC). D´emontrer que les plansP1,P2et P3 se coupent en un unique point. On pr´ecisera les coordonn´ees de ce point.
Exercice 92 : Soit (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. D´emontrer que les plans qui ont pour repr´esentations param´etriques :
x = 2 +t1+t2 y = 1−t1−2t2 z = −3t1+t2
et
x = 4 + 2t1 y = −2−3t1−t2 z = −2−2t1+ 4t2 sont confondus.
2
Exercice 93 : Soit (O;−→ i ,→−
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient les pointsA(1,−1,3) etB(3,1,−5).
On peut d´efinir le plan m´ediateur Mdu segment [AB] de deux mani`eres :
– le planMest le plan perpendiculaire `a la droite (AB) et passant par le milieu du segment [AB] ; – le planMest le lieu des pointsM de l’espace situ´es `a ´egale distance des points AetB, i.e. :
M={M appartenant `a l’espace |M A=M B}.
1. Donner une ´equation cart´esienne du plan Men ne consid´erant que la premi`ere d´efinition.
2. Donner une ´equation cart´esienne du plan Men ne consid´erant que la deuxi`eme d´efinition.
Exercice 94 : Soit (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soit P le plan d’´equation cart´esienne x−4y+ 3z−1 = 0 et soitA le point de coordonn´ees (1,−3,0).
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal A0 deAsurP. 2. Calculer de deux mani`eres la distance deAau planP.
F Exercice 95 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitA(1,1,1) et soitP le plan d’´equation cart´esienne x−2y+ 3z+ 4 = 0. Soit−→ua,b le vecteur de coordonn´ees (1, a, b) o`u (a, b)∈R2. On noteDa,b la droite passant parAet dirig´ee par−→ua,b.
1. (a) D´eterminer les couples (a;b)∈R2pour lesquels la droiteDa,b rencontre le planP.
(b) Soit (a, b)∈R2 tel que la droiteDa,b rencontre le planP. D´eterminer l’unique pointAa,bcommun `a Da,b et `a P (Aa,b est appel´eprojet´e deAsur le plan P parall`element `a la direction de−→ua,b).
2. (a) D´eterminer le couple (α, β)∈R2 pour lequel la droiteDα,β est perpendiculaire au planP.
(b) Que peut-on dire du pointAα,β? (c) Calculer la longueur longueurAAα,β.
Exercice 96 : Soit (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitA le point de coordonn´ees (−2,3,1) et soitP le plan d’´equation cart´esienne :
x+y−5z+ 1 = 0.
D´eterminer une ´equation cart´esienne de la sph`ere de centreAtangente `a P.
Exercice 97 : D´eterminer le centre et le rayon des sph`eres d’´equations cart´esiennes suivantes.
1. x2+y2+z2+ 2x−4y+ 8z−3 = 0 2. x2+y2+z2+x+y= 0
3. x2+y2+z2+ 5x−8 = 0
3
