II. Intégration des fonctions en escalier . . . . 2

(1)

Une théorie de l'intégration sur un segment

Rédaction incomplète. Version 0.7

le 2 mars 2020

Plan

I. Cahier des charges . . . . 1

II. Intégration des fonctions en escalier . . . . 2

1. Subdivisions . . . . 2

2. Fonctions en escalier . . . . 2

3. Intégrale des fonctions en escalier . . . . 3

4. Validation du cahier des charges. . . . 3

1. Additivité . . . . 3

2. Linéarité . . . . 4

3. Positivité . . . . 4

III. Intégrales inférieure et supérieure d'une fonction bornée . . . . 5

IV. Fonctions uniformément continues . . . . 5

V. Intégration des fonctions continues par morceaux . . . . 6

1. Fonctions continues par morceaux . . . . 6

2. Approximations. . . . 8

3. Dénition . . . . 9

VI. Propriétés - Validation du cahier des charges . . . . 9

1. Additivité - Relation de Chasles . . . . 9

2. Linéarité . . . . 10

3. Positivité et conséquences . . . . 11

4. Sommes de Riemann . . . . 13

5. Intégrale et aire. . . . 14

VII.Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . 14

Index

continuité uniforme, 5

fonction continue par morceaux, 6 fonction en escalier, 2

fonction réglée, 6

inégalité de Cauchy-Schwarz, 13 inégalité de la moyenne, 12

intégrale : additivité - relation de Chasles, 9 intégrale : linéarité, 9

intégrale : positivité, 11

intégrale des fonctions continues par morceaux, intégrale des fonctions en escalier, 9 3

invariance par translation, 11

notation du domaine d'intégration, 4 pas de la subdivision, 2

relation de Chasles, 10 sommes de Riemann, 13 subdivision, 2

subdivision adaptée, 2 subdivision régulière, 2

théorème d'approximation des fonctions continues par morceaux, 8

théorème de Bolzano Weirstrass, 6 théorème de Heine, 5

valeur moyenne d'une fonction, 13

I. Cahier des charges

Une intégrale est un nombre associé à un objet géométrique (disons Ω ) et un objet analytique (disons f ). On

note Z

Ω

f

Un intégrale n'est ni une fonction ni un objet géométrique du type aire. L'image que l'on doit avoir d'une intégrale

est plutôt celle de la masse d'un objet pesant. On peut alors voir Ω comme l'étendue dans l'espace occupée par

l'objet matériel et f comme la fonction densité de masse. De nombreuses théories sont possibles dans des cadres

divers. Les propriétés suivantes sont requises.

(2)

Additivité par rapport aux objets géométriques . Relation de Chasles. La masse d'une tige formée à partir de deux tiges soudées est la somme des deux masses des tiges qui la constituent.

Linéarité par rapport à l'élément fonctionnel .

Positivité . Lorsque la densité est positive, la masse est positive.

Comportement pour des fonctions constantes . La masse d'une tige homogène est le produit de la longueur par la densité (constante dans ce cas particulier).

La théorie de l'intégration au programme de la classe est construite pour les fonctions continues par morceaux dénies sur un segment et à valeur réelle. Une brève généralisation aux fonctions à valeurs complexes continues par morceaux est présentée.

Les contraintes de comportement vis à vis des fonctions constantes et d'additivité conduisent à s'intéresser d'abord aux fonctions dites en escalier

II. Intégration des fonctions en escalier

1. Subdivisions

Dénition (Subdivision). Une subdivision d'un segment [a, b] est une famille nie (x

0

, x

1

, · · · , x

n

) telle que a = x

₀

< x

₁

< · · · < x

_n

= b

Remarque. Il faut bien faire la diérence entre une subdivision S = (x

0

, · · · , x

n

) et l'ensemble de ses valeurs {x

0

, · · · , x

n

} .

Toute partie nie de [a, b] contenant a et b est l'ensemble des valeurs d'une unique subdivision obtenue en rangeant par ordre croissant les éléments.

On appelle pas de la subdivision S = (x

0

, · · · , x

n

) le nombre noté δ(S) égal à la plus grande distance entre deux points consécutifs de la subdivision.

δ(S) = max{x

1

− x

0

, x

2

− x

1

, · · · , x

n

− x

_n−1

}

Dénition (Subdivision régulière). Une subdivision S = (x

0

, · · · , x

n

) de [a, b] est régulière lorsque pour tout k entre 0 et n − 1 :

x

k+1

− x

k

= b − a n

Dénition. Soit S = (x

0

, · · · , x

n

) et S

⁰

= (x

⁰₀

, · · · , x

⁰_n

) deux subdivisions de [a, b] . On dira que S

⁰

est plus ne que S lorsque {x

0

, · · · , x

n

} ⊂ {x

⁰₀

, · · · , x

⁰_n

} .

Proposition 1. Soit S = (x

0

, · · · , x

n

) et S

⁰

= (x

⁰₀

, · · · , x

⁰_n

) deux subdivisions de [a, b] . Il existe alors une subdivision S

⁰⁰

plus ne que S et que S

⁰

.

Preuve. Il sut de former la subdivision constituée à partir de l'ensemble égal à l'union des ensembles associés à S et S

⁰

.

2. Fonctions en escalier

a = x

0

x

1

x

2

x

3

x

5

x

6

= b

y

₀

y

₁

y

₂

y

₃

y

₄

y

₅

y

₆

y

₇

y

₈

y

₉

y

₁₀

Fig. 1: Subdivisions adaptées

Dénition (Fonction en escalier- Subdivision adaptée). Une fonction ϕ dénie sur un segment [a, b] est dite en escalier lorsqu'il existe une subdivision S = (x

0

, · · · , x

n

) de [a, b] telle que : pour chaque entier i entre 0 et n − 1 , la restriction de ϕ à l'intervalle ouvert ]x

i

, x

i+1

[ est constante.

