Chapitre V Fonctions usuelles Leçon 10 Fonction constante, fonction linéaire

1

x y

Chapitre V Fonctions usuelles

Leçon 10 Fonction constante, fonction linéaire

1. Fonction constante

La fonction constante f :xb

- Une fonction constante est définie sur 

- Les images y sont toutes égales au nombre b

- La courbe est une droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) - Le coefficient directeur est nul.

Exemple 1 : Soit la fonction constante f :x3

Exemple 2 : Soit la fonction constante f :x−2

O

f (x)=-2

2 O

y

O x y

x y

Exemple 3 : Soit la fonction ( )







−

= 

0 , 1

0 , 1

x x x

f

2. Fonction entière

On désigne la fonction ( )







−

= 

0 , 1

0 , 1

x x x

f par ( )







−

= 

0 , 1

0 , sgn 1

x

x x qui se lit « signe de x » Soit a=

 

n la partie entière du nombre n

^b=n−a=n−

 

ⁿ la partie décimale de n

Exemple : Soit n=1+ 2

On a :

- la partie entière de n=1+ 2 : ^a=



^{1+ 2}



⁼



^1+1,41421

 

^{= 2,41421}



⁼²

- la partie décimale de n=1+ 2 : b=n−a=n−

 

n =1+ 2−2= 2−1

En général

Soit n, un entier relatif, lorsque n xn+1, la partie entière de x est n et on la note :

 

^x =ⁿ.

Exemple 1 : Voici le graphe d’une fonction partie entière définie par f( )x =

 

x

( )































−

−

−





−

−

=





3 2

, 2

2 1

, 1

1 0

, 0

0 1

, 1

1 2

, 2

x x

x x

x

x f

On constate que la fonction partie entière ^f( )^{x =}

 

^x est une fonction constante définie sur les différents intervalles et croissante.

O

0 x

3 y

x

x y

y

x y

Exemple 2 : Soit f la fonction partie entière définie par ^f( )^{x =}

 

^x−1

D’après n xn+1 où n un entier relatif, on a :

1 ) 1 ( 1

1 −  − +

− x n

n et

 

x−1 =n−1.

La courbe représentative de la fonction ^f( )^{x =}

 

^x−1 s’obtienne par glissement horizontal la courbe de f( )x =

 

x d’une unité vers la gauche.

Exemple 3 : Soit f la fonction partie entière définie par f( )x =

 

2x avec −1 x1.

Comme −1x1 on obtient donc : . −¹ x−^0,5−²²x−^1,

 

²x =−²

. −0,5x0−12x0,

 

2x =−1

. ^{0x0,502x1,}

 

^{2x =0}

. 0,5x112x2,

 

2x =1

. x=12x=2,

 

2x =2

Exemple 4 : Soit f la fonction partie entière définie par f( )x =_^ x_^

2

1 avec −2 x2. Comme −2x2 on obtient donc :

. 1

2 , 1 2 0 1 1 0

2 =−







−







− x x x

. 0

2 , 1 2 1 0 1 2

0 =













x x x

. 1

2 , 1 2 1

2 1 =





=



= x x

x

•

•

•

O

•

•

•

•

• •

O

O

4

Exemple 5 : Soit f la fonction partie entière définie par ^f( )^{x =}

 

^{1−x avec} −2x2. Comme −2x2 on obtient donc :

. −2x−12−x1 soit 21−x3,

 

1−x =2

. −1x01−x0 soit ^{11−x2,}

 

^{1−x =1}

. 0x10−x−1 soit 01−x1,

 

1−x =0

. 1x2−1−x−2 soit −11−x0,

 

1−x =−1

. x=−2−x=2 soit 1−x=3,

 

1−x =3

3. Fonction linéaire

La fonction linéaire est une fonction du type f( )x =mx+b.

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine ^f( )^x =^mx+^b est une droite d’équation y=mx+b où

• m est le coefficient directeur de la droite

• b est l’ordonnée à l’origine de cette droite.

