2020-2021 A.OLLIVIER CoursdeterminaleSLogarithmenépérien

(1)

Cours de terminale S Logarithme népérien

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2020-2021

A. OLLIVIER Cours de terminale S Logarithme népérien

(2)

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur^R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que quel que soit le réelastrictement positif, il existe un réel uniquex tel que e^x =a.

Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur ^R de l’équation e^x = a, d’inconnue x, s’appelle . . . .

. . . . Définition

(3)

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur^R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que quel que soit le réelastrictement positif, il existe un réel uniquex tel que e^x =a.

Siaest un réel strictement positif, la solution unique sur^R de l’équation e^x =a, d’inconnuex, s’appellelogarithme népériendea, et on notex = lna.

Définition

(4)

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : . . . .

On dit que la fonctionlnest la . . . de la fonctionexp.

(5)

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par :x 7−→lnx.

Définition

(6)

Autrement dit, pour toutx strictement positif, . . . .

(7)

Autrement dit, pour toutx strictement positif, y = lnx ⇐⇒e^y =x Définition

(8)

Autrement dit, pour toutx strictement positif, y = lnx ⇐⇒e^y =x

(9)

Autrement dit, pour toutx strictement positif, y = lnx ⇐⇒e^y =x Définition

On dit que la fonctionlnest lafonction réciproquede la fonctionexp.

(10)

Autrement dit, pour toutx strictement positif, y = lnx ⇐⇒e^y =x

On dit que la fonctionlnest lafonction réciproquede la fonctionexp.

Ainsi :ln1=0 puisque e⁰=1 etlne=1 puisque e¹=e.

(11)

De plus : silnx =y alorsx =e^y et 1

x =e^−y soitln 1 x

!

=−y.

(12)

!

=−y. On obtient donc, pour tout réelx strictement positif :

. . . .

(13)

!

=−y. On obtient donc, pour tout réelx strictement positif :

ln1

x =−lnx

(14)

Pour tout réelx,ln(e^x) =x

et pour tout réelx strictement positif, e^ln^x =x Propriété

(15)

La fonction logarithme népérien est . . . .

. . . . Propriété

Démonstration partielle

On admet que la fonctionlnest continue et dérivable sur ]0; +∞[.

(16)

La fonction logarithme népérien estcontinue et dérivable sur]0; +∞[ etln^′(x) = 1

x. Propriété

(17)

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur]0; +∞[ etln^′(x) = 1

x. Propriété

(18)

x. Propriété

alorsf^′(x) =. . . .

(19)

x. Propriété

alorsf^′(x) =ln^′(x)×exp(lnx) = ln^′(x)×x.

(20)

x. Propriété

alorsf^′(x) =ln^′(x)×exp(lnx) = ln^′(x)×x. Orf^′(x) =1, d oùln^′(x) =. . .

(21)

x. Propriété

alorsf^′(x) =ln^′(x)×exp(lnx) = ln^′(x)×x. Orf^′(x) =1, d oùln^′(x) =1

x

(22)

La fonction logarithme népérien est . . . .

. . . . Théorème

(23)

La fonction logarithme népérien eststrictement croissante sur]0; +∞[.

Théorème

(24)

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur]0; +∞[.

Théorème

ln^′(x) = 1 x et 1

x >0 pour toutx >0 ; puisque sa dérivée est strictement positive sur]0; +∞[, on conclut que la fonctionln est strictement croissante sur]0; +∞[.

(25)

Pour tout réelsaetbstrictement positifs,

. . . . Corollaire

En particulier : 0<x <1 équivaut àlnx <0 etx >1 équivaut àlnx >0.

(26)

a<b⇐⇒lna<lnb et a=b⇐⇒lna= lnb Corollaire

(27)

a<b⇐⇒lna<lnb et a=b⇐⇒lna= lnb Corollaire

(28)

x−→lim+∞lnx =. . . .

(29)

x−→lim+∞lnx =+∞

(30)

x−→lim+∞lnx = +∞ et lim

x−→0

x>0

lnx =. . . .

(31)

x−→0

x>0

lnx =−∞

(32)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . .

