Inégalité de Hölder.

Lycée Hoche MPSI B Feuille Fonctions convexes

1.

^(Efc01)

Inégalité de Hölder.

Soit n > 1 un nombre entier et

x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

, y

₁

, y

₂

, · · · , y

_n

des réels strictement positifs. On se donne aussi un réel K > 0 un entier s et on dénit des réels λ

1

, · · · , λ

n

en posant pour tout i entre 1 et n :

λ

i

= Ky

^s_i

a. Soit p > 1 réel, montrer que la fonction x → x

^p

est convexe dans ]0, +∞[ .

b. Préciser K pour que

n

X

i=1

λ

_i

y

_i

= 1

c. En utilisant la convexité de x → x

^p

et

n

X

i=1

x

i

y

i

=

n

X

i=1

(λ

i

y

i

)( x

i

λ

i

)

former une inégalité. Préciser s pour que l'exposant de y

i

disparaisse.

d. On dénit le nombre q > 1 par la formule 1

p + 1 q = 1 Démontrer l'inégalité de Hölder

n

X

i=1

x

i

y

i

≤

n

X

i=1

x

^p_i

!

¹_{p n}

X

i=1

y

_i^q

!

¹_q

2.

^(Efc02)

Soit f et g deux fonctions convexes de R dans R, on suppose de plus que g est croissante. Montrer que g◦f est convexe. Montrer que si f est à valeurs strictement positives, ln ◦f convexe entraîne f convexe.

3.

^(Efc03)

Soit f une fonction dénie dans ]0, +∞[ . Montrer que x → f (

_x¹

) est convexe si et seulement si x → xf (x) est convexe.

4.

^(Efc04)

Soit α , β , x , y réels strictement positifs tels que α + β = 1 . Montrer que

x

^α

y

^β

≤ αx + βy

Pour α et β xés, préciser des réels x et y pour les- quels l'inégalité est une égalité. Pour une application, voir l'exercice Etl06 de la feuille Formules de Taylor.

5.

^(Efc05)

Soient f et g des fonctions continues par morceaux dans [0, 1] et à valeurs positives. On suppose que R

1

0

f = 1 . Montrer que

Z

1

0

f (x) ln(g(x)) dx ≤ ln Z

1

0

f (x)g(x) dx

6.

^(Efc06)

Soit g continue, convexe dénie dans un intervalle I et f en escalier dénie dans [0, 1] et à valeurs dans I . Montrer que R

[0,1]

f ∈ I et que g

Z

[0,1]

f

!

≤ Z

[0,1]

g ◦ f

Étendre au cas où f est continue dans [0, 1] .

7.

^(Efc07)

Soit J un intervalle de R et (f

i

)

_i∈I

une famille de fonctions convexes dénies dans J et à valeurs réelles.

On ne suppose rien sur l'ensemble I . Il peut être ni ou inni. On suppose en revanche que, pour chaque x ∈ J , l'ensemble {f

i

(x), i ∈ I} est majoré. On pose

∀x ∈ J : f (x) = sup {f

i

(x), i ∈ I}

Montrer que f est convexe.

8.

^(Efc08)

Soit f une fonction convexe continue bijective et monotone. Montrer que sa bijection réciproque est soit convexe soit concave.

9.

^(Efc09)

a. Soit a , b , c trois réels strictement positifs et λ ∈ [0, 1[ . On suppose que

∀x > 0, e

^ax

≤ λe

^bx

+ (1 − λ)e

^cx

Montrer que a ≤ λb + (1 − λ)c .

b. Soit f une fonction dénie dans un intervalle I et à valeurs strictement positives. Montrer que

(∀α > 0, f

^α

convexe ) ⇒ ln ◦f convexe 10.

^(Efc10)

Soit f une fonction convexe sur un intervalle de la

forme [m, +∞[ .

a. Montrer que f est décroissante ou diverge vers +∞

en +∞ .

b. Décrire tous les comportements possibles de

^f(x)_x

en +∞ .

c. Calculer une primitive de th . Donner un exemple de fonction f convexe telle que

^f(x)_x

converge en +∞ .

11.

^(Efc11)

Soit I un intervalle de R et f une fonction continue dans I . On suppose que :

∀(a, b) ∈ I

²

, f ( a + b

2 ) ≤ f (a) + f (b) 2 Montrer que f est convexe (dichotomie).

12.

^(Efc12)

Une inégalité de Minkowski

a. Soit p > 1 . Montrer que la fonction f dénie dans ]0, +∞[ par :

f (x) = (1 + x

^p

)

^1p

est convexe.

b. Soient x

1

, x

2

, · · · , x

n

et y

1

, y

2

, · · · , y

n

des nombres réels strictement positifs. Montrer que

x

1 p

1

+ · · · + x

1

np

p

+

y

1 p

1

+ · · · + y

1

np

p

≤

(x

1

+ y

1

)

^p1

+ · · · + (x

n

+ y

n

)

^p1

^p

13.