Une telle subdivision est dite adaptée à ϕ .

L'ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] est noté E([a, b]) .

Exemples. Les fonctions considérées sont dénies sur un intervalle [a, b] . Une fonction nulle sauf en un nombre ni de points est en escalier.

La restriction de la fonction caractéristique de Q n'est pas en escalier.

(3)

Remarque. Une fonction en escalier admet plusieurs subdivisions adaptées. En particulier, si S est adaptée à une fonction en escalier ϕ et si S

⁰

est plus ne que S alors S

⁰

est adaptée à ϕ .

Proposition 2. Pour toutes fonctions ϕ et ψ en escalier sur [a, b] et tout nombre réel λ :

ϕ + ψ, λϕ, ϕψ, sup(ϕ, ψ), inf(ϕ, ψ)

sont en escalier sur [a, b] .

Preuve. Notons S

ϕ

une subdivision adaptée à ϕ et S

ψ

une subdivision adaptée à ψ . Considérons alors une subdivision S plus ne que S

ϕ

et S

ψ

. Sur un intervalle ouvert constitué par deux points consécutifs de S , les restrictions des deux fonctions sont constantes ; il en est donc de même pour les restrictions des fonctions proposées par la proposition (opérations fonctionnelles).

Remarque. La proposition précédente peut se reformuler de la manière suivante.

L'ensemble E([a, b]) des fonctions en escalier sur [a, b] est une sous-algèbre stable pour les opérations sup et inf de l'algèbre F([a, b]) de toutes les fonctions dénies dans [a, b] (à valeurs réelles).

Proposition 3. Une fonction en escalier sur [a, b]

prend un nombre ni de valeurs, elle est donc bornée.

admet en chaque point des limites à gauche et à droite (strictement) admet un ensemble ni de points de discontinuités.

Preuve. Conséquence immédiate de la dénition.

3. Intégrale des fonctions en escalier

Notation. Soit ϕ une fonction en escalier et S = (x

0

, · · · , x

n

) une subdivision adaptée à ϕ telle que v

i

soit la valeur de ϕ sur ]x

i

, x

i+1

[ . On note

I

_S

(ϕ) =

n−1

X

i=0

(x

i+1

− x

i

)v

i

.

Proposition 4. Soit ϕ une fonction en escalier et S , S

⁰

deux subdivisions adaptées. Alors I

S

(ϕ) = I

S⁰

(ϕ).

Dénition. L'intégrale d'une fonction en escalier ϕ dénie sur un segment [a, b] est la valeur commune de toutes les sommes I

_S

pour toutes les subdivisions adaptées S . Elle est notée

Z

[a,b]

ϕ.

Remarques. L'intégrale d'une fonction en escalier nulle sauf en un nombre ni de points est nulle.

La dénition de l'intégrale des fonctions en escalier traduit exactement la dernière des propriétés requises au début. La masse d'une tige de densité constante est le produit de cette densité par la longueur de la tige.

Dans la sous-section suivante, on vérie les autres propriétés du cahier des charges.

4. Validation du cahier des charges

1. Additivité

Proposition 5. Soit [a, b] un segment ( a < b ), c ∈]a, b[ et ϕ une fonction dénie dans [a, b]) . Alors ϕ est en escalier sur [a, b] si et seulement si ses restrictions aux segments [a, c] et [c, b] sont en escalier. On a alors :

Z

[a,c]

ϕ

_|[a,c]

+ Z

[c,b]

ϕ

_|[c,b]

= Z

[a,c]

ϕ.

Remarque. En général, on ne note pas le marqueur de restriction et on écrit simplement Z

[a,c]

ϕ + Z

[c,b]

ϕ = Z

[a,c]

ϕ.

(4)

Preuve. Supposons ϕ ∈ E([a, b]) et considérons une subdivision de [a, b] adaptée à ϕ . On ajoute le point c à cette subdivision s'il n'y est pas et on la partitionne en des subdivisions de [a, c] et [c, b] . Ces subdivisions sont alors adaptées aux restrictions.

Réciproquement, si les deux restrictions sont en escalier, o en concatènant deux subdivisions adaptées aux restrictions, on forme une subdivision adaptée à ϕ . La formule pour les intégrales est immédiate avec la dénition par une somme.

La notation la plus simple et la plus générale d'une intégrale place l'élément géométrique en bas. Introduisons une nouvelle notation, un peu plus compliquée mais commode.

Notation. Soit ϕ ∈ E([a, b]) . On dénit les notations R

b

a

f et R

a b

f par : Z

b

a

f = Z

[a,b]

f,

Z

a b

f = − Z

[a,b]

f, on convient aussi que Z

a a

f = 0.

Proposition 6. Soit I un segment de R, ϕ ∈ E (I) et u , v , w dans I . Les restrictions de ϕ sont en escalier et Z

v

u

ϕ + Z

w

v

ϕ = Z

w

u

ϕ.

Preuve. La démonstration consiste à vérier la formule avec la proposition 5 en considérant tous les rangements possibles pour u , v , w .

Cas 1 2 3 4 5 6

Conguration u ≤ v ≤ w u ≤ w ≤ v v ≤ u ≤ w v ≤ w ≤ u w ≤ v ≤ u w ≤ u ≤ v Le cas 1 est la traduction directe de la proposition 5.

