2 - Intégrale des fonctions en escalier

POIRET Aurélien FFFFFFFF

Riemann-intégrabilité sur un segment

Table des matières

1 - Ensembles de fonctions

1.1 - Fonction en escalier . . . 2

1.2 - Fonction continue par morceaux . . . 3

1.3 - Fonction réglée . . . 4

2 - Intégrale des fonctions en escalier

2.1 - Intégrale d'une fonction en escalier . . . 8

2.2 - Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier . . . 8

3 - Fonction Riemann-intégrable

3.1 - Dénition et exemples . . . 10

3.2 - Caractérisation des fonctions Riemann-intégrable . . . 11

3.3 - Construction de l'intégrale des fonctions Riemann-intégrable . . . 16

3.4 - Propriétés de l'intégrale de Riemann . . . 17

3.5 - Sommes de Riemann . . . 19

4 - Exercices

Dans ce cours, on dénit ce que l'on appelle une fonction Riemann-intégrable sur un segment.

1 Ensembles de fonctions

1.1 Fonction en escalier

Une fonction f : [a, b]→Rest dite en escalier s'il existe une subdivision σ= (a₀, a₁,· · · , a_n) de [a, b]

telle quef est constante sur chaque intervalle de subdivision]ai−1, ai[.

Une telle subdivision est alors dite adaptée àf.

On noteE([a, b],R) l'ensemble des fonctions en escalier de[a, b]dansR.

Dénition A : Fonction en escalier

Les valeurs prises par une fonction en escalier aux points de subdivision n'a pas d'importance.

Remarque I

Si une subdivisionσ est adaptée à une fonction en escalier f, toute subdivision plus ne que σ l'est aussi.

Remarque II

Exemple 1 : Les fonctions constantes, la fonction Heaviside et la fonction signe sont des exemples de fonctions en escalier.

Soientf, g: [a, b]→Retλ∈R.

Sif etg sont en escalier alorsλf,f+g,f g,|f|le sont aussi.

Théorème 1

Démonstration. Soit σ une subdivision adaptée à f. Sur chaque intervalle de la subdivision σ, la fonction f est constante et donc les fonctionsλf et|f|sont aussi constantes sur ces intervalles. Ainsi les fonctions λf et|f|sont en escalier.

Ensuite, siσ⁰ est une subdivision adaptée àgalors dénissions σ⁰⁰ la réunion des subdivisionsσ etσ⁰. La subdivisionσ⁰⁰ est adaptée à la fois àf etget donc, sur chaque intervalle de cette subdivision, les fonctionsf etg sont constantes puis les fonctions f+g etf g le sont aussi. Ainsi les fonctionsf +g etf g sont en escalier.

E([a, b],R) est un sous-anneau et sous-espace vectoriel de F([a, b],R). Corollaire 2

1.2 Fonction continue par morceaux

Une fonction f : [a, b] → R est dite continue par morceaux s'il existe une subdivision σ = (a₀, a₁,· · · , a_n) de [a, b]vériant :

∀i∈ {1,· · ·, n},f est continue]ai−1, a_i[,

∀i∈ {1,· · ·, n},f(a⁺_i−1)etf(a⁻_i )existent et sont nies Une telle subdivisionσ est alors dite adaptée à la fonctionf.

On noteC_m⁰([a, b],R) l'ensemble des fonctions continue par morceaux de[a, b]dansR.

Dénition B : Fonction continue par morceaux

Les valeurs prises par une fonctions continue par morceaux aux points de subdivision n'importent pas.

Remarque III

Si une subdivision σ est adaptée à une fonction continue par morceaux alors toute subdivision plus ne queσ l'est aussi.

Remarque IV

D'après le théorème de prolongement par continuité, on en déduit quef : [a, b]→Rest dite continue par morceaux si, et seulement si, il existe une subdivision σ = (a0, a1,· · · , an) de [a, b] telle que

∀i∈ {1,· · · , n},f est continue sur ]ai−1, a_i[et se prolonge en une fonction continue sur [ai−1, a_i]. Remarque V

Exemple 2 : Les fonctions continues et les fonctions en escalier sont des exemples de fonctions continues par morceaux.

Soientf, g: [a, b]→Retλ∈R.

Sif etg sont continues par morceaux alorsλf,f+g,f g,|f|le sont aussi.

Théorème 3

Démonstration. Il s'agit essentiellement de la même preuve que pour les fonctions en escalier en remplaçant le mot escalier par continue par morceaux .

C_m⁰([a, b],R) est un sous-anneau et sous-espace vectoriel deF([a, b],R). Corollaire 4

Toute fonction continue par morceaux de[a, b]dansRest bornée.

Théorème 5

Démonstration. Soient f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux et σ = (a₀, a₁,· · ·, a_n) une subdivision adaptée àf. Sur chaque intervalle]ai−1, ai[, la fonctionf se prolonge en une fonction continue sur le segment[ai−1, a_i]qui est donc bornée sur ce segment en vertu du théorème de continuité sur un segment. Par conséquent f est borné sur chaque intervalle ]ai−1, a_i[par un certain réelM_i En posant M = max(M1,· · · , Mn,|f(a0)|,· · · ,|f(an)|), on obtient quef est bornée parM.

1.3 Fonction réglée

On dit qu'une fonction f : [a, b]→ R est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonction en escalier, c'est-à-dire si pour tout >0, il existeϕ∈ E([a, b],R) telle que

|f −ϕ|6. On noteR([a, b],R)l'ensemble des fonctions réglées.

Dénition C : Fonction réglée

Toute fonction réglée sur[a, b]est bornée.

Théorème 6

Démonstration. Provient du fait qu'une fonction en escalier est bornée.

Soientf, g: [a, b]→Retλ∈R.

Sif etg sont réglées alorsλf,f +g,f g,|f|le sont aussi.

Théorème 7

Démonstration. Soit >0.

Comme f est réglée, il existeϕ∈ E([a, b],R)telle que |f −ϕ|6.

