Rappels : Intégrales et primitives - Corrigé

Rappels : Intégrales et primitives - Corrigé Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

Exercice 6 :

Exercice 7 :

Exercice 8 :

Exercice 9 : Partie A

1. Sur l’intervalle ]0;+∞[, les fonctions ↦ 2− 1 et ↦ 2 ln sont strictement croissantes donc, par somme, la fonction est strictement croissante sur l’intervalle ]0;+∞[.

2. lim_→ = −∞ et lim_→ = +∞

La fonction est continue sur ]0;+∞[ (comme somme de fonctions usuelles continues sur cet intervalle) et strictement croissante. De plus 0 appartient à ]0; +∞[ =] − ∞; +∞[.

Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel tel que = 0. 3. La fonction étant strictement croissante, 0 < < ⇒ < 0 et > ⇒ > 0.

Partie B

1. lim_→2 = 0

→lim 1

^"= +∞

lim→ln = −∞# ⇒ lim_→− ln ^" = +∞

⎭⎪

⎬

⎪⎫

⇒ lim_→( = +∞ et _→lim 2 = +∞

→lim ln

^" = 0# ⇒ lim_→( = +∞

2. ( − 2 = −ln ^"

Le signe de cette différence dépend du signe de −ln . Or, −ln > 0 lorsque 0 < < 1 et −ln < 0 lorsque > 1

On en déduit que ( − 2 > 0 sur ]0; 1[ et ( − 2 < 0 sur ]1; +∞[. Finalement, ) est au-dessus de la droite ∆ sur ]0; 1[ et en-dessous sur ]1; +∞[.

3. La fonction ( est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) et somme de fonctions dérivables sur ce même intervalle et, pour tout > 0 :

(^* = 2 −

1 × ² − ln × 2

^- = 2 − − 2 ln

^- = 2 −1 − 2 ln

=2− 1 + 2 ln

=

Le dénominateur étant strictement positif sur ]0;+∞[, (′ a le même signe que . 4.

Partie C

Soit / un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine 0 du plan compris entre la courbe ), la droite

∆ et les droites d’équations respectives = 1 et = /. 1. La droite ∆ est au-dessus de ) sur ]1; +∞[ donc sur [1; /], l’aire du domaine 0, en unités d’aire, est donc égale à : 6 2 − ( 7⁸

9 = 6 ln

^" 7

8 9

Or, une unité d’aire est égale à 2 cm², par conséquent cette aire , exprimée en cm², est donnée par :

:8 = 2 6 ln ^" 7

8 9

2. (a) Quels que soient les réels ; et <, la fonction = est dérivable sur ]0;+∞[ comme quotient (de dénominateur non nul) de fonctions dérivables sur ]0;+∞[ et, pour tout > 0 :

=^* =; × 1 × − 1 × ;ln + <

^" =; − < − ; ln

^"

Pour que = soit une primitive de (, il faut que =^* = ( c’est-à-dire : ; − < =0 et ; = −1

Ainsi, pour que = soit une primitive de la fonction ↦^>? _² sur ]0;+∞[, il faut que ; = < = −1.

b :8= 2 6 ln ^" 7

8

9 = 2 A−1 − ln

B

9

8= −2 A1 + ln B9

8= −2 C1 + ln /

/ − 1D = 2 C1 −1 + ln / / D 3. lim_8→1

/ = lim^8→ln /

/ = 0 donc lim^8→:8= 2

0

(^* −

( +∞

Exercice 10 :

∀ ∈ [0; 1], ( = ; + <

^"− + 1 + J

+ 1 = ; + < + 1

^"− + 1 + 1 + J^"− + 1

^"− + 1 + 1

=;^" + ; + < + < + J^"− J + J

+ 1 = ; + J^"+ ; + < − J + < + J + 1

Par identification, on obtient le système : K ; + J = 1

; + < − J = 2

< + J = −2 ⇔ K; + < − J = 2

; + J = 1

< + J = −2 ⇔ K ; + < − J = 2

< − 2J = 1

< + J = −2 ⇔ K; + < − J = 2

< − 2J = 1

J = −1 ⇔ K ; = 2

< = −1 J = −1 On en déduit que :