Examinons le cas 4 (les autres se traitent de la même manière). On applique la proposition 5 aux intervalles [v, w]

et [w, u] : Z

[v,w]

ϕ + Z

[w,u]

ϕ = Z

[v,u]

ϕ ⇒ Z

w

v

ϕ − Z

w

u

ϕ = − Z

v

u

ϕ ⇒ Z

v

u

ϕ + Z

w

v

ϕ = Z

w

u

ϕ.

2. Linéarité

Proposition 7. Soit ϕ et ψ dans E([a, b]) , λ ∈ R.

Z

[a,b]

(ϕ + ψ) = Z

[a,b]

ϕ + Z

[a,b]

ψ,

Z

[a,b]

λϕ = λ Z

[a,b]

ϕ.

Preuve. Immédiat avec la dénition de l'intégrale d'une fonction en escalier et une subdivision assez ne pour être adaptée aux deux fonctions.

Remarque. On a vu que l'intégrale d'une fonction nulle sauf en un nombre ni de points était nulle. Par linéarité, si deux fonctions en escalier sont égales sauf sur un nombre ni de points, elles ont la même intégrale.

3. Positivité

Proposition 8. Soit ϕ ∈ E([a, b]) . Si ϕ ≥ 0 (c'est à dire ∀x ∈ [a, b], ϕ(x) ≥ 0 ) alors R

[a,b]

ϕ ≥ 0 . Preuve. Immédiat avec la dénition de l'intégrale.

Proposition 9. Soit ϕ et ψ dans E([a, b]) .

ϕ ≤ ψ ⇒ Z

[a,b]

ϕ ≤ Z

[a,b]

ψ,

Z

[a,b]

ϕ

≤ Z

[a,b]

|ϕ|.

Preuve. Signalons d'abord que la valeur absolue d'une fonction en escalier est une fonction en escalier (prop 2).

La première inégalité est une conséquence de la linéarité et de la positivité appliquées à l'intégrale de ψ − ϕ ≥ 0 .

La seconde propriété résulte de la première appliquée à −|ϕ| ≤ ϕ ≤ |ϕ| .

(5)

III. Intégrales inférieure et supérieure d'une fonction bornée

Considérons une fonction f dénie sur un segment [a, b] et bornée. Par exemple, il existe M > 0 tel que :

∀x ∈ [a, b] : −M ≤ f (x) ≤ M

On dénit alors deux ensembles notés E

₋

(f ) et E

+

(f) formés respectivement par les fonctions en escalier qui minorent et qui majorent f . Si ϕ est une fonction en escalier :

ϕ ∈ E

₋

(f ) ⇔ ∀x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≤ f (x) ϕ ∈ E

₊

(f ) ⇔ ∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ ϕ(x)

Ces ensembles sont non vides car la fonction constante égale à −M est dans E

₋

(f ) et la fonction constante égale à M est dans E

+

(f ) . Il est à noter que

∀ϕ ∈ E

₋

, ∀ψ ∈ E

+

, ∀x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) Introduisons maintenant les parties I

₋

(f ) et I

+

(f ) de R dénies par :

I

₋

(f ) = ( Z

[a,b]

ϕ, ϕ ∈ E

₋

(f ) )

I

₊

(f ) = ( Z

[a,b]

ϕ, ϕ ∈ E

₊

(f) )

Ces parties se majorent et minorent mutuellement : Proposition 10.

∀I ∈ I

−

(f), ∀J ∈ I

+

(f ) : I ≤ J

Preuve. En eet, il existe des fonctions en escalier ϕ ∈ E

₋

(f ) et ψ ∈ E

₋

(f ) telles que I =

Z

[a,b]

ϕ J =

Z

[a,b]

ψ De plus

∀x ∈ [a, b] : ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) ⇒ ∀x ∈ [a, b] : ψ(x) − ϕ(x) ≥ 0 ⇒ J − I = Z

[a,b]

(ψ − ϕ) ≥ 0 par linéarité et positivité.

On peut donc dénir les intégrales inférieure et supérieure notées I

₋

(f ) et I

+

(f ) par : I

−

(f ) = sup(I

−

(f )) I

+

(f ) = inf(I

+

(f ))

On peut décréter d'appeler intégrables les fonctions bornées pour lequelles les intégrales inférieures et supérieures sont égales. Cela conduit à une théorie de l'intégration (parmi bien d'autres) qui n'est pas celle au programme de la classe.

En MPSI, on convient de n'appeler intégrables que les fonctions continues par morceaux. L'objet des prochaines sections est de montrer que pour une fonction continue par morceaux les intégrales supérieures et inférieures sont égales et que l'intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment ainsi dénie vérie le cahier des charges.

IV. Fonctions uniformément continues

Dénition. Une fonction f dénie sur un intervalle I est dite uniformément continue si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α

_ε

tel que : ∀(x, y) ∈ I

²

, |x − y| < α ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Remarque. Toute fonction k -lipschitzienne est uniformément continue.

Théorème (Théorème de Heine). Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.

(6)

Preuve. On va montrer l'implication contraposée.

Soit f dénie sur un segment I = [a, b] qui n'est pas uniformément continue. Il existe alors un ε > 0 tel que, pour tout α > 0 , il existe x et y dans I tels que |x − y| ≤ α et |f (x) − f (y)| ≥ ε .

