Année universitaire 2019/20 SMIA-S2
M8 : Analyse 2 Série 2
Exercice 1. Soit [a, b] un intervalle borné. Une subdivision S de [a, b] est un sous-ensemble fini de [a, b] tel queS = {x0, x1, . . . , xn} avecx0=a < x1< . . . < xn=b. Une subdivisionS de[a, b]est dite plus fine qu’une autre subdivision S0 de[a, b]siS0 ⊂ S.
Soitϕune fonction en escalier définie sur[a, b]. On dit que S={x0, x1, . . . , xn} est une subdivision de[a, b]adaptée à ϕs’il existe une suite finiec1, . . . , cn de constantes réelles telle que pourx∈]xi−1, xi[, ϕ(x) =ci.
1- Montrer que siS1et S2sont deux subdivisions de[a, b], alors il existe une subdivision S de[a, b]qui est plus fine queS1 etS2.
2- Montrer que siS1est une subdivision adaptée à ϕet siS2est une subdivision plus fine queS1, alorsS2est aussi adaptée àϕ.
3- Soient ϕ une fonction en escalier définie sur[a, b] et S = {x0, x1, . . . , xn} une subdivision de [a, b] adaptée à ϕ.
Montrer que son intégrale sur[a, b]
définie par Z b
a
ϕ(x) dx=
n
X
i=1
ci(xi−xi−1)
ne dépend pasS.
4- SoitE[a,b] l’ensemble des fonctions en escalier sur[a, b]. Montrer queE[a,b] est non vide, stable par l’addition des fonctions et par la multiplication par un scalaire.
5- Soientϕ1et ϕ2deux éléments de E[a,b]. Montrer que Z b
a
(ϕ1+ϕ2)(x) dx= Z b
a
ϕ1(x) dx+ Z b
a
ϕ2(x) dx.
Exercice 2. Soitf une fonction réelle définie sur un intervalle[a, b].
1- Montrer que f est intégrable sur[a, b]si, et seulement si, pour tout >0il existe deux fonctions en escalier ϕet φdéfinies sur[a, b]et telles que :
ϕ≤f ≤φ et Z b
a
φ(x) dx− Z b
a
ϕ(x) dx < .
supposons que la propiété est vérifiée 2- En déduire que :
a) La fonctionf =IQ∩[0,1] n’est pas intégrable. (On rappelle queIAest la fonction qui vaut1surAet0ailleurs.) b) Toute fonction monotone sur[a, b]est intégrable.
c) Toute fonction réglée sur[a, b]est intégrable.
On rappelle q’une fonctiongsur[a, b] est dite réglée s’il existe une suite(gn)de fonctions en escalier sur[a, b]
telle que(gn)converge uniformément versg sur[a, b], i.e.,supx∈[a,b]|gn(x)−g(x)| →0 lorsquen→ ∞.
3- Montrer que la fonction f définie sur [0,1]parf(x) = sinx1 six6= 0etf(0) = 0est intégrable.
Indication: Remarquer que pour tout0< ε <1, f est intégrable sur[ε,1].
Exercice 3. SoitAn =
n
P
k=1
sin(kπ n ).
1. Vérifier queAn =cos(2nπ) sin(2nπ). 2. Montrer que
n
X
k=1
ksin(kπ n ) =n
2An. 3. En déduire la valeur de
Z π
0
tsin(t)dt, par utilisation des sommes de Riemann.
Exercice 4. A l’aide des sommes de Riemann, calculer les limites des suites suivantes : 1- un= 1
n
n
X
k=1
(1 +k
n)r, oùr∈R∗ fixé. 2- tn= 1
n (2n)!
n!
1/n
.
3- vn=
n
X
k=1
n
k2+n2. 4-wn=n2
n
X
k=1
1
(k+n)(k2+n2).
Exercice 5. Soit f : [0,1] → R une fonction continue. Donner en fonction d’une intégrale de Riemann et par deux méthodes la limite de la suite (un)n∈N∗ définie par un= 1
n
n
X
k=1
f(2k−1 2n ).
Exercice 6.
1. Soitf : [a, b]→R+ une fonction continue telle quef(c)>0 pour un certainc∈[a, b]. Montrer par deux méthodes que
Z b
a
f(x) dx >0.
2. En déduire que : sif est une fonction continue positive sur[a, b]telle que Z b
a
f(x) dx= 0, alorsf est identiquement nulle.
Exercice 7. Soientf etg deux fonctions réelles définies sur un segment[a, b].
1- (Première formule de la moyenne :) On suppose, dans cette question, quef est continue et g intégrable positive.
Montrer qu’il existe unc∈[a, b], tel que : Z b
a
f(x)g(x) dx=f(c) Z b
a
g(x) dx.
2- (Deuxième formule de la moyenne :) Sif et intégrable sur[a, b]et quegpositive et décroissante, alors il existe un c∈[a, b], tel que :
Z b
a
f(t)g(t) dt= lim
x→a+g(x) Z c
a
f(t) dt.).
(a) Montrer ce résultat avec la condition supplémentaire : g en escaliers.
(b) (Facultative). Montrer la deuxième formule de la moyenne.