Exemple : Voici la courbe représentative de la fonction linéaire f

( )

x =²x−³.



y

0 x

y

0 x

3 2 ) (x = x− f

5 y

O x

=0 m

) , 0 ( b

Remarque : On dit aussi que :

1. La fonction affine est une fonction du type ^f( )^x =^mx+^b. 2. La fonction linéaire est une fonction du type f

( )

x =mx.

Propriété

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f(x)=mx+b

est une droite qui passe par le point (0;b)

Exemple 1 : Soit deux fonctions f(x)=2x et g(x)=2x−3

y

0 x

m

0 m

) , 0 ( b

y

0 x

m

0 m

) , 0 ( b

y

0

x

3 2 ) (x = x− g

x x f( )=2

6

La courbe représentative de la fonction g(x)=2x−3 s’obtienne par glissement vertical la courbe de f( )x =2x de trois unités vers le bas.

Exemple 2 : Soit la fonction f(x)=x+2 avec 0x3

La fonction f(x)= x+2 est strictement croissante et a pour : - ensemble des images Rf ⁼

 

^2,5

- minimum 2 en 0: ( f(0)=2) - maximum 5 en 3: ( f(3)=5)

Exemple 3 : Soit la fonction f(x)=x+2 avec 0x3

La fonction f(x)= x+2 est strictement croissante et : - a pour ensemble des images R_f =

 

2,5

y

0

x

2 )

(x =x+ f

y

0 x

2 )

(x =x+ f

º

7 y

- n’a pas de minimum

- a pour maximum 5 en 3: ( f(3)=5).

Exemple 4 : Soit la fonction f(x)=x+2 avec 0x3

La fonction f(x)= x+2 est strictement croissante et : - a pour ensemble des images R_f =



^{2 , 5}



- a pour minimum 2 en 0: ( f(0)=2) - n’a pas de maximum.

Exemple 5 : Soit la fonction f(x)=x+2 définie sur 

La fonction f(x)= x+2 est strictement croissante et : - a pour ensemble des images R_f ==



−,+



y

0 x

2 )

(x =x+ f

º

0 x

2 )

(x =x+ f

8

- n’a pas de minimum ni maximum sur .

Exemple 6 : Soit la fonction f(x)=−x+2 avec 0x3

La fonction f(x)=−x+2 est strictement décroissante et a pour : - ensemble des images R_f =



−1,2



- minimum −1 en 3: ( f(3)=−1) - maximum 2 en 0: ( f(0)=2) Situations-problèmes

Exemple 1 : La distante entre Vientiane et Thalat est 85km. Kham part de Vientiane à Thalat à la vitesse moyenne 60km/h. Sy part de Thalat à Vientiane à la vitesse moyenne

h km/ 40 .

À quelle distance de Vientiane se croisent-ils ? Solution :

Soit t (en heure), le temps mis pour parcourir de Vientiane à Thalat.

On obtient donc :

- La distance parcourue de Kham :f(t)=60t

- La distance parcourue de Sy :g(t)=85−40t

Kham et Sy se rencontrent lorsque : f(t)=g(t)

On résout l’équation : 60t =85−40t

100 85 85

100t= t= et 6 8,5 51

100 60 85 100 ) 85

( =  =



 



= 



 



= f t f

Kham et Sy se rencontrent à 51km de Vientiane.

Exemple 2 : Pour fabriquer des chaises, une entreprise dépense le capital fixe 5

millions kips par mois et le capital circulaire 100000 kip par chaise.

Écrire C(x), le capital total pour fabriquer x chaises de cette entreprise.

y

0 x

2 )

(x =−x+ f

9

Solution :

On a : capital total=capital circulaire+capital fixe C(x)=100000x+5000000

Exemple 3 : Déterminer f(x), la fonction linéaire dont l’ensemble de définition

 

0,3

f =

D et l’ensemble d’images R_f =

 

1,5 . Solution :

Soit f(x)=mx+b, la fonction linéaire à déterminer.