À cause du ∀α , on peut considérer des α de la forme

¹_n

pour n ∈ N

^∗

. Marquons bien la dépendance des x et y vis à vis de ce α =

_n¹

. L proposition se traduit par l'existence de deux suites (x

_n

)

_n∈_N^∗

et (y

_n

)

_n∈_N^∗

telles que :

∀n ∈ N

^∗

: |x

n

− y

_n

| ≤ 1

n et |f (x

_n

) − f (y

_n

)| ≥ ε.

Comme I est un segment, la suite (x

n

)

_n∈N^∗

est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, on peut extraire une suite convergente, c'est à dire qu'il existe une partie innie I de N

^∗

telle que (x

n

)

_n∈I

converge. On note x sa limite.

Le théorème d'encadrement et la relation |x

n

− y

n

| ≤

¹_n

montrent que la suite (y

n

)

n∈I

converge aussi vers x . On peut alors utiliser la continuité de f en x pour former une contradiction par passage à la limite à partir de

∀n ∈ J : |f (x

_n

) − f (y

_n

)| ≥ ε car les deux suites (f (x

n

))

n∈J

et (f (y

n

))

n∈J

convergent vers f (x) .

Remarque. Exemple de fonction continue mais non uniformément sur un intervalle. Soit f une fonction uniformé- ment continue sur un intervalle I . On peut montrer en exercice qu'il existe des réels a et b tels que f (x) ≤ a + b|x|

pour tous les x ∈ I . On en déduit qu'une fonction uniformément continue sur un intervalle borné est bornée. Une fonction continue mais non bornée sur un intervalle borné n'est donc pas uniformément continue.

V. Intégration des fonctions continues par morceaux

a = x

₀

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

5

= b

Fig. 2: Fonction continue par morceaux

1. Fonctions continues par morceaux

La notion suivante n'est pas au programme mais permet de bien comprendre la situation.

Dénition (fonction réglée). Une fonction f dénie sur un segment [a, b] est dite réglée si et seulement si f admet une limite strictement à droite en tout x ∈ [a, b[ , et elle admet une limite strictement à gauche en tout x ∈]a, b] .

Une fonction f réglée sur [a, b] est continue en x ∈ ]a, b[ si et seulement si lim

x⁻⁻

= f (x) = lim

x⁺⁺

.

(7)

Exemple. Les fonctions en escalier sont continues par morceaux. Les restrictions aux intervalles ouverts attachés à une subdivision adaptée sont constantes.

Dénition. Une fonction f dénie sur un segment [a, b] est dite en continue par morceaux lorsqu'il existe une subdivision S = (x

₀

, · · · , x

_n

) de [a, b] telle que : pour chaque entier i entre 0 et n−1 , la restriction de f à l'intervalle ouvert ]x

_i

, x

_i+1

[ est continue et prolongeable par continuité au segment [x

_i

, x

_i+1

] .

Une telle subdivision est dite adaptée à f .

L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] est noté C

pm

([a, b]) .

Notation. Dans les conditions de la dénition, on convient de noter f

i

le prolongement continu à [x

i

, x

i+1

] de la restriction de f à ]x

i

, x

i+1

[ . Comme f

i

est une fonction continue sur un segment, elle est bornée et atteint ses bornes. On note donc

M

i

= max

[x_i,x_i+1]

f

i

, m

i

= min

[x_i,x_i+1]

f

i

Remarque. La condition de prolongeabilité par continuité signie que la fonction admet une limite nie strictement à droite de x

0

, x

1

, · · · , x

n−1

et une limite nie strictement à gauche de x

1

, x

2

, · · · x

n

. On peut utiliser cette remarque pour caractériser les fonctions continues par morceaux.

Remarque. Si f n'est pas continue en x , on dit que x est un point de discontinuité de f . Une fonction continue par morceaux est une fonction réglée avec un nombre ni de points de discontinuités.

Proposition 11. Une fonction continue par morceaux est bornée.

Une fonction continue par morceaux est continue en chaque point du segment sauf peut-être aux points de la subvision. Aux points de la subdivision elle admet des limites nies à gauche (sauf en a ) et à droite (sauf en b ) strictement.

Pour toutes fonctions f et g continues par morceaux sur [a, b] et tout nombre réel λ :

f + g, λf , f g, sup(f, g), inf(f, g)

sont continues par morceaux sur [a, b] .

Preuve. Avec les notations précisées plus haut :

∀x ∈ [a, b], f (x)

( ≥ min{m

0

, m

1

, · · · , m

_n−1

, f(x

0

), f (x

1

), · · · , f(x

n

)}

≤ max{M

₀

, M

₁

, · · · , M

_n−1

, f(x

₀

), f (x

₁

), · · · , f(x

_n

)}

Si u n'est pas un point de la subdivision, il est dans un intervalle ouvert sur lequel la restriction de f est continue. La fonction f est donc continue en u . La fonction admet des limites nies strictement de chaque côté d'un point de la subdivision à cause de la condition de prolongement.

Les stabilités pour les opérations se vérient comme pour les fonctions en escalier en considérant une subdivision assez ne pour être adaptée à toutes les fonctions. En se plaçant dans un intervalle ouvert déni par des points consécutifs de cette subdivision, on peut utliser les résultats relatifs aux opérations sur les fonctions convergentes.

Proposition 12. Toute fonction continue par morceaux est la somme d'une fonction continue et d'une fonction en escalier. Avec les notations de l'algèbre linéaire :

C

pm

([a, b]) = C([a, b]) + E ([a, b]).

L'ensemble des fonctions continues par morceaux est donc le plus petit espace vectoriel contenant les deux classes de fonctions élémentaires intéressantes. On peut remarquer que la somme n'est pas directe car l'intersection est formée par les fonctions constantes.

