Partie IV. Une inégalité de Chebychev.

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MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 8 pour le vendredi 23/01/15 24 avril 2020

On rappelle qu'aucune notion de somme innie ou de produit inni ne gure dans le programme de MPSI. Aucun raisonnement faisant intervenir de telles notions ne sera pris en compte.

Dans tout ce problème¹,xet δ désignent des nombres réels strictement supérieurs à1. On introduit diverses notations particulières.

La partie entière de xest notée bxc. La partie fractionnaire dex est notée{x}. Par dénition :

x=bxc+{x} {x} ∈[0,1[

L'ensemble des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux àxest notéE(x). L'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à x est notéP(x). Le nombre

d'éléments deP(x)est notéπ(x).

L'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des éléments deP(x)est notéN(x).

Pour tout entier naturel non nul m, l'ensemble des entiers dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que des éléments de P(x)avec des exposants inférieurs ou égaux àmest notéNm(x).

Pour toutδ≥1xé, on dénit :

Z_x= X

n∈E(x)

1

n^δ S_m(x) = X

n∈N_m(x)

1 n^δ

Partie I. Une formule d'Euler.

Dans cette partieδ >1et x≥2.

1. Parmi les ensemblesE(x), N(x), Nm(x)lesquels sont nis ? Pour chacun de ceux là, préciser le cardinal avec les notations de l'énoncé.

Montrer que, pour x xé, il existe un entier m à préciser tel que E(x) ⊂ Nm(x). Montrer que, pour xet mxés, il existe un y > 1 à préciser tel queNm(x)⊂ E(y)? Que peut-on en déduire pour les sommesSm(x),Zx,Zy?

2. Montrer que

Y

p∈P(x) m

X

k=0

1 p^kδ

!

=S_m(x)

3. Étude de la suite(Z_i)_i∈

N^∗.

1d'après Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, G. Tenenbaum

a. Pour tout entier naturel non nulj, montrer que δ−1

(j+ 1)^δ ≤ 1

j^δ−1 − 1

(j+ 1)^δ−1 ≤ δ−1 j^δ

b. Montrer que 1

δ−1 − 1

(δ−1)(i+ 1)^δ−1 ≤Z_i≤ 1

δ−1 + 1− 1 (δ−1)i^δ−1

c. Montrer que la suite (Zi)_i∈N∗ est convergente. On note ζ(δ)sa limite². Montrer

que 1

δ−1 ≤ζ(δ)≤ 1 δ−1 + 1

d. Pourxxé, montrer que la suite(Sm(x))_m∈N∗ est convergente. On noteS(x)sa limite. Montrer que

S(x)≤ζ(δ) 4. Soitpun nombre premier, montrer que la suite

m

X

k=0

1 p^kδ

!

m∈N^∗

est convergente et préciser sa limite.

5. Montrer que :

Z_x≤ Y

p∈P(x)

1

1−_p¹_δ ≤ζ(δ) En déduire une formule d'Euler :

x→∞lim Y

p∈P(x)

1

1−_p¹_δ =ζ(δ)

Partie II. Constante d'Euler.

Dans cette partie on prendδ= 1et on note

Z_x= X

n∈E(x)

1 n

2il s'agit de la très célèbre fonction zeta de Riemann

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1408E

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1. Pour tout entier naturel non nuln, on poseun=Zn−lnn. a. Montrer que pour tout entier naturel non nuli:

1

i+ 1 ≤ln(i+ 1)−ln(i)≤1 i b. Déduire de la question a. que la suite(un)_n∈

N^∗ est décroissante.

c. Déduire de la question a. que

∀n∈N^∗: 1 n ≤un

d. Montrer que la suite(un)_n∈N∗est convergente. On noteγsa limite³etvn=un−γ pour tout naturel non nuln.

2. Montrer que

∀x∈ [0,1[ :x+ ln(1−x) + x² 2(1−x) ≥0 En déduire que

∀n∈N^∗ : 1 n+ 1+ ln

1− 1

n+ 1

+ 1

2n(n+ 1) ≥0

3. Pour tout naturel non nuln, on posewn=vn−_2n¹ . Montrer que la suite(wn)_n∈

N^∗ est croissante puis que :

∀n∈N^∗: 0≤Z_n−lnn−γ≤ 1 2n 4. Montrer que

∀x∈ [0,1[ :x+ ln(1−x) + x² 2(1 +x) ≤0 En déduire que

∀n∈N^∗ : 1 n+ 1+ ln

1− 1

n+ 1

+ 1

2(n+ 1)(n+ 2) ≤0 puis que la suite

v_n−_2(n+1)¹

n∈N^∗

est décroissante. Montrer l'équivalence des suites :

Z_n−lnn−γ∼ 1 2n

u v

mentier

?

équationuv=x

Fig. 1: Hyperbole de Dirichlet

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Partie III. Valeur moyenne du nombre de diviseurs.

Dans cette partie,δ= 1. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à1, on noteτ(n)le nombre de diviseurs denetD(x)la somme des nombres de diviseurs des entiers inférieurs ou égaux àx. On se propose de montrer que, en+∞,

D(x) x = 1

x X

n∈E(x)

τ(n) = lnx+ 2γ−1 +O( 1

√x)

1. Question de cours.

Soientf,g,hdes fonctions dénies dans ]1,+∞[et qui ne s'annulent pas. Énoncer la dénition de :

en +∞: f(x) =g(x) +O(h(x))

2. Sur la gure1, les points représentés par les petits disques sont à coordonnées entières et on noteHxla courbe (hyperbole de Dirichlet). Comment s'interprètentτ(x)etD(x) pour cette gure ? Préciser l'ordonnée marquée par un point d'interrogation.

Montrer que :

2 X

m∈E(√ x)

bx

mc=D(x) +b√ xc²

3. Montrer que

xZ^√_x−√

x≤ X

m∈E(√ x)

bx

mc ≤xZ^√_x

4. Former un encadrement montrant le résultat annoncé.

Partie IV. Une inégalité de Chebychev.

On se propose dans cette partie de montrer l'inégalité de Chebychev :

∀n∈N\ {0,1}, θ(n)≤nln 4 avec θ(n) = X

p∈P(n)

lnp

1. Montrer ce résultat pourn= 2.

2. Montrer que sin≥4 est pair et si l'inégalité est vraie au rangn−1 alors elle l'est au rangn.

3. On suppose maintenant quenest impair et on l'écritn= 2m+ 1avecm∈N.

3constante d'Euler

a. En considérant le développement de(1 + 1)^2m+1, montrer que 2m+ 1

m

≤4^m

b. Soitpun nombre premier vériantm+ 1< p≤2m+ 1. Montrer quepdivise ^2m+1_m .

c. En déduire que

θ(2m+ 1)−θ(m+ 1)≤ln

2m+ 1 m

4. Montrer que l'inégalité est vraie pour tout naturel non nuln≥2.