Ω ⋆ de même mesure que Ω. Le théorème de FaberKrahn est une inégalité isopérimétrique pour la première valeur propre de Dirihlet d'un domaine.

Le réarrangement sphérique d'un domaine

Ω ⊂ R ^d

est la boule

Ω ^⋆

^{de même mesure que}

Ω

^{. Le théorème de FaberKrahn est une inégalité} isopérimétrique pour la première valeur propre de Dirihlet d'un domaine.

Théorème 4.1 (FaberKrahn, 1920++). Pour haque domaine borné

Ω ⊂ R ^d

,

λ 1 (Ω) ≥ λ 1 (Ω ^⋆ ).

Exerie 1. Montrez que parmi les retangles d'aire xée, le arré maximise la première

valeur propre.

Exerie 2. Étant donné un domaine borné

Ω

^{, notons}

Ω ^⋆⋆

^{un domaine onstitué de deux}

boules disjointes de même mesure totale que

Ω

^{. Montrez que}

λ ₂ (Ω) ≥ λ ₂ (Ω ^⋆⋆ ).

Étant donnée une fontion lissepositive

f : Ω → R

s'annulant sur

∂Ω

^{, dénissons}

Ω t = {x ∈ Ω : f (x) > t}.

Le réarrangementsphérique de

f

^{est la fontion}

f ^⋆ : Ω ^⋆ → R

dénie par

f ^⋆ (x) = sup{t : x ∈ Ω t }.

On aeptera sans démonstration que

f ^⋆ ∈ H ₀ ¹ (Ω ^⋆ )

^.

Lemme 4.2. Soit

u

^{une fontion propre positive assoiée à}

λ ₁ (Ω)

^{. Alors}

Z

Ω

|∇u| ² ≥ Z

Ω ^⋆

|∇u ^⋆ | ² , Z

Ω

u ² = Z

Ω ^⋆

(u ^⋆ ) ² .

La preuve de l'inégalitéde Faber-Krahn déoulealors diretement de laaratérisation

λ ₁ (Ω) = min{R(u) u ∈ H ₀ ¹ (Ω)}.

Théorème 4.3. Soit

f ∈ C(Ω) ∩ C ^∞ (Ω)

^,

h ∈ L ¹ (Ω)

^{. Alors,}

Z

Ω

h(x) dx = Z ^∞

t= −∞

Z

f ⁻¹ (t)

h|∇f | da t

dt,

où

da t

^{est la mesure de longueur sur la ourbe}

f ^{− 1} (t)

^{, qui est un ensemble régulier pour}

haque valeur régulière 1

t

^.

En lasse,j'ai utilisé laformulede o-aire pour montrer

Z

Ω

|∇u| ² ≥ Z

Ω ^⋆

|∇u ^⋆ | ² .

Exerie 3. En supposant que

u

^et

u ^⋆

^sont régulières, montrez que

Z

Ω

u ² = Z

Ω ^⋆

(u ^⋆ ) ² .

1

IldéouleduthéorèmedeSardquelesvaleursritiquesformentunensembledemesurenulle.

Exerie 4. Pour haque

k ∈ N

, alulez

sup{λ k (Ω) : Ω ⊂ R ² , |Ω| = 1},

inf{µ k (Ω) : Ω ⊂ R ² , |Ω| = 1}.