Preuve. L'inclusion C([a, b]) + E([a, b]) ⊂ C

pm

([a, b]) est évidente car les fonctions continues comme les fonctions en escalier sont continues par morceaux. Prouvons l'inclusion réciproque.

Toute fonction f continue par morceaux est réglée, c'est à dire qu'elle admet partout des limites strictement à gauche et à droite. Introduisons des fonctions sauts à gauche et à droite

s

_−,f

(x) =



 



 



0 si x = a

f (x) − lim

t→xt<x

f (t)

!

si x ∈ ]a, b] , s

+,f

(x) =



 



 



t→x

lim

t>x

f (t)

!

− f (x) si x ∈ [a, b[

0 si x = b

(8)

a = x

₀

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

= b

Fig. 3: Une fonction qui n'est pas continue par morceaux

À cause des résultats sur la convergence des fonctions, l'opération qui à une fonction associe un saut est linéaire :

∀(f, g) ∈ C

pm

([a, b]), ∀λ ∈ R ,

( s

_−,f_+g

= s

_−,f

+ s

_−,g

s

−,λf

= λs

−,f

,

( s

_+,f_+g

= s

_+,f

+ s

_+,g

s

+,λf

= λs

+,f

.

Les sauts de f sont des fonctions nulles sauf aux points où f est discontinue. Introduisons des fonctions qui somment les sauts de f

∀x ∈ [a, b], S

₋

(x) = X

t≤x

s

_−,f

(t), S

+

(x) = X

t<x

s

+,f

(t) avec S

+

(0) = 0.

Ces fonctions sont bien dénies car une fonction continue par morceaux n'admet qu'un nombre ni de discontinuités donc seul un nombre ni de t contribuent vraiment à chaque somme. De plus, elles sont en escalier et reproduisent les sauts de f :

s

_−,S₋

= s

_−,f

, s

+,S−

= 0, s

_−,S₊

= 0, s

+,S₊

= s

+,f

.

Notons S = S

₋

+ S

+

et g = f − s . Par linéarité les sauts de g à gauche et à droite sont nuls donc elle est continue.

On a obtenu la décomposition

f = S

en escalier

|{z}

+ g

continue

|{z}

.

2. Approximations

Théorème (Approximation des fonctions continues par morceaux). Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] . Pour tout ε > 0 , il existe des fonctions en escalier ϕ et ψ telles que pour tout x ∈ [a, b] :

ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x), ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε

Preuve. Ce théorème est admis. Sa démonstration repose sur l'utilisation du théorème de Heine appliqué aux fonctions f

i

.

Exemple. Les fonctions (dites de Darboux) sont des fonctions en escalier qui encadrent une fonction f continue.

par morceaux Elles sont dénies de la manière suivante.

Soit S = (x

0

, x

1

, · · · x

n

) une subdivision adaptée à f . Pour i entre 0 et n − 1 , on note f

i

le prolongement continu à

[x

i

, x

i+1

] de la restriction de f à ]x

i

, x

i+1

[ . Chaque fonction f

i

est continue sur son segment de dénition, elle est

(9)

donc bornée et atteint ses bornes notées m

i

et M

i

.

On dénit ∀x ∈ [a, b] les fonctions de Darboux inférieure ( ϕ

−

) et supérieure ( ϕ

+

) par :

ϕ

₋

(x) =

( f(x

i

) si ∃i tel que x = x

i

m

_i

si ∃i tel que x ∈]x

_i

, x

_i+1

[ ϕ

+

(x) =

( f(x

_i

) si ∃i tel que x = x

_i

M

i

si ∃i tel que x ∈]x

i

, x

i+1

[

On a alors ϕ

₋

(x) ≤ f (x) ≤ ϕ

+

(x) pour tous les x de [a, b] . Ces fonctions peuvent être utilisées pour démontrer le théorème d'approximation en considérant des subdivisions assez nes dont le pas est donné par le théorème de Heine.

3. Dénition

Proposition 13. Pour une fonction continue par morceaux, l'intégrale inférieure est égale à l'intégrale supérieure.

Preuve. Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] . D'après le théorème d'approximation, pour tout ε > 0 , il existe deux fonctions en escalier ϕ ∈ E

₋

(f ) et ψ ∈ E

+

(f ) telles que

∀x ∈ [a, b] : 0 ≤ ψ(x) − ϕ(x) ≤ ε Par linéarité et positivité,

Z

[a,b]

ψ − Z

[a,b]

ϕ = Z

[a,b]

(ψ − ϕ) ≤ Z

[a,b]

ε = (b − a)ε Par dénition des intégrales inférieure et supérieure et d'après l'encadrement précédent,

Z

[a,b]

ϕ ≤ I

₋

(f ) ≤ I

₊

(f ) Z

[a,b]

ψ ⇒ 0 ≤ I

₊

(f )− ≤ I

₋

(f ) ≤ Z

[a,b]

ψ − Z

[a,b]

ϕ ≤ (b − a)ε Mais comme b − a et xé et ε arbitraire,

I

₊

(f ) ≤ I

₋

(f ) ⇒ I

₊

(f ) = I

₋

(f)

Dénition. Pour une fonction continue par morceaux f sur un segment [a, b] , la valeur commune de l'intégrale inférieure et de l'intégrale supérieure est appelée l'intégrale de f et notée

Z

[a,b]

f

VI. Propriétés - Validation du cahier des charges

Les démonstrations proposées sont toutes du même type. Elle comprennent des majorations et se terminent par un raisonnement à la Cauchy.