• Cas f(x)=mx+b strictement croissante On a :







=

=

 



= +

 =





=

=

3 4 1 5

1 3

1 5

) 3 (

1 ) 0 (

m b m

b f

f donc 1

3 ) 4

(x = x+ f

• Cas f(x)=mx+b strictement décroissante On a :







−

=

=

 



= +

 =





=

=

3 4 5 1

5 3

5 1

) 3 (

5 ) 0 (

m b m

b f

f donc 5

3 ) 4

(x =− x+ f

Exemple 4 : Déterminer f(x), la fonction linéaire dont l’ensemble de définition

 

0,3

f =

D et l’ensemble d’images R_f =

 

1,5 . Solution :

Soit f(x)=mx+b, la fonction linéaire à déterminer.

On a :







−

=

=

 



= +

 =





=

=

3 4 5 1

5 3

5 1

) 3 (

5 ) 0 (

m b m

b f

f donc 5

3 ) 4

(x =− x+ f

3. Fonction valeur absolue

• Fonction du type







−

= 

= , 0

) ,

( x x

x x x

x f

C’est une fonction linéaire par intervalles : La fonction ^{f(x)= x} est paire : ^{−x = x} L’axe des ordonnées est axe de symétrie

La courbe représentative est deux demi-droites en V à l’origine.

10

Courbe d’équation ^y= ^x

• Fonction du type f(x)= x−a +b

La courbe représentative s’obtient par glissement horizontal a unités et par glissement vertical b unités la courbe de la fonction f(x)= x .

La courbe représentative est deux demi-droites en V au point (a ,b). Exemple 1 : Soit la fonction f(x)= x−1+2

On a :







−



= + +

−

= 3 , 1

1 , 2 1

1 )

( x x

x x x

x f

La courbe représentative de ^{f(x)= x−1+2} est deux demi-droites en V au point

( )

1,2 . Exemple 2 : Résoudre graphiquement l’équation et l’inéquation suivantes :

a. ^x−1=2x−3 b. ^{x−12x−3} Solution :

a. ^x−1=2x−3 On suppose







−



= −

−

= 1 , 1

1 , 1 1

)

( x x

x x x

x

f et g(x)=2x−3

y

0 x

x x

f( )=− f(x)= x

y

0 x

1 )

(x =x+ f

x x

f( )=3−

) 2 , 1 (

11

Dans un plan muni d’un repère orthonormé

(

^O;i,j

)

, on trace la courbe de f et g. La courbe de f(x)= x−1 est deux demi-droites en V au point ( )1,0 et la courbe de

3 2 ) (x = x−

g est une droite passant par (0,−3)

Ces deux courbes se coupent en un point x=2. Donc x=2 est solution de l’équation

3 2 1= −

− x

x et on écrit ^S= ² . b. ^{x−12x−3}

Résoudre l’inéquation ^{x−12x−3} c’est trouver l’ensemble des réels x dont la courbe de f(x)= x−1 est au-dessous de celle de g(x)=2x−3.

Sur le graphique, on lit les abscisses des points de la courbe f(x)= x−1 situés au- dessous de celle de g(x)=2x−3. On obtient x2 et on écrit S =



2,+



.

Exemple 3 : Résoudre graphiquement l’équation et l’inéquation suivantes :

a. x x

2 2 1 1− =

+ b. x x

2 2 1 1−  +

Solution :

a. x x

2 2 1 1− = +

On suppose





−



−

−

−



= −

− +

= 3, 1

1 ,

2 1 1 )

( x x

x x x

x

f et g x x

2 ) 1 ( =

Dans un plan muni d’un repère orthonormé

(

^O;i,j

)

, on trace la courbe de f et ^g. La courbe de f⁽x⁾= x+¹−² est deux demi-droites en V au point

(

−1,−2

)

et la courbe de g x x

2 ) 1

( = est une droite passant par l’origine ( )0,0 . y

0 x

3 2 ) (x = x− g

1 )

(x = x− f

12

Ces deux courbes se coupent en deux points x=−2 et x=2. Donc x=−2 et x=2sont solutions de l’équation x x

2 2 1 1− =

+ et on écrit S =−2,2.

b. x x

2 2 1 1−  +

Résoudre l’inéquation x x 2 2 1 1− 

+ c’est trouver l’ensemble des réels x dont la courbe de ^{f(x)= x+1−2} est au-dessus de celle de g x x

2 ) 1

( = .

