Intégrales et primitives - Corrigé

Intégrales et primitives - Corrigé Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

Exercice 6 :

Exercice 7 :

Exercice 8 :

Exercice 9 : Partie A

1. Sur l’intervalle ]0;+∞[, les fonctions ↦ 2− 1 et ↦ 2 ln sont strictement croissantes donc, par somme, la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0;+∞[.

2. lim_→ = −∞ et lim_→ = +∞

La fonction est continue sur ]0;+∞[ (comme somme de fonctions usuelles continues sur cet intervalle) et strictement croissante. De plus 0 appartient à ]0; +∞[ =] − ∞; +∞[.

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que = 0. 3. La fonction étant strictement croissante, 0 < < ⇒ < 0 et > ⇒ > 0.

Partie B

1. lim_→2 = 0

→lim 1

^"= +∞

lim→ln = −∞# ⇒ lim_→− ln ^" = +∞

⎭⎪

⎬

⎪⎫

⇒ lim_→( = +∞ et _→lim 2 = +∞

→lim ln

^" = 0# ⇒ lim_→( = +∞

2. ( − 2 = −ln ^"

Le signe de cette différence dépend du signe de −ln . Or, −ln > 0 lorsque 0 < < 1 et −ln < 0 lorsque > 1

On en déduit que ( − 2 > 0 sur ]0; 1[ et ( − 2 < 0 sur ]1; +∞[. Finalement, ) est au-dessus de la droite ∆ sur ]0; 1[ et en-dessous sur ]1; +∞[.

3. La fonction ( est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) et somme de fonctions dérivables sur ce même intervalle et, pour tout > 0 :

(^* = 2 −

1 × ² − ln × 2

^- = 2 − − 2 ln

^- = 2 −1 − 2 ln

=2− 1 + 2 ln

=

Le dénominateur étant strictement positif sur ]0;+∞[, (′ a le même signe que . 4.

Partie C

Soit / un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine 0 du plan compris entre la courbe ), la droite

∆ et les droites d’équations respectives = 1 et = /. 1. La droite ∆ est au-dessus de ) sur ]1; +∞[ donc sur [1; /], l’aire du domaine 0, en unités d’aire, est donc égale à : 6 2 − ( 7⁸

9 = 6 ln

^" 7

8 9

Or, une unité d’aire est égale à 2 cm², par conséquent cette aire , exprimée en cm², est donnée par :

:8 = 2 6 ln ^" 7

8 9

2. (a) Quels que soient les réels ; et <, la fonction = est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) de fonctions dérivables sur ]0;+∞[ et, pour tout > 0 :

=^* =; × 1 × − 1 × ;ln + <

^" =; − < − ; ln ^"

Pour que = soit une primitive de (, il faut que =^* = ( c’est-à-dire : ; − < =0 et ; = −1

Ainsi, pour que = soit une primitive de la fonction ↦^>? _² sur ]0;+∞[, il faut que ; = < = −1.

b :8= 2 6 ln ^" 7

8

9 = 2 A−1 − ln

B

9

8= −2 A1 + ln B9

8= −2 C1 + ln /

/ − 1D = 2 C1 −1 + ln / / D 3. lim_8→1

/ = lim^8→ln /

/ = 0 donc lim^8→:8= 2

0 +∞

(^*

− 0 +

(

+∞ +∞

(