Par l'inégalité triangulaire,||f| − |ϕ||6. Or |ϕ|est une fonction en escalier donc|f|est une fonction réglée.

De plus, |λf−λϕ|=|λ||f −ϕ|6|λ|. Or λϕ est une fonction en escalier donc λϕ est une fonction réglée.

Comme gest réglée, il existe ψ∈ E([a, b],R)telle que |g−ψ|6. Par l'inégalité triangulaire,

|(f+g)−(ϕ+ψ)|=|(f−ϕ) + (g−ψ)|6|f−ϕ|+|g−ψ|62.

Orϕ+ψ est une fonction en escalier doncf +g est une fonction réglée.

Comme f et g sont réglées alors elles sont bornées. Donc, il existe m, M ∈ R tels que |f| 6 m et

|g|6M.

Par l'inégalité triangulaire,

|f g−ϕψ|=|f(g−ψ) + (f−ϕ)(ψ−g) + (f −ϕ)g|

6|f||g−ψ|+|f−ϕ||ψ−g|+|f −ϕ||g|

6M +²+m.

Orϕψ est une fonction en escalier doncf g est donc une fonction réglée.

R([a, b],R) est un sous-anneau et sous-espace vectoriel deF([a, b],R). Corollaire 8

Soitf : [a, b]→Rune fonction continue par morceaux.

Pour tout >0, il existeϕ, ψ∈ E([a, b],R) telles que

ϕ6f 6ψ et06ψ−ϕ6.

En particulier, une fonction continue par morceaux est une fonction réglée.

Théorème 9 : Approximation uniforme

Démonstration.

Commençons par le cas d'une fonctionf dénie et continue sur [a, b].

Soit >0. Par le théorème de Heine, on peut dire que f est uniformément continue sur [a, b]et par conséquent, il existeδ >0vériant

∀x, y∈[a, b], |y−x|6δ ⇒ |f(x)−f(y)|6.

Soitn∈N^?susamment grand pour que ^b−a_n 6δ etσ = (a₀, a₁,· · ·, a_n)la subdivision à pas constant déterminée parai=a+i× ^b−a_n

Pour tout16i6n, la fonctionf.est continue sur le segment [ai−1, a_i]et y admet donc un minimum et un maximum en des points α, β ∈ [ai−1, ai]. Posons mi = f(α) et Mi = f(β). Comme |β−α|6

|a_i−ai−1|6δ on a|f(β)−f(α)|6et on en déduit que06Mi−mi 6.

Dénissons maintenant des fonctionsϕetψ qui vont être solutions de notre problème.

Pour 16i6n, on poseϕconstante égale àmi etψ constante égale àMi sur ]ai−1, ai[.

Pour 06i6n, on poseϕ(ai) =ψ(ai) =f(ai).

Les fonctionsϕ etψsont bien dénies sur [a, b]et ce sont évidemment des fonctions en escalier.

L'encadrementϕ(x)6f(x)6ψ(x) est vérié sur chaque intervalle]ai−1, a_i[et aussi en lesa_i. Enn, l'encadrement 06ψ(x)−ϕ(x)6 est vérié pour les mêmes raisons.

Il reste à généraliser le résultat aux fonctions continues par morceaux.

Soientf une fonction continue par morceaux sur[a, b],σ = (a₀, a₁,· · · , a_n)une subdivision adaptée à f et >0. Pour16i6n, notonsf_i le prolongement sur[ai−1, a_i]de f_|]ai−1,ai[.

En appliquant le résultat précédent aux fonctionsfi continues sur les segments[ai−1, ai], il existe des fonctions en escaliersϕ_i etψ_i dénies sur[ai−1, a_i]vériant

∀x∈[ai−1, ai], ϕi(x)6f(x)6ψi(x) et06ψi(x)−ϕi(x)6

On peut alors dénir deux fonctions en escalier ϕetψqui vont résoudre notre problème.

Pour 16i6n, on poseϕ(x) =ϕi(x) etψ(x) =ψi(x)sur ]ai−1, ai[. Pour 06i6n, on poseϕ(a_i) =ψ(a_i) =f(a_i).

Les fonctionsϕ etψsont bien dénies sur [a, b]et ce sont évidemment des fonctions en escalier.

Par construction, l'encadrement ϕ(x) 6 f(x) 6 ψ(x) est vérié sur chaque intervalle ]ai−1, ai[ mais aussi en lesa_i.

Enn, l'encadrement 06ψ(x)−ϕ(x)6 est aussi vérié pour les mêmes raisons.

L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction réglée est, au plus, dénombrable.Théorème 10

Démonstration. Toute fonction réglée est limite uniforme d'une suite (ϕ_n) de fonctions en escalier. Si x∈[a, b]est tel que, pour toutn∈N,ϕ_n est continue enx, alors,f est continue en x.

L'ensemble des points de discontinuité def est donc inclus dans la réunion des ensembles des points de discontinuité des ϕ_n. Comme l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction en escalier est ni et qu'une réunion dénombrable d'ensembles nis est au plus dénombrable, on a la conclusion.

Soitf : [a, b]→R.

f est réglée si, et seulement si, f admet une limite à gauche et à droite en tout point de [a, b].

Théorème 11 : Caractérisation des fonctions réglées

Démonstration.

” ⇒ ” : Fixons x₀ ∈[a, b[et montrons que f admet une limite à droite en x₀ à l'aide du critère de Cauchy.

Soit >0.

Comme f est réglée alors il existe ϕ∈ E([a, b],R) tel que |f −ϕ|6.

Comme ϕ est une fonction en escalier alors elle admet une limite à droite en x0. Par conséquent, il existe δ >0 tel que,

∀x∈[a, b], x0 6x6x0+δ ⇒ |ϕ(x)−ϕ(x⁺₀)|6.

Ainsi, ∀x, y∈[a, b], six₀6x6x₀+δ et six₀ 6y6x₀+δ alors, par l'inégalité triangulaire,

|f(x)−f(y)|6|f(x)−ϕ(x)|+|ϕ(x)−ϕ(x⁺₀)|+|ϕ(x⁺₀)−ϕ(y)|+|ϕ(y)−f(y)|

6+++64.

