TS SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES 16/01/2018 Cours :
En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
Exercice 1 :
On souhaite déterminer les entiers naturels ݔ et ݕ tels que ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4
1) Montrer que si ሺ2ݔ + ݕሻሺ3ݔ − ݕሻ = 4, alors 2ݔ + ݕ et 3ݔ − ݕ sont des diviseurs de 4.
2) Conclure.
Exercice 2 : Critère de divisibilité d’un nombre par 7
Pour savoir si un entier naturel ݊ est divisible par 7, on sépare le chiffre des unités de ݊ des autres chiffres et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités. L’entier ݊ est divisible par 7 si, et seulement si, cette différence est divisible par 7.
Exemples :
861 est-il divisible par 7 ? On effectue 86 − 2 × 1 = 84 et on recommence avec 84 (8 − 2 × 4 = 0ሻ ou on remarque directement que 84 = 7 × 12 ; 84 est divisible par 7 donc 861 aussi.
1 354 est-il divisible par 7 ? On effectue 135 − 2 × 4 = 127 puis 12 − 2 × 7 = −2 qui n’est pas divisible par 7 donc 1 354 n’est pas divisible par 7.
1) 1106 est-il divisible par 7 ? et 638 ?
2) On se propose maintenant de démontrer ce critère pour un nombre de trois chiffres.
Soit ݊ un entier naturel de trois chiffres dont l’écriture décimale est ݊ = ܾܽܿതതതതത avec ܽ ≠ 0 c’est-à-dire : ݊ = ܽ × 10² + ܾ × 10 + ܿ.
a) Démontrer que : ݊ ≡ 2ܽ + 3ܾ + ܿ [7].
b) On appelle ݉ l’entier égal à la différence décrite ci-dessus dans l’expression « on sépare le chiffre des unités de ݊ des autres chiffres et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités ».
Montrer que : ݉ ≡ 3ܽ + ܾ − 2ܿ [7].
c) En déduire que : ݊ − 3݉ ≡ 0 [7] et ݉ + 2݊ ≡ 0 [7]
d) En déduire que : ݉ ≡ 0 [7] ⇔ ݊ ≡ 0 [7]
e) Conclure.
Exercice 3 :
Le code de la carte de crédit d’Augustin est un nombre à quatre chiffres qui ne commence pas par 0.
Augustin a remarqué qu’en ajoutant 17 au code de sa carte, il obtient un carré parfait (c’est-à-dire le carré d’un nombre entier).
De même, en ajoutant 86, il obtient encore un carré parfait.
Quel est le code de sa carte de crédit ?
Exercice 4 :
Soit ݊ un entier naturel non nul.
1) Établir que l’équation (E) : 14ݔ² + 7ݕ²= 10ଶ où ݔ et ݕ sont des entiers relatifs n’a pas de solutions.
2) On considère l’équation notée (F) : 3ݔ² + 7ݕ²= 10ଶ où ݔ et ݕ sont des entiers relatifs.
a) Montrer que 100 ≡ 2 [7].
b) Démontrer que si ሺݔ ; ݕሻ est solution de (F) alors 3ݔ²≡ 2[7].
c) Compléter le tableau suivant : Reste de la division
euclidienne de ݔ par 7 0 1 2 3 4 5 6
Reste de la division euclidienne de 3ݔ² par 7.
d) Compléter le tableau suivant :
݊ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Reste de la division euclidienne de
2 par7.
Montrer que 2 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7
e) En déduire que l’équation (F) n’admet pas de solution.
Exercice 5 : Bonus, seulement s’il reste du temps
On lance des fléchettes sur la cible ci-dessous. De combien de manières peut-on réaliser un total de 200 points ? (on ne tiendra compte que des fléchettes qui rapportent des points)