^(Efc13)

Soit I un intervalle de R et f une fonction dénie

dans I et à valeurs strictement positives. Montrer que ln ◦f est convexe si et seulement si f

^α

est convexe pour tous les α > 0 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_fcpdf du 28 février 2020

Lycée Hoche MPSI B Feuille Fonctions convexes : corrigés

1. pas de correction pour Efc01.tex 2. pas de correction pour Efc02.tex 3. pas de correction pour Efc03.tex

4.

^(Cfc04)

On applique l'inégalité de convexité à la fonc- tion exponentielle (qui est convexe) entre ln(x) et ln(y) . Lorsque x = y

x

^α

y

^β

= x

^α+β

= x et αx + βy = x On est donc dans un cas d'égalité.

5.

^(Cfc05)

Utiliser la concavité de ln . Établir la relation d'abord pour une fonction constante puis pour des fonc- tions en escalier puis pour des fonctions continues par morceaux.

6.

^(Cfc06)

La fonction en escalier f est bornée et atteint ses bornes qui sont donc dans I . L'intégrale est la valeur moyenne de f . Elle est comprise entre les bornes et donc dans I car I est un intervalle.

Soit S = (x

0

, · · · , x

n

) une subdivision de [0, 1] adaptée à f . Les nombres x

_i+1

− x

_i

sont positifs et de somme 1 . On peut donc écrire une inégalité de convexité pour g :

g Z

[0,1]

f

!

= g

n−1

X

i=0

(x

i+1

− x

i

)v

i

!

≤

n−1

X

i=0

(x

i+1

− x

i

)g(v

i

) = Z

[0,1]

g ◦ f

où g ◦ f est encore en escalier.

L'extension au cas où f est continu repose sur le théo- rème d'approximation d'une fonction continue par une fonction en escalier et sur le théorème de Heine.

Soit ε > 0 arbitraire. D'après le théorème de Heine (ap- pliqué à g ), il existe un α > 0 tel que

∀(u, v) ∈ I

²

, |u − v| ≤ α ⇒ |g(u) − g(v)| < ε 2 D'après le théorème d'approximation d'une fonction continue par une fonction en escalier (appliqué à f ), il existe ϕ en escalier tel que

∀x ∈ [0, 1], |f (x) − ϕ(x)| < α

Comme les deux intégrales sont dans I (intervalle), on peut en déduire

Z

[0,1]

f − Z

[0,1]

ϕ

≤ α

⇒ g Z

[0,1]

f

!

≤ g Z

[0,1]

ϕ

! + ε

2 On applique alors la propriété dans le cas des fonctions en escalier qui donne

g Z

[0,1]

f

!

≤ Z

[0,1]

g ◦ ϕ + ε 2

Puis, pour tout x dans [0, 1]

|f (x) − ϕ(x)| < α ⇒ |g(f (x)) − g(ϕ(x))| < ε 2

ce qui entraine Z

[0,1]

g ◦ ϕ ≤ Z

[0,1]

g ◦ f + ε 2

On termine par un raisonnement à la Cauchy car ε est arbitraire.

7. pas de correction pour Efc07.tex 8. pas de correction pour Efc08.tex 9.

^(Cfc09)

a. On écrit des développements limités pour x en 0 à l'ordre 1 . Un 1 se simplie, on divise par x > 0 et on termine par un passage à la limite dans une inégalité.

b. On écrit l'inégalité de convexité pour f

^α

avec u , v et λ . On utilise le a. avec α dans le rôle de x , ln(f (λu + (1 − λ)v) dans celui de a , ln(f (u)) dans celui de b et ln(f(v)) dans celui de c .

10. pas de correction pour Efc10.tex 11. pas de correction pour Efc11.tex 12.

^(Cfc12)

a. Dériver.

b. Considérer λ

1

u

1

+ · · · + λ

n

u

n

avec

u

i

= x

i

y

_i

_p¹

λ

i

= y

1 p

i

y

1 p

1

+ · · · + y

1

np

13.

^(Cfc13)

Supposons ln ◦f convexe. Pour tout α > 0 , dé- nissons la fonction ϕ

α

par

ϕ

_α

(t) = e

^αt

Cette fonction est convexe et croissante. En écrivant les inégalités de convexité et la croissance, on déduit que f

^α

= ϕ

_α

◦(ln ◦f ) est convexe. Supposons les ϕ

_α

convexes pour tous les α > 0 . Écrivons une inégalité de convexité

f

^α

(λx + (1 − λ)y) ≤ λf

^α

(x) + (1 − λ)f

^α

(y) Fixons x , y , λ et écrivons des développements limités des fonctions de α pour α tendant vers 0 . En identiant les termes d'ordre 1 , on obtient l'inégalité de convexité pour ln ◦f .

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