( = 2 − 1

^" − + 1 − 1 + 1 : = 6 (7⁹

= 6 2 − 1

^"− + 1 7

9

− 6 1

+ 1 7

9

= [ln ^" − + 1]⁹ − [ln + 1]⁹ = −ln 2 Exercice 11 :

1) M = 2N + 1 = ON où O est de classe P⁹ sur [0; 1]

7M = O^*N7N = 27N

Les bornes : N = 0 ⇒ M = 1 et N = 1 ⇒ M = 3 Il reste à remplacer 2N + 1 par M et N par ^QR9_" : : = 6 N

2N + 1 7N

9

= 6

M − 1 2M ×1

2 7M

9 =1

4 6 M − 1 M 7M

9 =1

4 6 C1 −1 MD 7M

9 =1

4 [M − lnM]⁹

=1

4 2 − ln3

2) M = N + 1 = ON où O est de classe P⁹ sur [0; 1]

7M = O^*N7N = 7N

Les bornes : N = 0 ⇒ M = 1 et N = 1 ⇒ M = 2 Il reste à remplacer N + 1 par M et N par M − 1 : T = 6 N

√N + 17N

9

= 6 M − 1

√M 7M

"

9 = 6 C√M − 1

√MD 7M

"

9 = VM^"

32

− 2√MW

9

"

= A2

3 M√M − 2√MB₉

"

= C2

3 × 2√2 − 2√2D − C2

3 − 2D =2

3 X2 − √2Y

3) N = 3 − 2 = O où O est de classe P⁹ sur Z1;^-[ 7N = O^*7 = 37

Les bornes : = 1 ⇒ N = 1 et =^- ⇒ N = 2 Il reste à remplacer 3 − 2 par N et par ^\" : ] = 6 ^"

3 − 2^{^}7

-

9 = 6 _N + 23 `

"

N^{^} ×1 3 7N

"

9 = 1

27 6 N^"+ 4N + 4 N^{^} 7N

"

9 = 1

27 6 C1 N + 4

N^-+ 4 N^{^}D 7N

"

9

= 1 27 A− 1

2N^"+ 4 × −1 3N+−1

N^-B

9

"

= 1 27 C−1

8 − 4

3 × 8 − 1 16 +1

2 +4

3 + 1D = 119

48 × 27 = 119 1296

4) Il n’est pas possible de primitiver directement la fonction ↦ ^"e, on utilise alors une IPP.

Posons M = ^" et f^* = e.

Les fonctions M et f sont de classe P⁹ sur [0 ;1], une IPP est donc envisageable.

6 ^{9 "}e7

= [^"e]⁹− 6 2e⁹ 7

= e − 2 6 e⁹ 7

Il est nécessaire d’effectuer une seconde IPP en posant g = et toujours f^* = e Les conditions sont bien respectées pour une IPP :

6 e⁹ 7

= [e]⁹− 6 e⁹ 7

= e − e − 1 = 1 On en déduit : h ^{9 "}e7= e − 2

Exercice 12 :

Posons MN = lnN et f^*N = N⁸.

Les fonctions M et f sont de classe P⁹ sur [1 ; e], une IPP est donc envisageable.

:₈ = iN⁸⁹

/ + 1 lnNj₉

k

− 6 N⁸⁹ / + 1 ×1

N 7N

k

9 = e⁸⁹

/ + 1 − 1

/ + 1 6 N^{k 8}7N

9 = e⁸⁹

/ + 1 − 1

/ + 1 iN⁸⁹ / + 1j₉

k

= e⁸⁹

/ + 1 − 1

/ + 1 le⁸⁹− 1

/ + 1 m = e⁸⁹

/ + 1 − e⁸⁹

/ + 1^"+ 1

/ + 1^" = /e⁸⁹+ 1 / + 1^"

Posons gN = lnN^" et f^*N = N⁸.

Les fonctions g et f sont de classe P⁹ sur [1 ; e], une IPP est donc envisageable.

T₈ = iN⁸⁹

/ + 1 lnN^"j

9

k− 6 N⁸⁹

/ + 1 × 2 ×1

N lnN 7N

k

9 = e⁸⁹

/ + 1 − 2

/ + 1 6 N⁸lnN 7N = e⁸⁹

/ + 1 − 2 / + 1 :⁸

k 9

A l’aide du calcul précédent : T₈ = e⁸⁹

/ + 1 − 2

/ + 1 × /e⁸⁹+ 1

/ + 1^" = e⁸⁹

/ + 1 − 2/e⁸⁹+ 2

/ + 1 = / + 1^"e⁸⁹− 2/e⁸⁹− 2 / + 1

=/^"+ 1e⁸⁹− 2 / + 1 Exercice 13 :

1) On doit montrer que, pour tout réel, + √^"+ 1 > 0 Pour ≥ 0, ce résultat est évident.