1. Additivité - Relation de Chasles

Proposition 14. Soit a , b , c trois réels tels que a < b < c et f une fonction quelconque dénie dans [a, c] . f ∈ C

pm

([a, c]) ⇔ f

_|[a,b]

∈ C

pm

([a, b]) et f

_|[b,c]

∈ C

pm

([b, c])

Dans ce cas on a Z

[a,c]

f = Z

[a,b]

f + Z

[b,c]

f

Preuve. La première équivalence se démontre facilement en introduisant le point b dans les subdivisions de [a, c] .

Pour l'égalité des intégrales, considérons un ε > 0 quelconque. D'après le théorème d'approximation, il existe des

(10)

fonctions en escalier ϕ

ε

et ψ

ε

qui encadrent f et telles que ψ

ε

− ϕ

ε

≤ ε sur [a, c] donc aussi sur [a, b] et [b, c] . On peut donc écrire

Z

[a,c]

ϕ

_ε

≤ Z

[a,c]

f ≤ Z

[a,c]

ψ

_ε

× + 1

Z

[a,b]

ϕ

ε

≤ Z

[a,b]

f ≤ Z

[a,b]

ψ

ε

× − 1

Z

[b,c]

ϕ

_ε

≤ Z

[b,c]

f ≤ Z

[b,c]

ψ

_ε

× − 1

En soustrayant les deux dernières à la première, on obtient Z

[a,c]

ϕ

ε

− Z

[a,b]

ψ

ε

− Z

[b,c]

ψ

ε

≤ Z

[a,c]

f − Z

[a,b]

f − Z

[b,c]

f ≤ Z

[a,c]

ψ

ε

− Z

[a,b]

ϕ

ε

− Z

[b,c]

ϕ

ε

En utilisant les propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier (additivité, linéarité), on obtient

Z

[a,c]

f − Z

[a,b]

f − Z

[b,c]

f

≤ Z

[a,c]

(ψ

_ε

− ϕ

_ε

) ≤ (b − a)ε Comme ε est un réel strictement positif quelconque, cela entraine l'égalité.

Notation. Comme pour les fonctions en escalier, on introduit de nouvelles notations. Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] avec a < b .

Z

b a

f = Z

[a,b]

f, Z

a

b

f = − Z

[a,b]

f = − Z

b

a

f, on convient aussi que Z

a a

f = 0.

Avec ces notations, on peut reformuler la proposition précedente sous la forme d'une relation de Chasles Proposition 15 (relation de Chasles). Soit f une fonction continue par morceaux dans [a, b] et soit c ∈ [a, b] . Soit u , v , w trois réels deux à deux distincts parmi a , b , c . Alors :

Z

v u

f + Z

w

v

f = Z

w

u

f

Preuve. La démonstration est analogue à celle de la proposition 6. On considére toutes les congurations possibles des lettres et on se ramène dans chaque cas à la proposition formulée avec des intégrales sur des segments.

2. Linéarité

Proposition 16. Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment [a, b] et λ ∈ R.

Z

[a,b]

(f + g) = Z

[a,b]

f + Z

[a,b]

g,

Z

[a,b]

λf = λ Z

[a,b]

f

Preuve. Comme la démonstration n'est pas plus simple si on se limite aux fonctions en escalier, on se place dans le cadre plus général de fonctions bornées avec des intégrales supérieures et inférieures égales.

On suppose donc f et g bornées et telles que I

₋

(f ) = I

₊

(g) , I

₋

(f ) = I

₊

(g) . Il est alors clair que f + g est bornée.

Le cas de la somme est traité en détail. La démarche est analogue pour le produit par λ (en faisant attention au signe de λ ).

Soit ϕ

₁

quelconque dans E

₋

(f ) et ϕ

₂

quelconque dans E

₋

(g) alors ϕ

₁

+ ϕ

₂

∈ E

₋

(f + g) . On en déduit, par linéarité de l'intégration des fonctions en escalier et dénition de I

₋

,

∀ϕ

1

∈ E

−

(f), ∀ϕ

2

∈ E

−

(g) : Z

[a,b]

ϕ

₁

+ Z

[a,b]

ϕ

₂

≤ I

₋

(f + g) .

On joue avec les quanticateurs et les inégalités pour exploiter le fait que I

₋

(f ) et I

₋

(g) sont dénies comme des bornes supérieures.

∀ϕ

₁

∈ E

₋

(f ), ∀ϕ

₂

∈ E

₋

(g), Z

[a,b]

ϕ

₂

≤ I

₋

(f + g) − Z

[a,b]

ϕ

₁

!

⇒ ∀ϕ

₁

∈ E

₋

(f ), I

₋

(g) ≤ I

₋

(f + g) − Z

[a,b]

ϕ

₁

⇒ ∀ϕ

₁

∈ E

₋

(f), Z

[a,b]

ϕ

₁

≤ I

₋

(f + g) − I

₋

(g)

⇒ I

₋

(f ) ≤ I

₋

(f + g) − I

₋

(g) ⇒ I

₋

(f ) + I

₋

(g) ≤ I

₋

(f + g) .

(11)

On procède de manière analogue avec des fonctions en escalier ψ

1

et ψ

2

au dessus de f et g . La somme ψ

1

+ ψ

2

est dans E

+

(f + g) . On exploite le fait que I

+

(f + g) , I

+

(f ) , I

+

(g) sont dénies comme des bornes inférieures.