Par le critère de Cauchy, on en déduit que f admet une limite à droite en x0. On montre de même que f admet une limite à gauche en tout pointx0 de ]a, b].

Ainsi, f admet une limite à droite et à gauche en tout point.

” ⇐ ”: Soient >0etx∈]a, b[. Commef admet une limite à gauche et à droite enxalors il existe δx >0 tel que

∀y∈[a, b]∩[x−δ_x, x[, |f(y)−f(x⁻)|6et∀y∈[a, b]∩]x, x+δ_x], |f(y)−f(x⁺)|6. Comme[a, b]⊂ ∪

x∈]a,b[]x−δ_x, x+δ_x[et que[a, b]est compact alors, par la propriété de Borel-Lebesgue, il existea < x₁ <· · ·< x_p < b tels que[a, b]⊂ ∪

16i6p ]x_i−δ_xi, x_i+δ_xi[.

Notonsσ = (a₀,· · · , a_n) la subdivision de[a, b]formée des pointsx_i−δ_xi,x_i etx_i+δ_xi qui sont dans [a, b], de aet deb.

On dénit la fonction ϕde la façon suivante : Pour 16i6n, on poseϕconstante égale àf

ai−1+ai

2

sur ]ai−1, ai[.

Pour 06i6n, on poseϕ(a_i) =f(a_i).

La fonction ϕest clairement une fonction en escalier.

Soity ∈[a, b]. Montrons que |f(y)−ϕ(y)|62.

Siy est égal à l'un desa_i alors l'inégalité est banale.

Sinon, il existe16i6n tel quey ∈]a_i−1, a_i[.

Par construction de la subdivision σ, il existe x ∈ {x₁,· · ·, xp} tel que ]ai−1, ai[⊂ [x −δx, x[ ou ]ai−1, ai[⊂]x, x+δx].

Dans le premier cas, par l'inégalité triangulaire,

|f(y)−ϕ(y)|=|f(y)−f(x⁻) +f(x⁻)−ϕ(y)|6|f(y)−f(x⁻)|+|f(x⁻)−ϕ(y)|6+62.

Le second cas est identique et nous avons établi que |f −ϕ|62. La fonction f est donc bien une fonction réglée.

Toute fonction monotone est régléeCorollaire 12

Démonstration. En eet, toute fonction monotone admet des limites à droite et à gauche en tous points.

Exemple 3 : La fonction suivante f : [0,1] → R

x 7→







0 six= 0,

1

n s'il existen∈N^? tel que _n+1¹ 6x < _n¹, 1 six= 1.

est réglée mais non continue par morceaux.

On retient ainsi

E([a, b],R)(C_m⁰([a, b],R)(R([a, b],R).

Remarque VI

2 Intégrale des fonctions en escalier

2.1 Intégrale d'une fonction en escalier

Soitf : [a, b]→R une fonction en escalier etσ = (a0,· · · , an) une subdivision adaptée àf. Pour tout i∈ {1,· · · , n}notons hi la valeur def sur l'intervalle ]ai−1, ai[et posons

Iσ(f) =

n

X

i=1

hi(ai−ai−1).

La quantité Iσ(f) ne dépend pas de la subdivisionσ adaptée àf. Lemme 13

Démonstration. En eet si l'on forme une subdivisionσ⁰en adjoignant un point à la subdivisionσ, on se convainc facilement queIσ(f) =Iσ⁰(f). En raisonnant par récurrence, on montre que la propriété perdure siσ⁰ est plus ne queσ. Enn, en transitant par la réunion des deux subdivisions, on observe que la propriété est encore valable quandσ etσ⁰ sont des subdivisions toutes deux adaptées àf.

La quantité I_σ(f) est appelée intégrale de la fonction en escalier f sur le segment[a, b]. On la noteRb

af(t) dt.

Dénition D : Intégrale d'une fonction en escalier

Exemple 4 : Si f est la fonction constante égale à 1alorsI_[a,b](f) =b−a.

2.2 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier

Pourf : [a, b]→R en escalier etλ∈R, on a Z b

a

λf(t) dt=λ Z b

a

f(t) dt.

Lemme 14 : Linéarité de l'intégrale

Démonstration. Soitσ = (a₀,· · · , a_n) une subdivision adaptée àf.

Pour tout i∈ {1,· · ·, n}, notonsh_i la valeur de la fonctionf sur]ai−1, a_i[. Puisque σ est adaptée à λf et queλhi est la valeur de la fonction λf sur]ai−1, ai[, on a

Z b a

λf(t)dt=

n

X

i=1

λhi(ai−ai−1) =λ

n

X

i=1

hi(ai−ai−1) =λ Z b

a

f(t) dt.

Pourf, g: [a, b]→Ren escalier, on a Z b

a

(f+g)(t) dt= Z b

a

f(t) dt+ Z b

a

g(t) dt.

Lemme 15 : Linéarité de l'intégrale

Démonstration. Soitσ = (a0,· · · , an) une subdivision adaptée àf et à g.

Pour touti∈ {1,· · · , n}, notonsh_i la valeur de la fonctionf sur]ai−1, a_i[etk_i la valeur de la fonction g sur ]ai−1, ai[. Puisque σ est adaptée à f +g et que hi +ki est la valeur de la fonction f +g sur ]ai−1, ai[, on a

Z b a

(f+g)(t)dt=

n

X

i=1

(h_i+k_i)(a_i−a_i−1) =

n

X

i=1

h_i(a_i−a_i−1)+

n

X

i=1

k_i(a_i−a_i−1) = Z b

a

f(t)dt+

Z b a

g(t)dt.

Pourf, g: [a, b]→Ren escalier alors sif >0 alorsRb

af(t)dt>0, sif >g alorsRb

af(t) dt>Rb

ag(t) dt.