Pour < 0, √^"+ 1 > √^" = || = −⇒√^" + 1 + > − + = 0 Conclusion : ( est bien définie sur ℝ.

2) f est dérivable sur ℝ comme composée de fonctions dérivables et : (^* =X + √^"+ 1Y^*

+ √^" + 1 =1 + 2

2√^"+ 1

+ √^"+ 1 =1 +

√^"+ 1 + √^"+ 1=

√^"+ 1 +

√^"+ 1

+ √^"+ 1 = 1

√^"+ 1 3) On considère les suites numériques

( )

( )



=

1

0

1 2

dx x u x

n

n et

( ) ( )



=

1 +

0

2 2

2

1 1

dx x x

v x

n

n .

a M = 6 1

√1 + ^"7

9

= [(]⁹ = lnX1 + √2Y et M₉ = 6

√1 + ^"7

9

= Zq1 + ^"[

9 = √2 − 1

b) Même méthode qu’à la question 2)b) de l’exercice 8.

c) On démontre tout d’abord que : ⁸

√^" + 1≤ ⁸

Puis on calcule l’intégrale de chaque membre de l’inégalité …

d) Comme précédemment, on peut montrer que, pour tout entier naturel /, 0 ≤ f₈ ≤ 1

/ + 3 Et conclure …

e) Une IPP semble attendue dans cette question : Posons :

M = 1

√1 + ^" et f^* = ⁸ M^* = −

√1 + ^"

1 + ^" = −

1 + ^"√1 + ^" et f = ⁸⁹ / + 1

Pour tout entier naturel /, M₈ = 6 ⁸

√1 + ^"7

9

= i⁸⁹

/ + 1 × 1

√1 + ^"j

9

− 6 −

1 + ^"√1 + ^" × ⁸⁹ / + 1 7

9

= i ⁸⁹ / + 1√1 + ^"j

9

+ 1

/ + 1 6 ^8"

1 + ^"√1 + ^" 7

9

= 1

/ + 1√2+ 1 / + 1 f⁸ On en déduit que :

/M₈ = /

/ + 1√2+ /

/ + 1 f⁸ → 1

√2

Enfin, M₈ est équivalent à _8√"⁹ au voisinage de +∞.

Exercice 14 :

1 La fonction (: N ↦e^\

N est continue sur ]0; +∞[ donc sur tout intervalle inclus dans ]0; +∞[.

Pour tout > 0, l’intervalle [; ^"] (si ≥ 1) ou l’intervalle [^"; ] (si 0 < ≤ 1) sont inclus dans ]0; +∞[.

L’intégrale 6 e^\ N 7N

^|

est donc définie pour tout > 0.

La fonction H est donc bien définie sur ]0; +∞[.

2) Notons = une primitive de la fonction ( sur ]0; +∞[. Pour tout ∈ ]0; +∞[,

~ = 6 e^\ N 7N

^|

= [=N]^| = =^" − =

= étant dérivable sur ]0; +∞[primitive … , par composée et somme, ~ est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout > 0,

~^* = 2 × =^*" − =^* = 2(^" − ( = 2 ×e^{| "} −e

= 2e^| −e

=2e^|− e 3) Soit > 1, alors ^" > et donc les bornes de l’intégrale sont dans l’ordre croissant.

On part de l’encadrement de N induit par l’intégrale : < N < ^"

e < e^\< e^| e

N <e^\ N <e^|

N 6 e

N 7N

^|

< 6 e^\ N 7N

^|

< 6 e^| N 7N

^|

On calcule séparément :

6 e N 7N

^|

= e6 7N

N

^|

= eln^" − ln = e2 ln − ln = eln

6 e^| N 7N

^|

= e^|6 7N

N

^|

= e^|ln

On en déduit que, pour tout > 1, eln < ~ < e^|ln

4 Par produit, lim_→eln = +∞, donc, par comparaison 1ère inégalité, lim_→~ = +∞, De l’encadrement précédent, on déduit, pour tout > 1 :

e

ln <~ <e^|

ln Toujours par produit, lim_→e

ln = +∞, puis par comparaison, lim^→~

= +∞

Exercice 15 :

1 La fonction (: N ↦e^\

N est continue sur ]0; +∞[ donc sur tout intervalle inclus dans ]0; +∞[.