(33)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini :quel que soit le réelA, six >e^Aalorslnx >A; donc l’intervalle]A; +∞[ contient toutes les valeurs delnx pourx assez grand.

(34)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réelA, six >e^Aalorslnx >A; donc l’intervalle]A; +∞[ contient toutes les valeurs delnx pourx assez grand.

Ensuite : lim

x−→0

x>0

lnx = lim

x−→0

x>0

−ln1 x ;

or, . . . .

(35)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

Ensuite : lim

x−→0

x>0

lnx = lim

x−→0

x>0

−ln1 x ; or, lim

x−→0

x>0

1

x = +∞ et lim

X−→+∞−lnX =−∞

(36)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

Ensuite : lim

x−→0

x>0

lnx = lim

x−→0

x>0

−ln1 x ; or, lim

x−→0

x>0

1

x = +∞ et lim

X−→+∞−lnX =−∞

Donc, par composition, on obtient . . . .

(37)

x−→0

x>0

lnx =−∞

Démonstration

Ensuite : lim

x−→0

x>0

lnx = lim

x−→0

x>0

−ln1 x ; or, lim

x−→0

x>0

1

x = +∞ et lim

X−→+∞−lnX =−∞

Donc, par composition, on obtient lim

x−→0

x>0

lnx =−∞.

(38)

précédents. Puisque la fonctionlnest la réciproque de la fonctionexp, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équationy =x. La courbe passe par les points de coordonnées(1;0)et(e;1).

La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeurln^′(1) =1.

Puisque lim

x−→0

x>0

lnx =−∞, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une asymptote d’équationx =0, soit l’axe des ordonnées.

(39)

Fonction logarithme népérien

x 0 +∞

f^′(x) = 1 x f(x) = lnx

(40)

x 0 +∞ f^′(x) = 1

x f(x) = lnx

(41)

x 0 +∞

f^′(x) = 1 x f(x) = lnx

+

(42)

x 0 +∞ f^′(x) = 1

x f(x) = lnx

+

−∞

(43)

x 0 +∞

f^′(x) = 1 x f(x) = lnx

+

−∞

+∞

(44)

x 0 +∞ f^′(x) = 1

x f(x) = lnx

+

−∞

+∞

(45)

FIGURE–Courbe représentative de la fonctionln

(46)

FIGURE–Courbe représentative de la fonctionln

(47)

déduire une relation fonctionnelle pour la fonction lnà partir de celle existant pour la fonctionexp:

pour tout réelsx ety,exp(x) exp(y) = exp(x+y) doncln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x+y)) =x +y;

si on posea= exp(x)etb= exp(y), soitx = lnaety = lnb on obtient :

Quels que soient les réelsaetb strictement positifs : . . . .

Théorème

(48)

celle existant pour la fonctionexp:

pour tout réelsx ety,exp(x) exp(y) = exp(x+y) doncln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x+y)) =x +y;

si on posea= exp(x)etb= exp(y), soitx = lnaety = lnb on obtient :

Quels que soient les réelsaetb strictement positifs : ln(a×b) = lna+ lnb

Théorème

(49)

Remarque

Sia=b, la relation fonctionnelle nous donne :ln(a²) =2lna.

On peut alors en déduire :lnx = ln((√

x)²) =2ln(√ x), soit ln(√

x) = 1 2lnx.

(50)

Quels que soient les réelsa,b strictement positifs et l’entier relatifn:

. . . .

. . . . Propriété

(51)

Quels que soient les réelsa,b strictement positifs et l’entier relatifn:

lna b

= lna−lnb ln 1

b

=−lnb ln(aⁿ) =nlna

Propriété

(52)

Démonstration

• La deuxième propriété a déjà été prouvée.

(53)

Démonstration

• pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle :

lna

b =. . . .

(54)

Démonstration

• pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle :

lna

b =ln a× 1 b

!

= lna+ ln1

b= lna−lnb.

(55)

Démonstration

pour la troisième propriété notéePn: "ln(aⁿ) =nlna" ; nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

(56)

Initialisation : . . . .