Lemme 16 : Positivité et croissance de l'intégrale

Démonstration. Soitσ = (a0,· · · , an) une subdivision adaptée àf.

Pour tout i ∈ {1,· · ·, n}, notons hi la valeur de la fonction f sur ]ai−1, ai[. Puisque f est positive alorsh_i >0. On obtient alors

Z b a

f(t) dt=

n

X

i=1

hi(ai−ai−1)>0

Pour la seconde inégalité, puisque la fonctionh=f−g est positive, on en déduit queR_b

ah(t) dt>0. OrR_b

ah(t) dt=R_b

af(t) dt−R_b

ag(t)dt par ce qui précède etR_b

af(t) dt>R_b

ag(t)dt.

Sif : [a, b]→Ren escalier alors

Rb

af(t) dt 6Rb

a|f(t)|dt. Lemme 17 : Inégalité triangulaire

Démonstration. On a : −|f|6 f 6|f|. Le résultat suit immédiatement en utilisant la croissance de l'intégrale.

Soientf : [a, b]→Ren escalier et c∈]a, b[alors Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t) dt+ Z b

c

f(t) dt.

Lemme 18 : Relation de Chasles

Démonstration. Soitσ = (a0,· · · , an) une subdivision adaptée àf.

Quitte à ajouter un point à la subdivisionσ, on peut supposer qu'il existek∈ {1,· · · , n−1}tel que c=ak.

Pour tout i∈ {1,· · · , n}, notonshi la valeur de la fonctionf sur]ai−1, ai[. Puisque(a₀,· · ·, a_k) est une subdivision de[a, c]adaptée àf, on a

Z c a

f(t) dt=

k

X

i=1

hi(ai−ai−1).

Puisque(a_k,· · · , a_n) est une subdivision de[c, b]adaptée àf, on a Z c

b

f(t) dt=

n

X

i=k+1

h_i(a_i−ai−1).

On en déduit Z b

a

f(t)dt=

n

X

i=1

hi(ai−ai−1) =

k

X

i=1

hi(ai−ai−1) +

n

X

i=k+1

hi(ai−ai−1) = Z c

a

f(t) dt+ Z b

c

f(t) dt.

3 Fonction Riemann-intégrable

3.1 Dénition et exemples

On dit qu'une fonction f : [a, b] → R est Riemann-intégrable si, pour tout > 0, il existe deux fonctions en escalierϕetµtelles que

|f−ϕ|6µ et Z b a

µ(t) dt6,

ou encore, si pour tout >0, il existe deux fonctions en escalier ϕetψtelles que ϕ6f 6ψ et

Z b a

(ψ−ϕ)(t) dt6. On noteL¹([a, b],R) l'ensemble des fonctions Riemann-intégrable sur[a, b].

Dénition E : Fonction Riemann-intégrable

Une fonctionf : [a, b]→R Riemann-intégrable est bornée.

Théorème 19

Démonstration. En utilisant queϕ6f 6ψ et qu'une fonction en escalier est bornée.

Soientf, g: [a, b]→Retλ∈R.

Sif etg sont Riemann-intégrable alorsλf,f +g,|f|le sont aussi.

Théorème 20

Démonstration. Soit >0.

Comme f est Riemann-intégrable, il existeϕ, µ∈ E([a, b],R) telle que|f−ϕ|6µetRb

a µ(t) dt6. Par l'inégalité triangulaire,||f| − |ϕ||6µ. Or|ϕ|est une fonction en escalier donc|f|est une fonction Riemann-intégrable.

De plus, |λf−λϕ|=|λ||f−ϕ|6|λ|µ. Orλϕ est une fonction en escalier etRb

a|λ|µ(t) dt6|λ|donc λϕ est une fonction Riemann intégrable.

Comme gest Riemann-intégrable, il existeψ, µ⁰∈ E([a, b],R) telle que|g−ψ|6µ⁰ etRb

aµ⁰(t)dt6. Par l'inégalité triangulaire,

|(f+g)−(ϕ+ψ)|=|(f−ϕ) + (g−ψ)|6|f −ϕ|+|g−ψ|6µ+µ⁰. Or ϕ+ψ est une fonction en escalier et Rb

a(µ+µ⁰)(t) 6 2 donc f +g est une fonction Riemann- intégrable.

L¹([a, b],R) est un sous-espace vectoriel deF([a, b],R). Corollaire 21

On montrera, un peu plus tard, queL¹([a, b],R)est stable par produit et qu'il s'agit d'un sous-anneau deF([a, b],R).

Remarque VII

Une fonctionf : [a, b]→R réglée est Riemann-intégrable.

Théorème 22

Démonstration. Soit >0. Commef est réglée alors il existeϕ∈ E([a, b],R) telle que|f−ϕ|6. Or Rb

a dt= (b−a)et doncf est Riemann-intégrable.

Exemple 5 : La fonction1[0,1]∩Q n'est pas Riemann-intégrable.

Exemple 6 : La fonction

f : [0,1] → R

x 7→

sin ¹_x

six6= 0

0 six= 0

est Riemann-intégrable mais non réglée.

3.2 Caractérisation des fonctions Riemann-intégrable Pour f : [a, b]→Rune fonction, posons

I−(f) = Z b

a

ϕ(t) dt / ϕ∈ E([a, b],R) etϕ6f

et

I⁺(f) = Z b

a

ψ(t) dt / ψ∈ E([a, b],R)etf 6ψ

.

f est Riemann-intégrable si, et seulement si, les bornes sup(I−)etinf(I⁺) existent et sont égales.

Théorème 23

Démonstration.

” ⇒ ” :f est alors bornée et il existe m, M ∈Rtel que m6f 6M.

L'ensemble I− est alors non vide (puisque m ∈ I−) et majorée par M : il admet donc une borne supérieure.

L'ensemble I⁺ est alors non vide (puisque M ∈ I⁺) et minoré par m : il admet donc une borne inférieure.