Sur le graphique, on lit les abscisses des points de la courbe f(x)= x+1−2 situés au- dessus de celle de g x x

2 ) 1

( = .

On obtient x−2 ou x2 et on écrit S =



−,−2

 

 2,+



.

• Fonction du type ^{f(x)=−x−a +b}

La courbe représentative de ^{f(x)=−x−a +b} s’obtient par glissement horizontal a

unités et par glissement vertical b unités la courbe de la fonction f(x)= x. La courbe de f(x)=−x−a +b est deux demi-droites en  au point (^{a ,b}). Exemple 1 : Soit la fonction ^{f(x)=−x+1+2}

On a :





 +

−

 +

= − + +

−

= 3, 1

1 , 2 1

1 )

( x x

x x x

x f

y

0 x

x x

g 2

) 1 ( =

2 1 )

(x = x+ − f

13

La courbe représentative de f⁽x⁾=−x+¹+² est deux demi-droites en  au point (−1,2). Exemple 2 : Résoudre graphiquement l’équation et l’inéquation suivantes :

a. x−1+ x−2 =3 b. x−1+ x−2 3

Solution :

a. x−¹+ x−² =³ x−¹=−x−² +³

On suppose







−



= −

−

= 1 , 1

1 , 1 1

)

( x x

x x x

x

f et g⁽x⁾=−x−² +³

Dans un plan muni d’un repère orthonormé

(

^O;i,j

)

, on trace la courbe de f et g. La courbe de f(x)= x−1 est deux demi-droites en V au point ( )1,0 et la courbe de

3 2 )

(x =−x− +

g est deux demi-droites en  au point ( )2,3 .

Ces deux courbes se coupent en deux points x=0 et x=2. Donc x=0 et x=2 sont solutions de l’équation ^{x−1+ x−2 =3} et on écrit S =



0,2



.

y

0

x

1 )

(x =−x+ f

) 2 , (−1

3 )

(x =x+ f

y

0 x

3 2 )

(x =−x− + g

1 )

(x = x− f

14 0

0

0

b. x−1+ x−2 3

Résoudre l’inéquation x−¹+ x−² ³ c’est trouver l’ensemble des réels x dont la courbe de f(x)= x−1 est au-dessous ou confondue à celle de g(x)=−x−2 +3. Sur le graphique, on obtient donc 0x3 et on écrit S =

 

0,3 .

Autre méthode à résoudre l’équation ou l’inéquation avec valeur absolue.

D’après la définition







−

= 

0 , ,

x x

x

x x , on peut utiliser le tableau de signes.

Exemple : Résoudre l’équation et l’inéquation suivantes : a. x−1+ x−2− x =3 b. x−1+ x−2 − x 3

Solution :

Le tableau donne le résultat ci-dessous : a. x−1+ x−2− x =3

1)  =





=

 0 1

0 S

x

x 2)  0

0 1 0

2 =

 



=



 S

x x

3)  =





−

=



 2 3

2

1 S

x

x 4)  6

6 2

4 =

 



=

 S

x x

L’équation x−¹+ x−²− x =³ a pour solution S=S₁S₂S₃S₄=

 

0,6

b. ^{x−1+ x−2 − x 3}

1)  =







 0 1

0 S

x

x 2)

 

0,1

0 1 0

2 =

 







 S

x

x

3)

 

^1,2

2 2 1

3 =

 



−





 S

x

x 4)



^2,6



6 2

4 =

 





 S

x x

L’inéquation ^{x−1+ x−2 − x 3} a pour solution S =S1S2S3S4 =



^0,6



.

x − 0 1 2 +

x −x x x x

−1

x −(x−1) −(x−1) x−1 x−1

−2

x −(x−2) −(x−2) −(x−2) x−2 3

2 1+ − − =

− x x

x −x+3=3

=0 x

3 3 3 + =

− x

=0 x

3 1 +

−x

−2 x=

3 3= x−

=6 x 3

2 1+ − − 

− x x

x −x+33

0 x

3 3 3 + 

− x

0 x

3 1 +

−x

−2 x

3 3 x−

6 x