∀ψ

1

∈ E

+

(f ), ∀ψ

2

∈ E

+

(g), I

₊

(f + g) ≤ Z

[a,b]

ψ

₁

+ Z

[a,b]

ψ

₂

⇒ ∀ψ

1

∈ E

₋

(f ), ∀ψ

2

∈ E

+

(g), I

+

(f + g) − Z

[a,b]

ψ

1

≤ Z

[a,b]

ψ

2

!

⇒ ∀ψ

1

∈ E

₋

(f ), I

+

(f + g) − Z

[a,b]

ψ

1

≤ I

+

(g) ⇒ ∀ψ

1

∈ E

₋

(f ), I

+

(f + g) − I

+

(g) ≤ Z

[a,b]

ψ

1

⇒ I

+

(f + g) − I

+

(g) ≤ I

+

(f ) ⇒ I

+

(f + g) ≤ I

+

(f) + I

+

(g).

Le fait que les intégrales supérieures et inférieures de f et g sont égales permet de conclure I

₋

(f ) + I

₋

(g) ≤ I

₋

(f + g) ≤ I

₊

(f + g) ≤ I

₊

(f ) + I

₊

(g)

I

₋

(f ) = I

+

(f ) et I

₋

(g) = I

+

(g) )

⇒ I

₋

(f + g) = I

+

(f + g) . D'où R

[a,b]

(f + g) = R

[a,b]

f + R

[a,b]

g .

Proposition 17 (Invariance par translation). Soit f continue par morceaux sur un segment [a, b] , soit T ∈ R. On dénit la fonction f

_T

dans [a − T, b − T] par : f

_T

(x) = f (T + x) . Elle est continue par morceaux dans [a −T, b −T ] et vérie

Z

b−T a−T

f

_T

= Z

b

a

f

Preuve. Utilisons la notation de la proposition pour dénir une bijection (translation) entre les ensembles de

fonctions en escalier (

E ([a − T, b − T ]) → E([a, b]) ϕ 7→ ϕ

T

Elle transporte E

₋

(f

T

) sur E

₋

(f) et E

+

(f

T

) sur E

+

(f ) et conserve l'intégrale d'une fonction en escalier : Z

[a−T ,b−T]

ϕ

_T

= Z

[a,b]

ϕ.

On en déduit l'égalité des intégrales pour une fonction en escalier.

Remarque. Ce résultat peut apparaitre comme une conséquence du théorème de changement de variable mais il ne suppose que f soit C

¹

.

3. Positivité et conséquences

Proposition 18 (positivité de l'intégrale). Si f est une fonction continues par morceaux sur [a, b] et à valeurs positives ou nulles, alors son intégrale sur [a, b] est positive ou nulle.

Preuve. Comme f est à valeurs positives ou nulles, la fonction ϕ

0

constante nulle est en escalier et dans E

⁻

(f ) . Son intégrale est nulle. On a alors par dénition de l'intégrale d'une fonction en escalier : 0 ≤ I

(

f ) = R

[a,b]

f . Remarque. Si on utilise la notation intégrale avec des bornes a en bas et b en haut, pour utiliser la positivité, il faut faire attention à ce que les bornes soient dans le bon sens ( a ≤ b ).

On en déduit par linéarité les propriétés suivantes.

Proposition 19. Soit f et g continues par morceaux sur [a, b] :

f ≤ g ⇒ Z

[a,b]

f ≤ Z

[a,b]

g et Z

[a,b]

f

≤ Z

[a,b]

|f |

Preuve. Linéarité et positivité comme pour l'intégrale des fonctions en escalier.

(12)

a u x v b f (x)

λ

Fig. 4: Intégrale d'une fonction continue à valeurs positives

Proposition 20. Soit f une fonction continue sur [a, b] et à valeurs positives alors la nullité de l'intégrale de f sur [a, b] entraine que la fonction est constante de valeur 0 .

Preuve. Supposons f continue, positive et non identiquement nulle et montrons que son intégrale est strictement positive.

En eet, il existe un x tel que f (x) > 0 . Soit λ un réel tel que 0 < λ < f (x) . Comme f est continue en x , il existe des réels u et v tel que [u, v] ⊂ [a, b] et que f (t) ≥ λ pour t ∈ [u, v] (gure 4). On peut alors minorer par additivité et positivité

Z

b a

f ≥ Z

v

u

f ≥ Z

v

u

λ = (v − u)λ > 0

Proposition 21. Soit f une fonction continue non nulle sur [a, b] dont l'intégrale est nulle. Il existe un c tel que a < c < b et que f s'annule en c en changeant de signe.

Preuve. C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente.

Proposition 22 (inégalité de la moyenne). Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur [a, b] et m , M deux nombres réels. On suppose de plus que g est à valeurs positives ou nulles et que m ≤ f (x) ≤ M pour tous les x de [a, b] . Alors :

m Z

[a,b]

g ≤ Z

[a,b]

f g ≤ M Z

[a,b]

g

Preuve. Cela résulte de la propriété de positivité appliquée à mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x) . Cet encadrement est valable car g est à valeurs positives.

Remarque. Ce résultat est souvent utilisé simplement avec g constante de valeur 1 . Il est à rapprocher du plus simple des encadrements vu en début d'année.