Pour tout ϕ6f 6ψ, on a : Rb

aϕ(t)dt6Rb

a ψ(t) dt. Ainsi, en passant à la borne supérieure puis à la borne inférieure, on obtientsup(I−)6inf(I⁺).

Soit >0. Commef est Riemann-intégrable alors il existe deux fonctions en escalierϕetψtelles que ϕ6f 6ψ et Rb

a ψ(t)6Rb

aϕ(t) dt+. Par conséquent, on en déduit queinf(I⁺)6sup(I−) +. En faisant tendrevers 0, on en déduit queinf(I⁺)6sup(I−) puis que inf(I⁺) = sup(I−).

” ⇐ ” : Soit >0.

Par caractérisation de la borne supérieure, il existeϕ∈ E([a, b],R) telle que ϕ6f et sup(I−)−6

Z b a

ϕ(t)dt.

Par caractérisation de la borne inférieure, il existeψ∈ E([a, b],R) telle que f 6ψ et inf(I⁺) +>

Z b a

ψ(t)dt.

Orsup(I−) = inf(I⁺) donc

Z b a

(ψ−ϕ)(t) dt62.

Soitf : [a, b]→R.

f est Riemann-intégrable si, et seulement si,f est bornée et l'ensemble des points de discontinuité de f est de mesure de Lebesgue nulle.

Théorème 24

Une partieXde[a, b]est de mesure de Lebesgue nulle si, et seulement si, pour tout >0, il existe une famille, au plus dénombrable, d'intervalles dont la réunion contientX et dont la somme des longueurs est inférieure à .

Remarque VIII

Démonstration. Soitx₀∈[a, b]et introduisons l'oscillation def en x₀.

ω(f, x0) = inf

ρ>0





 sup

|x−x0|<ρ

|y−x0|<ρ

|f(x)−f(y)|





 .

Pour tout >0, on note

A=

x₀ ∈[a, b]/ ω(f, x₀)> .

Commençons par montrer que A est fermée en montrant que son complémentaire B=

x₀∈[a, b]/ ω(f, x₀)< . est ouvert.

Soit x0 ∈B. Comme ω(f, x0) < alors, par la caractérisation de la borne inférieure, il existe ρ > 0 tel que

sup

|x−x0|<ρ

|y−x0|<ρ

|f(x)−f(y)|

< .

Considérons maintenantx₁∈[a, b]tel que |x₁−x₀|< ρetr=ρ− |x₀−x₁|. On a ]x₁−r, x₁+r[∩[a, b]⊂]x₀−ρ, x₀+ρ[∩[a, b].

Donc

ω(f, x1)6 sup

x,y∈]x1−r,x1+r[∩[a,b]

|f(x)−f(y)|

6 sup

|x−x0|<ρ

|y−x0|<ρ

|f(x)−f(y)|

< . Par conséquent,x₁∈B etB est ouvert.

On en déduit que l'ensembleA est fermé dans le segment[a, b]: il s'agit donc d'un compact.

” ⇐ ”: Supposons que l'ensembleAdes points oùf est discontinue est de mesure de Lebesgue nulle.

Soit > 0. Comme f est continue en x₀ si, et seulement si, ω(f, x₀) = 0 alors A ⊂ A. L'ensemble A est donc de mesure de Lebesgue nulle et il existe une famille, au plus dénombrable, d'intervalles (]ai, bi[)_i∈I telle que

A ⊂[

i∈I

]a_i, b_i[et X

i∈I

(b_i−a_i)6.

Comme A est compacte, on peut supposer que I est ni et il existe p ∈ N, il existe une famille d'intervalles(]a_i, b_i[)_06i6p telle que

A⊂

p

[

i=0

]ai, bi[et

p

X

i=0

(bi−ai)6.

Par conséquent, si x∈[a, b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[alorsω(f, x)< . Prouvons que

∃δ >0/ ∀x, y∈[a, b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[, |x−y|6δ ⇒ |f(x)−f(y)|6. (?)

On raisonne par l'absurde et on obtient deux suites(xn)et(yn)à valeurs dans[a, b]\

p

[

i=0

]ai, bi[vériant

∀n∈N, |x_n−y_n|6 1

n+ 1 et|f(x_n)−f(y_n)|> . Comme[a, b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[est un compact (car fermé et borné), il existex, y∈[a, b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[, il existe ϕ:N→Nstrictement croissante tels que (x_ϕ(n)) converge versx et(y_ϕ(n)) converge versy.

En passant à la limite dans

∀n∈N, |x_ϕ(n)−y_ϕ(n)|6 1

ϕ(n) + 1 6 1 n+ 1,

nous obtenons x=y.

Comme ω(f, x)< , il existeρ >0tel que sup

|z⁰−x|<ρ

|z−x|<ρ

|f(z)−f(z⁰)|

< . Ainsi, pour tousz, z⁰ ∈]x−ρ, x+ρ[,|f(z)−f(z⁰)|6.

Comme (x_ϕ(n)) et(y_ϕ(n)) convergent versx, à partir d'un certain rang,

|f(x_ϕ(n))−f(y_ϕ(n))|6. C'est contradictoire et (?) est vériée.

Par (?), on construit aisémentϕ, une fonction en escalier dénie sur[a, b]\

p

[

i=0

]ai, bi[, vériant

∀x∈[a, b]\

p

[

i=0

]ai, bi[, |f(x)−ϕ(x)|6. f est bornée, donc en notant M = sup

x∈[a,b]

|f(x)|, on pose ϕ: [a, b] → R

x 7→







0 six∈

p

[

i=0

]a_i, b_i[ ϕ(x) sinon

et

ψ: [a, b] → R

x 7→







M six∈

p

[

i=0

]a_i, b_i[

sinon

Les fonctionsϕ etψsont des fonctions en escalier sur[a, b]et, de manière immédiate, |f −ϕ|6ψ.

De plus,

Z b a

ψ(x) dx6

p

X

i=0

Z bi

ai

ψ(x) dx+ Z

[a,b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[

ψ(x) dx

6

p

X

i=0

Z bi

ai

M dx+ Z

[a,b]\

p

[

i=0

]a_i, b_i[ dx

6M

p

X

i=0

(bi−ai) +(b−a) 6(b−a+M).