Pour tout > 0, l’intervalle [1; ] (si ≥ 1) ou l’intervalle [; 1] (si 0 < ≤ 1) sont inclus dans ]0; +∞[.

L’intégrale 6 e^\ N 7N

9 est donc définie pour tout > 0.

La fonction F est donc bien définie sur ]0; +∞[. Notons „ une primitive de la fonction ( sur ]0; +∞[. Pour tout ∈ ]0; +∞[,

= = 6 e^\ N 7N

9 = [„N]₉ = „ − „1

„ étant dérivable sur ]0; +∞[primitive, par somme, = est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout > 0,

=^* = „^* − 0 = ( =e

Remarque : on pouvait aussi utiliser un résultat de cours et préciser que = est la primitive de ( qui s’annule en 1 ce qui permet de répondre de façon immédiate aux différentes questions posées.

2) Il est clair que =^* > 0 sur ]0; +∞[ et donc = est strictement croissante sur ce même intervalle.

En outre, =1 = 0 et comme = est strictement croissante sur ]0; +∞[ : 0 < < 1 ⇒ = < =1 ⇒ = < 0

> 1 ⇒ = > =1 ⇒ = > 0

3) a) est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions dérivables sur ce même intervalle :

* = =^* −1

=e −1

=e− 1

> 0 sur ]0; +∞[.

La fonction g est donc strictement croissante sur ]0; +∞[ et comme g(1)=0, on déduit en s’inspirant de la question 2) le signe de .

b) Pour tout > 1, > 0 donc = > ln et donc, par comparaison,

→lim = = +∞,

Pour tout 0 < < 1, < 0 donc = < ln et donc, par comparaison, lim→= = −∞,

4) On étudie les variations puis le signe de la fonction ℎ définie sur ]0; +∞[ par : ℎN = e^"\− N

ℎ^*N =1 2 e

"\− 1 =1 2 Ce

"\− 2D

L’étude du signe donne : ℎ^*N > 0 sur ]2 ln2 ; +∞[ et ℎ^*N < 0 sur ]0; 2 ln2[

La fonction ℎ est donc décroissante puis croissant e et admet un minimum en 2 ln2. Or ℎ2 ln2 = 2 − 2 ln2 > 0 et donc ℎN > 0 sur ]0; +∞[.

En multipliant par e^|† dans l’inégalité précédente, on obtient :

∀N > 0, e^\ > Ne^\"

Puis que, pour tout N > 0, e^\

N > e

"\ puis par croissance de l^*intégrale, 6 e^\ N 7N

9 > 6 e ^"\7N

9 et donc, = > 2 _e^"− √e`

Il reste à calculer lim_→=

∶ par comparaison, on obtient + ∞.

Exercice 16 :

On note (: ℝ → ℝ l’application de classe C², définie, pour tout ∈ ℝ , par ( = − ln 1 + ^"

h (7⁹ = h ^{9 "}− ln 1 + ^"7= h ^{9 "}7− h ln 1 + ^{9 "}7

On utilise le changement de variable défini par N = 1 + ^" dans la deuxième intégrale.

6 ln 1 + ^{9 "}7

= 6 ln 1 + ^{9 "}Š‹Š

Bornes : = 0 ⇒ N = 1 et = 1 ⇒ N = 2

7N = 27⇒ 7 =⁹_"7N 6 ln 1 + ^{9 "}7

= 6 ln N ×1

2 7N

"

9 = 1

2 6 ln N 7N

"

9 =1

2 [N ln N − N]^9" = 1

2 2 ln 2 − 2 − 1 ln 1 − 1

=1

2 2Œ/2 − 1 Enfin :

6 (7⁹

= 6 ^{9 "}7

− 6 ln 1 + ^{9 "}7

= i

3 j

9

−1

2 2 ln 2 − 1 =1

3 − ln 2 +1 2 =5

6 − ln 2.