Dénition (valeur moyenne d'une fonction). La valeur moyenne d'une fonction f ∈ C

_pm

([a, b]) est

_(b−a)¹

R

[a,b,)

f . Remarque. D'après l'inégalité de la moyenne, la valeur moyenne de f est comprise entre inf

_[a,b]

f et sup

_[a,b]

f . Si de plus f est continue, d'après le théorème de la valeur intermédaire, il existe un c ∈ [a, b] tel que

1 (b − a)

Z

[a,b,)

f

(13)

Proposition 23 (inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit f et g continues par morceaux sur [a, b] , alors

Z

[a,b]

f g

≤ s Z

[a,b]

f

²

s Z

[a,b]

g

²

De plus si f et g sont des fonctions continues qui vérient l'égalité alors il existe un réel λ tel que g = λf . Preuve. Comme pour toutes les formules de ce type, la démonstration repose sur le fait que

λ → Z

[a,b]

(f + λg)

²

est un polynomiale du second degré et à valeurs toujours positives ou nulles. L'inégalité est équivalente à la négativité du discriminant. Lorsque le discriminant est nul, il existe un λ annulant l'expression ce qui n'est possible que si f + λg est identiquement nulle lorsque les deux fonctions sont continues.

4. Sommes de Riemann

Dénition. Soit f ∈ C

pm

([a, b]) et S = (x

0

, x

1

, · · · , x

n

) une subdivision adaptée de [a, b] . Une somme de Riemann attachée à f et S est une expression de la forme

n−1

X

k=0

(x

k+1

− x

k

)V

k

avec V

k

∈ f

k

([x

k

, x

k+1

]) où f

_k

est le prolongement continu de f

_|]x_k_,x_k+1_[

à [x

_k

, x

_k+1

] .

Exemples. Les expressions suivantes sont des sommes de Riemann

n−1

X

k=0

(x

_k+1

− x

_k

)f (x

_k

)

n−1

X

k=0

(x

_k+1

− x

_k

)f (x

_k+1

)

n−1

X

k=0

(x

_k+1

− x

_k

)f ( x

_k

+ x

_k+1

2 )

n−1

X

k=0

(x

k+1

− x

k

) f (x

k

) + f (x

k+1

) 2

n−1

X

k=0

(x

k+1

− x

k

) max

[x_k,x_k+1]

f

n−1

X

k=0

(x

k+1

− x

k

) min

[x_k,x_k+1]

f

Lorsque la subdivision est régulière, x

k

= a + k

^b−a_n

, le pas est constant et se met en facteur. Les sommes de Riemann prennent la forme

b − a n

n−1

X

k=0

V

k

En général, V

k

= f (x

k

) ou V

k

= f (x

k+1

mais on trouve des exercices pour lesquels d'autres valeurs interviennent.

Proposition 24. Soit f ∈ C

pm

([a, b]) et (R

n

)

_n∈

N

une suite telle que chaque R

n

soit une somme de Riemann attachée à f et à la subdivision régulière à n + 1 points de [a, b] . Alors

(R

_n

)

_n∈

N

→ Z

[a,b]

f

Preuve. Cette propriété est admise dans le cas continue par morceaux, une démonstration est donnée dans le cas des fonctions C

¹

.

5. Intégrale et aire

Introduction axiomatique à la notion d'aire (à compléter). On peut interpréter l'intégrale d'une fonction en

escalier à valeurs positives comme l'aire de la portion de plan comprise entre le graphe et l'axe des x . La similarité

entre les propriétés de l'aire et de l'intégrale permet d'étendre cette interprétation au cas de la surface comprise

entre l'axe des x et le graphe d'une fonction positive et continue par morceaux.

(14)

VII. Extension aux fonctions à valeurs complexes

Dénition. Une fonction à valeurs complexes f dénie sur un segment [a, b] est dite en escalier si et seulement si il existe une subdivision (dite adaptée) S = (x

₀

, · · · , c

_n

) telle que

∀i ∈ {0 · · · , n − 1} : f

_|]a_i_,a_i+1_[

est constante

On note E([a, b], C ) l'ensemble des fonctions en escalier à valeurs complexes dénies sur [a, b] .

Proposition 25. Une fonction à valeurs complexes est en escalier si et seulement si les fonctions partie réelle et partie imaginaire sont en escalier.

Proposition 26. E([a, b], C ) est une C-algèbre.

Dénition. Une fonction à valeurs complexes f dénie sur un segment [a, b] est dite continue par morceaux si et seulement si les fonctions partie réelle Re f et partie imaginaire Im f sont continues par morceaux. On note C

pm

([a, b], C ) l'ensemble des fonctions continues par morceaux. On dit alors qu'une fonction f fonction est intégrable

et on note Z

[a,b]

f = Z

[a,b]

Re f + i Z

[a,b]

Im f.

On vérie sans diculté que cette intégrale est additive par rapport à l'intervalle et C-linéaire. La positivité mérite plus d'explications car il n'y a pas de relation d'ordre compatible avec les opérations dans C. Ce qui remplace la positivité est la proposition suivante

Proposition 27. Si f ∈ C

pm

([a, b], C ) alors |f | ∈ C

pm

([a, b], R ) et

Z

[a,b]

f

≤ Z

[a,b]

|f |.

Preuve. Attention, cette proposition ne se démontre pas par linéarité à partir de la dénition. Il est indispensable de revenir aux fonctions en escalier.

Remarquons d'abord que l'inégalité est vraie si f est en escalier. Il existe une subdivision telle que

Z

[a,b]

f

=

n−1

X

k=0

(x

k+1

− x

k

)v

k

≤

n−1

X

k=0

|x

k+1

− x

k

||v

k

| = Z

[a,b]

|f | Il s'agit seulement de l'inégalité triangulaire pour une somme nie de nombres complexes.

Dans le cas où f est continue par morceaux, notons a et b les fonctions parties réelle et imaginaire de f .

Pour tout ε > 0 , d'après le théorème d'approximation, il existe des fonctions en escalier ϕ et ψ telles que, en notant Φ