La fonction f est donc bien Riemann-intégrable.

” ⇒ ” : Par un résultat précédent, sif est Riemann-intégrable alorsf est bornée.

On montre le résultat par contraposée en supposant que A ne soit pas négligeable. Comme f est continue en x si, et seulement si,ω(f, x) = 0alors

A= [

n∈N^?

A1 n.

Comme une union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable, alors il existen∈N^? tel que A¹

n ne soit pas négligeable.

Par conséquent, il existe >0tel que pour tout famille, au plus dénombrable, d'intervalles(]a_i, b_i[)_i∈I, A¹

n

⊂[

i∈I

]ai, bi[⇒ X

i∈I

(bi−ai)> .

Il s'agit de démontrer quef n'est pas Riemann-intégrable.

Soientϕetψ deux fonctions en escalier quelconques vériant |f −ϕ|6ψ. Considérons une subdivision σ = x₀ x₁ · · · xp−1 x_p

de [a, b]adaptée à la fois à ϕet ψ. L'en- semble

I =n

i∈[[0, p−1]]/ A¹

n

∩]x_i, x_i+1[6=∅o vérie

A¹

n

⊂[

i∈I

]x_i, x_i+1[.

Ainsi, on en déduit que

X

i∈I

(x_i+1−x_i)> . Montrons que

∀i∈I, ∃x∈]x_i, xi+1[/ |ϕ(x)−f(x)|> 1

3n. (??)

On raisonne par l'absurde et on suppose

∃i∈I /∀z∈]x_i, x_i+1[, |ϕ(z)−f(z)|< 1 3n. Soit un teli∈I. Commeϕest constante sur ]xi, xi+1[alors

∀z, z⁰∈]x_i, x_i+1[, |f(z)−f(z⁰)|< 2 3n. Soitx∈]x_i, xi+1[. En posantρ= min(xi+1−x, x−xi), on en déduit que

ω(f, x)6 sup

|z−x|<ρ

|z0−x|<ρ

|f(z)−f(z⁰)|

6 2

3n. Par conséquent,

∀x∈]x_i, x_i+1[, ω(f, x)6 2 3n. Or ]x_i, x_i+1[∩A1

n 6= ∅ donc il existe x ∈]x_i, x_i+1[ tel que ω(f, x) > _n¹. C'est en contradiction avec ω(f, x)6 _3n² et (??) est vériée. On en déduit que

∀i∈I, ∃x∈]x_i, xi+1[/|ψ(x)|> 1 3n. Orψ est constante sur ]x_i, x_i+1[donc on peut armer que

∀i∈I, ∀x∈]x_i, xi+1[/|ψ(x)|> 1 3n. Ainsi,

Z b a

ψ(t) dt>X

i∈I

Z xi+1

xi

ψ(t)dt

>X

i∈I

Z xi+1

xi

1

3n dt>X

i∈I

xi+1−xi

3n >

3n. Cela montre quef n'est pas Riemann-intégrable sur [a, b].

On en déduit aisément que L¹([a, b],R) est stable par produit et qu'il s'agit d'un sous-anneau de F([a, b],R).

Remarque IX

3.3 Construction de l'intégrale des fonctions Riemann-intégrable

Soitf : [a, b]→Rune fonction Riemann-intégrable.

En donnant àles valeurs d'une suite(_n)positive et tendant vers0dans la dénition de la Riemann- intégrabilité, on voit qu'il existe deux suites (ϕ_n) et (µ_n) deux fonctions en escalier sur [a, b] telles que

∀n∈N, |f−ϕ_n|6µ_n et lim

n→∞

Z b a

µ_n(t)dt= 0.

La suite Rb

aϕ_n(t) dt

est alors une suite de Cauchy, donc convergente.

Sa limite ne dépend pas du choix des fonctions en escaliers(ϕn)et(µn). On la noteR_b

af(t)dt. Théorème 25

Démonstration. Par l'inégalité triangulaire,

|ϕ_n−ϕn+p|6|ϕ_n−f|+|f−ϕn+p|6µn+µn+p. Ainsi, par l'inégalité triangulaire pour les intégrales,

Z b a

ϕ_n(t)dt− Z b

a

ϕ_n+p(t) dt 6

Z b a

|ϕ_n(t)−ϕ_n+p(t)|dt6 Z b

a

µ_n(t) dt+ Z b

a

µ_n+p(t) dt.

Ainsi,

sup

p∈N

Z b a

ϕ_n(t) dt− Z b

a

ϕ_n+p(t) dt 6

Z b a

µ_n(t) dt+ sup

p∈N

Z b a

µ_n+p(t) dt

. Or lim

n→+∞

Rb

aµn(t) dt= 0 donc

n→+∞lim sup

p∈N

Z b a

ϕn(t)dt− Z b

a

ϕn+p(t) dt

= 0 et la suite

Rb

aϕ_n(t) dt

est alors une suite de Cauchy.

Soient(ϕ⁰_n) et(µ⁰_n) deux fonctions en escalier sur [a, b]telles que

∀n∈N, |f−ϕ⁰_n|6µ_n et lim

n→∞

Z _b

a

µ⁰_n(t) dt= 0.

Alors, par l'inégalité triangulaire,

|ϕ_n−ϕ⁰_n|6|ϕ_n−f|+|f−ϕ⁰_n|6µn+µ⁰_n. Ainsi, par l'inégalité triangulaire pour les intégrales,

Z b a

ϕ_n(t) dt− Z b

a

ϕ⁰_n(t) dt 6

Z b a

|ϕ_n(t)−ϕ⁰_n+p(t)|dt6 Z b

a

µ_n(t) dt+ Z b

a

µ⁰_n(t) dt.

Par passage à la limite, on peut donc armer que

n→+∞lim Z b

a

ϕn(t) dt− Z b

a

ϕ⁰_n(t) dt= 0.

