TS-Spé Trames exercices 103 et 105 p 467 (DECLIC) 2012-2013

(1)

TS-Spé Trames exercices 103 et 105 p 467 (DECLIC) 2012-2013

103 p 467

E =

9 + a

²

, a ∈ N

^∗

Dans cet exercice, on recherche des éléments de E qui sont des puissances de 2, de 3 ou de 5.

1. 9 + a

²

= 2

ⁿ

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 4.

(a) Si a existe alors a est impair.

Dans l’hypothèse où a existe, on peut utiliser l’équation. On demande de prouver que a est impair, comme il n’y a que deux possibilités pair ou impair, utiliser un raisonnement par l’absurde en supposant que a est pair.

(b) En raisonnant modulo 4, prouver que l’équation n’a pas de solution.

a est congru à 0,1,2 ou 3 modulo 4 mais comme il est impair s’il existe, cela réduit les possibilités : il n’en reste que 2.

2. 9 + a

²

= 3

ⁿ

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 3.

(a) Si n > 3, 3

ⁿ

est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

C’est du classique, on examine les puissances succesives de 3 modulo 4

(b) Si a existe, a est pair.

Comme à la question 1.a.

prouver que n est pair. Encore un raisonnement par l’absurde et il faut utiliser le résultat de la question précédente 2.a

(c) On pose n = 2p avec p > 2. Factoriser 3

ⁿ

− a

²

et montrer que l’équation n’a pas de solution.

n = 2p logique avec le résultat de la question précédente. La marche à suivre est indiquée, l’interprétation de la factorisation relève du fait que les quantités factorisées sont des entiers : cela réduit les possibilités

3. 9 + a

²

= 5

ⁿ

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 2.

(a) On suppose n impair. Prouver que 5

ⁿ

≡ 2 (3) et que l’équation n’a pas de solution.

L’indication modulo 3 dans la première partie de la question donne une indication sur la marche à suivre. Examiner les congruences modulo 3 de a et examiner les possibilités d’égalité.

(b) n est pair. Montrer qu’il existe un seul entier a tel que a

²

+ 9 soit une puissance de 5.

L’énoncé précise la marche à suivre.

My Maths Space 1 sur 2

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TS-Spé Trames exercices 103 et 105 p 467 (DECLIC) 2012-2013

105 p 467

Critère de divisibilité par 7 : Pour savoir si un entier naturel est divisible par 7, on sépare le chiffre des unités de n des autres chiffres et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités.

L’entier n est divisible par 7 si, et seulement si, cette différence est divisible par 7.

Critère de divisibilité par 7 pour un nombre de trois chiffres. n = abc avec a 6= 0.

1. Démonter que n ≡ 2a + 3b + c (7).

Écrire le nombre n dans la base décimale : n = 100 a + 10 b + c puis utiliser les propriétés de stabilité des congruences par addition et multiplication (modulo 7 évidemment).

2. m est la différence décrite ci-dessus. Prouver que m ≡ 3 a + b − 2 c (7).

La difficulté réside dans l’écriture en base décimale de m ensuite la méthode est identique à celle décrite ci-dessus.

3. En déduire que : n − 3 m ≡ 0 (7) et m + 2 n ≡ 0 (7).

Encore les propriétés des congruences modulo 7 : 9 a ≡ 2 a (7) ....

4. En déduire que : m ≡ 0 (7) ⇔ n ≡ 0 (7).

Les deux relations de la question précédente permettent de démontrer cette équivalence qu’il faut justifier en examinant les deux sens. Si m ≡ 0 (7) alors .... et si n ≡ 0 (7) alors ...

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103 p 467

E =

9 + a

, a ∈ N

Dans cet exercice, on recherche des éléments de E qui sont des puissances de 2, de 3 ou de 5.

1. 9 + a

= 2

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 4.

(a) Si a existe alors a est impair.

Dans l’hypothèse où a existe, on peut utiliser l’équation. On demande de prouver que a est impair, comme il n’y a que deux possibilités pair ou impair, utiliser un raisonnement par l’absurde en supposant que a est pair.

(b) En raisonnant modulo 4, prouver que l’équation n’a pas de solution.

a est congru à 0,1,2 ou 3 modulo 4 mais comme il est impair s’il existe, cela réduit les possibilités : il n’en reste que 2.

2. 9 + a

= 3

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 3.

(a) Si n > 3, 3

est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

C’est du classique, on examine les puissances succesives de 3 modulo 4

(b) Si a existe, a est pair.

Comme à la question 1.a.

prouver que n est pair. Encore un raisonnement par l’absurde et il faut utiliser le résultat de la question précédente 2.a

(c) On pose n = 2p avec p > 2. Factoriser 3

− a

et montrer que l’équation n’a pas de solution.

n = 2p logique avec le résultat de la question précédente. La marche à suivre est indiquée, l’interprétation de la factorisation relève du fait que les quantités factorisées sont des entiers : cela réduit les possibilités

3. 9 + a

= 5

avec a ∈ N , n ∈ N , n > 2.

(a) On suppose n impair. Prouver que 5

≡ 2 (3) et que l’équation n’a pas de solution.

L’indication modulo 3 dans la première partie de la question donne une indication sur la marche à suivre. Examiner les congruences modulo 3 de a et examiner les possibilités d’égalité.

(b) n est pair. Montrer qu’il existe un seul entier a tel que a

+ 9 soit une puissance de 5.

L’énoncé précise la marche à suivre.

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105 p 467

Critère de divisibilité par 7 : Pour savoir si un entier naturel est divisible par 7, on sépare le chiffre des unités de n des autres chiffres et on effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités.

L’entier n est divisible par 7 si, et seulement si, cette différence est divisible par 7.

Critère de divisibilité par 7 pour un nombre de trois chiffres. n = abc avec a 6= 0.

1. Démonter que n ≡ 2a + 3b + c (7).

Écrire le nombre n dans la base décimale : n = 100 a + 10 b + c puis utiliser les propriétés de stabilité des congruences par addition et multiplication (modulo 7 évidemment).

2. m est la différence décrite ci-dessus. Prouver que m ≡ 3 a + b − 2 c (7).

La difficulté réside dans l’écriture en base décimale de m ensuite la méthode est identique à celle décrite ci-dessus.

3. En déduire que : n − 3 m ≡ 0 (7) et m + 2 n ≡ 0 (7).

Encore les propriétés des congruences modulo 7 : 9 a ≡ 2 a (7) ....

4. En déduire que : m ≡ 0 (7) ⇔ n ≡ 0 (7).

Les deux relations de la question précédente permettent de démontrer cette équivalence qu’il faut justifier en examinant les deux sens. Si m ≡ 0 (7) alors .... et si n ≡ 0 (7) alors ...

5. Conclure.

La question précédente n’est autre que la traduction mathématique du critère énoncé plus haut.

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