(57)

Démonstration

Initialisation :ln(a⁰) = ln1=0 et 0lna=0 doncP0est vraie.

(58)

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soit . . . .

(59)

Démonstration

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitln(a^k) =klna.

(60)

Alors, . . . . . . . .

. . . .

(61)

Démonstration

Alors,ln(a^k⁺¹) = ln(a^k ×a) = ln(a^k) + lna=klna+ lna d’après l’hypothèse de récurrence,

doncln(a^k⁺¹) = (k +1) lna etP_k+1est vraie.

(62)

Conclusion : . . . .

(63)

Démonstration

Conclusion :Pnest vraie pour toutn∈^N.

(64)

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, ln(aⁿ) = ln 1

a⁻ⁿ=−ln(a⁻ⁿ)

(65)

Démonstration

or(−n)∈^N; on peut donc écrireln(a⁻ⁿ) = (−n) lna

(66)

Démonstration

or(−n)∈^N; on peut donc écrireln(a⁻ⁿ) = (−n) lna On en déduit que :ln(aⁿ) =nlna.

(67)

x−→lim+∞

lnx

x =. . .

Théorème

(68)

x−→lim+∞

lnx x =0 Théorème

(69)

x−→lim+∞

lnx

x =0 et lim

x−→0

ln(1+x)

x =. . .

Théorème

(70)

x−→lim+∞

lnx

x =0 et lim

x−→0

ln(1+x)

x =1

Théorème

(71)

Démonstration

• On sait que pour toutaréel,a<exp(a) , donc pour touta strictement positif, lna≤a. (Croissance de la fonctionln).

(72)

On en déduit que pour toutx strictement positifln√ x ≤√

x d’où 1

2lnx ≤√

x et donclnx ≤2√ x.

(73)

Démonstration

x d’où 1

2lnx ≤√

x et donclnx ≤2√ x. Alors, pour toutx ≥1 : 0≤ lnx

x ≤ 2√ x x , c’est-à-dire : 0≤ lnx

x ≤ 2

√x .

(74)

x d’où 1

2lnx ≤√

x et donclnx ≤2√ x. Alors, pour toutx ≥1 : 0≤ lnx

x ≤ 2√ x x , c’est-à-dire : 0≤ lnx

x ≤ 2

√x . De plus lim

x→+∞

√2

x =0 , donc par application du théorème des gendarmes, lim

x→+∞

lnx x =0.

(75)

Remarque

On pouvait aussi écrire lnx

x = X

exp(X)= 1

exp(X) X

,

et appliquer les théorèmes sur la composition et l’inverse de limites.

(76)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

. . . .

(77)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

le taux d’accroissement de la fonctionlnen 1.

(78)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

Sa limite quandx tend vers 0 est le . . . . . . . .

(79)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

Sa limite quandx tend vers 0 est lenombre dérivé de la fonctionlnen 1 qui est 1.

(80)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

Sa limite quandx tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonctionlnen 1 qui est 1.

Donc lim

x→0

ln(1+x)

x = lim

x→0

ln(1+x)−ln1

x =. . .

(81)

Démonstration

• ln(1+x)

x = ln(1+x)−ln1

x est

Sa limite quandx tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonctionlnen 1 qui est 1.

Donc lim

x→0

ln(1+x)

x = lim

x→0

ln(1+x)−ln1

x =1.

(82)

siu est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalleIde^R, alors la fonction composéeln◦u, no- tée aussilnu, est dérivable surIet

(ln◦u)^′(x) =. . . . Propriété

Par exemple, on obtient pour toutx >−b a : (ln(ax+b))^′ =. . . .

(83)

(ln◦u)^′(x) = u^′(x) u(x) Propriété

(84)

(85)

Par exemple, on obtient pour toutx >−b a : (ln(ax +b))^′ = a

ax +b

(86)

Remarque

u étant strictement positive, le signe de(lnu)^′ est le même que celui deu^′.

(87)

Remarque

u étant strictement positive, le signe de(lnu)^′ est le même que celui deu^′.

Cette dérivée satisfait à la formule générale : (f(u(x))^′ =u^′(x)×f^′(u(x))