Comme les deux suites Rb

aϕ_n(t) dt et

Rb

aϕ⁰_n(t) dt

convergent, c'est nécessairement vers la même limite.

3.4 Propriétés de l'intégrale de Riemann

Sif ∈ L¹([a, b],R) et si λ∈R alors Z b

a

λf(t) dt=λ Z b

a

f(t) dt.

Théorème 26 : Linéarité de l'intégrale

Démonstration. Soient(ϕn)et(µn) deux suites de fonction en escalier vériant

∀n∈N, |ϕ_n−f|6µ_n et lim

n→∞

Z b a

µ_n(t) dt= 0.

Ainsi, λϕ_n,|λ|µ_n∈ E([a, b],R) et

|λϕ_n−λf|6|λ|µ_n et lim

n→∞

Z b a

|λ|µ_n(t) dt= 0.

On en déduit que Rb

aλϕn(t) dt

converge versRb

aλf(t)dt. Or, commeϕn est en escalier, nous avons Z b

a

λϕn(t)dt=λ Z b

a

ϕn(t)dt.

Par passage à la limite dans cette égalité, on en déduit le résultat escompté.

Sif, g∈ L¹([a, b],R) alors Z b

a

(f+g)(t) dt= Z b

a

f(t) dt+ Z b

a

g(t) dt.

Théorème 27 : Linéarité de l'intégrale

Démonstration. Soient(ϕ_n)et(µ_n) deux suites de fonction en escalier vériant

∀n∈N, |ϕ_n−f|6µ_n et lim

n→∞

Z b a

µ_n(t) dt= 0.

Soient(ϕ⁰_n) et(µ⁰_n) deux suites de fonction en escalier vériant

∀n∈N, |ϕ⁰_n−g|6µ⁰_net lim

n→∞

Z b a

µ⁰_n(t) dt= 0.

Par l'inégalité triangulaire,

|(f +g)−(ϕ_n+ϕ⁰_n)|6µ_n+µ⁰_n. De plus, lim

n→+∞

Rb

a(µ_n+µ⁰_n)(t)dt= 0. Commeϕ_n+ϕ⁰_netµ_n+µ⁰_nsont des fonctions en escalier, on en déduit que

Rb

a(ϕ_n+ϕ⁰_n)(t) dt

converge versRb

aλ(f+g)(t) dt. Or, commeϕ_netϕ⁰_n sont en escalier, , nous avons

Z b a

(ϕ_n+ϕ⁰_n)(t) dt= Z b

a

ϕ_n(t) dt+ Z b

a

ϕ⁰_n(t) dt.

Par passage à la limite dans cette égalité, on en déduit le résultat escompté.

Soitf ∈ L¹([a, b],R). Sif >0alors

Z b a

f(t) dt>0.

Théorème 28 : Positivité de l'intégrale

Démonstration. Soient(ϕ_n)et(µ_n) deux suites de fonction en escalier vériant

∀n∈N, |ϕ_n−f|6µ_n et lim

n→∞

Z b a

µ_n(t) dt= 0.

Alors−ϕ_n6f−ϕ_n6µ_n. Par croissance de l'intégrale des fonctions en escalier, on peut armer que

− Z b

a

ϕ_n(t)6 Z b

a

µ_n(t) dt.

Or lim

n→+∞

R_b

aϕn(t) dt = R_b

af(t) dt et lim

n→+∞

R_b

aµn(t) dt = 0. Donc, par passage à la limite dans l'inégalité précédente et théorème de comparaison, nous obtenons le résultat escompté.

Soientf, g∈ L¹([a, b],R). Sif >g alors Z _b

a

f(t) dt>

Z _b

a

g(t) dt.

Théorème 29 : Croissance de l'intégrale

Démonstration. La fonction h=f −g est positive, on en déduit queRb

ah(t) dt >0. Or Rb

ah(t) dt= Rb

af(t) dt−Rb

ag(t)dt par linéarité. On en déduit que Rb

af(t)dt>Rb

ag(t) dt.

Sif ∈ L¹([a, b],R) alors

Z b a

f(t) dt 6

Z b a

|f(t)|dt.

Théorème 30 : Inégalité triangulaire

Démonstration. On a : −|f|6 f 6|f|. Le résultat suit immédiatement en utilisant la croissance de l'intégrale.

Sif ∈ L¹([a, b],R) alorsf ∈ L¹([a, c],R),f ∈ L¹([c, b],R)et Z b

a

f(t) dt= Z c

a

f(t) dt+ Z b

c

f(t) dt.

Théorème 31 : Relation de Chasles

Démonstration. Soient(ϕn)et(µn) deux suites de fonction en escalier vériant

∀n∈N, |ϕ_n−f|6µn et lim

n→∞

Z b a

µn(t) dt= 0.

Les deux relations précédentes étant valides sur[a, c]et sur[c, b], on peut armer quef ∈ L¹([a, c],R) et quef ∈ L¹([c, b],R).

Or Z b

a

ϕ_n(t)dt= Z c

a

ϕ_n(t) dt+ Z b

c

ϕ_n(t) dt.

Par passage à la limite dans cette égalité, nous obtenons l'égalité escomptée.

3.5 Sommes de Riemann

Sif est une fonction Riemann-intégrable sur le segment [a, b]à valeurs dansR alors

n→∞lim

b−a n

×

n−1

X

k=0

f

a+k×b−a n

= Z b

a

f(t) dt.

Théorème 32 : Sommes de Riemann

Démonstration. On remarque dans un premier temps que le résultat est invariant en changeant la valeur def en un nombre ni de points.

Pour 06k6n, on posea_k=a+k×^b−a_n .

Cas où f est une fonction caractéristique d'un segment : On suppose que f =1[c,d] avec [c, d]⊂[a, b].

Notons que a_k ∈[c, d] si, et seulement si, c 6a+k×^b−a_n 6dsi, et seulement si, n×

c−a b−a

6k6 n

d−a b−a

si, et seulement si, j_n(c−a)

b−a

k

+6k6j_n(d−a)

b−a

k avec= 0 ou 1. Par conséquent,

b−a n

×

n−1

X

k=0

f(ak) = b−a

n ×

n(d−a) b−a

−

n(c−a) b−a

−

n→+∞−→ d−c= Z b

a

f(t) dt.

Cas où f est une fonction en escalier :

En utilisant la remarque préliminaire, on peut supposer que f =

k

X

i=1

α_i1[ai,bi].

Le résultat s'obtient ensuite facilement par linéarité des deux quantités.

Cas où f est Riemann-intégrable : Soit >0.

Soientϕetµ deux fonctions en escalier vériant

|ϕ−f|6µ et Z b

a

µ(t)dt6.

De manière immédiate, nous avons b−a

n

×

n−1

X

k=0

f(ak)− Z b

a

f(t) dt

=

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(a_k)− Z b

a

ϕ(t) dt+

b−a n

×

n−1

X

k=0

(f −ϕ)(a_k)− Z b

a

(f−ϕ)(t) dt.

Par l'inégalité triangulaire,

b−a n

×

n−1

X

k=0

f(ak)− Z b

a

f(t) dt 6

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(a_k)− Z b

a

ϕ(t)dt

+

b−a n

×

n−1

X

k=0

|(f−ϕ)(a_k)|+v Z b

a

|(f−ϕ)(t)|dt

6

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(ak)− Z b

a

ϕ(t)dt

+

b−a n

×

n−1

X

k=0

µ(ak) + Z b

a

µ(t) dt

6

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(a_k)− Z _b

a

ϕ(t)dt

+

b−a n

×

n−1

X

k=0

µ(a_k)− Z _b

a

µ(t) dt+ Z _b

a

µ(t)dt+

6

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(a_k)− Z b

a

ϕ(t)dt

+

b−a n

×

n−1

X

k=0

µ(a_k)− Z b

a

µ(t) dt+ 2

Orµ etϕsont continue par morceaux donc lim

n→∞

b−a n

×

n−1

X

k=0

ϕ(a_k)− Z b

a

ϕ(t) dt= 0 et lim

n→∞

b−a n

×

n−1

X

k=0

µ(ak)− Z b

a

µ(t) dt= 0.

Par conséquent, il existe N₀∈Ntel que sin>N₀ alors

b−a n

×

n−1

X

k=0

f(a_k)− Z _b

a

f(t) dt

6++ 2.

On peut alors armer que

n→∞lim

b−a n

×

n−1

X

k=0

f(ak) = Z b

a

f(t) dt.

4 Exercices

Exercice N^o1 : Soitf : [a, b]→R.

1. Montrer que

∀a, b∈R, max(a, b) = |a−b|+a+b

2 et min(a, b) = −|a−b|+a+b

2 .

2. Montrer quef ∈ L¹([a, b]) si, et seulement si,f⁺, f⁻∈ L¹([a, b]).

3. Montrer quef ∈ L¹([a, b]) si, et seulement si,|f| ∈ L¹([a, b]).

Exercice N^o2 : Soitf ∈ L¹([a, b]) telle qu'il existem, M ∈Rvériant 0< m6f 6M. Montrer que _f¹ ∈ L¹([a, b]).

Exercice N^o3 : Soitf ∈ L¹([a, b]). 1. Montrer queF :x7→Rx

a f(t)dt est une fonction lipschitzienne.

2. Soitc∈[a, b[. Montrer que si f(c⁺) existe alors F est dérivable à droite en c. 3. En déduire une condition susante sur f pour que F soit dérivable sur[a, b]. 4. La condition précédente est-elle nécessaire ?

Exercice N^o4 : Soitf la fonction dénie sur[0,1]par f(x) =

(

(−1)b¹_xc si x >0,

0 sinon.

1. Montrer quef ∈ L¹([a, b]). 2. CalculerR1

0 f(x) dx.

Exercice N^o5 : Seconde formule de la moyenne

Soientg une fonction positive et décroissante sur[a, b]etf ∈ L¹([a, b]). On cherche à démontrer l'existence de c∈[a, b]tel que

Z b a

f(t)g(t) dt=g(a) Z c

a

f(t) dt.

Pour cela, on dénit F : [a, b]→Rpar la relation F(x) =

Z x a

f(t) dt.

On rappelle queF est lipschitzienne sur[a, b].

Pour n>1, on pose, pour 06j6n,tj =a+j×^b−a_n et

I_n=

n−1

X

j=0

Z tj+1

tj

f(t)g(t_j) dt.

1. Montrer que

∀n∈N^?,

In− Z b

a

f(t)g(t) dt

6(g(a)−g(b))×b−a

n × max

t∈[a,b]|f(t)|.

2. Établir que

∀n∈N^?, I_n=

n−1

X

j=0

(g(t_j)−g(t_j+1)F(t_j+1) +g(b)F(b).

3. En déduire que

∀n∈N^?, g(a) min

x∈[a,b]F(x)6In6g(a) max

x∈[a,b]F(x).

4. En déduire le résultat souhaité. Est-il possible d'avoir c∈]a, b[?

Exercice N^o6 : Soit f une application décroissante de [0,+∞[dans R qui tend vers zero en +∞. Calculer

n→+∞lim Z n²

n

f(t)e^it dt.

Indication : On appliquera, par deux fois, la seconde formule de la moyenne.

Exercice N^o7 : Le lemme de Riemann-Lebesgue

Pour tout réel λ, et toute fonction Riemann-intégrable f de [a, b]dansR on pose I(λ) =

Z b a

f(t)e^itλ dt.

1. Si f est en escalier, montrer que I(λ) admet 0pour limite lorsque λtend vers+∞. 2. Établir ce résultat dans le cas général.

3. Montrer que si f est décroissante et positive alors I(λ) = O

λ→+∞

1 λ

. 4. Montrer que si f est de classe C¹ alorsI(λ) = O

λ→+∞

1 λ

.